الشكلية الرياضية

عند مهمة تعلّم ضوضاء باولي لمجموعة من بوابات كليفورد، تقنية التحليل الشائعة هي تتبّع كيف تتحول مؤثرات باولي الفردية عبر تسلسل من تطبيقات البوابات (بافتراض أن البوابات كليفورد وأن الضوضاء قناة باولي، فإن مؤثر باولي واحد راح يُحوَّل دائماً إلى مؤثر باولي آخر بدقة معامل عددي هو دالة في الضوضاء). بديهياً، تطوّر أي حالة تحت تسلسل كهذا يمكن التقاطه بتركيبة خطية من هذي المسارات، لكن بافتراض أننا نحضّر الحالة دائماً في حالة ذاتية لباولي، ونقيس ونعالج النتائج دائماً لحساب القيمة المتوقعة لمؤثر باولي، فإن العلاقة بين القيمة المتوقعة ومعاملات نموذج الضوضاء راح تعتمد دائماً على مسار واحد فقط. هذا ينتج من الحقيقة البسيطة أن الحالة الابتدائية تركيبة خطية من مؤثرات باولي، وكل بوابة ونموذج ضوضاء يحوّل باولي إلى باولي ويحافظ على تعامدها، والقيمة المتوقعة النهائية “تنتقي” واحداً فقط من مؤثرات باولي في التحليل النهائي قبل القياس.

هذا النوع من الاستدلال يظهر في مسارات بحثية متوازية كثيرة في تعلّم الضوضاء، منها أدبيات تعلّم مجموعة بوابات باولي [1, 2]، وأدبيات ACES [3]، وأدبيات قياس الأداء الدوري (cycle benchmarking) [4]. وتم تعميم هذا الاستدلال أكثر في [5] ليشمل بوابات Clifford-MCM (بوابة كليفورد يتبعها قياس إسقاطي في منتصف الدائرة). هذي الحزمة تتبع بأقرب شكل [1, 5]. ومع أنها غير مسماة صراحةً، نعتمد شكلية Pattern Transfer Graph (PTG) لوصف كيف تتطور مؤثرات باولي عبر دوائر التعلّم، وهذا يوفر تمثيلاً مباشراً للبيانات لـالمسارات عبر الرسم البياني.

التالي مراجعة لبعض المفاهيم الرياضية الأساسية من الأدبيات. الهدف الرئيسي منها توحيد الترميز، وأن تكون مرجعاً توثيقياً مفاهيمياً لبقية الحزمة.

1. الخلفية

1.1 الترميز

لـ $K \in \mathbb{N}$، ليكن $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. ولمجموعة منتهية $S \subset \mathbb{N}$ من فهارس الكيوبتات، ليكن $\mathcal{P}^S$ مجموعة مؤثرات باولي غير المطوّرة بالطور (unphased) العاملة على هذي الكيوبتات. لاحظ أننا نعتبر عناصر $\mathcal{P}^S$ دوال تربط $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$، بحيث لأي $P \in \mathcal{P}^S$ و $T \subseteq S$، يدل $P|_T$ على تقييد $P$ على المجموعة الجزئية من الكيوبتات $T$. وعلى هذا المنوال، لمجموعتين منفصلتين $S, T$، و $P \in \mathcal{P}^S$ و $Q \in \mathcal{P}^T$، يدل $P \otimes Q$ على العنصر من $\mathcal{P}^{S \cup T}$ الذي يحقق $P \otimes Q |_S = P$ و $P \otimes Q |_T = Q$. هذا الترميز مفيد لتجنب التعامل الصريح مع ترتيب الأنظمة الجزئية ولتسهيل وصف التقييدات.

للمجموعات الجزئية المنتهية $M \subset \mathbb{N}$، نرمز بـ $\mathbb{Z}_2^M$ إلى مجموعة السلاسل الثنائية اللي عناصرها مفهرسة بـ $M$. وكما سبق، نعتبر العناصر دوال تربط $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$، حتى نقدر نصف السلاسل الجزئية بسهولة بدلالة تقييدات مجموعة الفهارس.

وأخيراً، لمصفوفة $X$، نستخدم $| X \rangle\!\rangle$ للدلالة على تحويلها إلى متجه (vectorization). وبحسب الطريقة المحدودة اللي نستخدم فيها هذا الترميز، ما فيه حاجة فعلية لاختيار اصطلاح تحويل إلى متجه معيّن. ولسلسلة بتات كلاسيكية $m$، نستخدم الاختصار $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 الأدوات الكمية (Quantum instruments)

العملية الكمية اللي تنتج بتات كلاسيكية $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (مثلاً نتيجة القياس) تُنمذج عموماً كتطبيق خطي من الشكل:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

حيث المجموعة $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ موجبة تماماً (completely positive)، و $\sum_m \mathcal{E}_m$ حافظة للأثر. مجموعة التطبيقات الموجبة تماماً $\{\mathcal{E}_m\}$ اللي تحقق هذي الخصائص تسمى أداة كمية (quantum instrument). البوابة الوحدوية حالة خاصة من الأداة بعنصر واحد فقط هو عملية وحدوية.

2. بوابات Clifford-MCM-reset المشوشة

الشكلية المستخدمة في هذي الحزمة تفترض أن كل بوابة في مجموعة البوابات المراد توصيفها تتكون من تسلسل العمليات التالي على $K$ كيوبت:

1. عملية كليفورد على كل الكيوبتات.

2. قياس إسقاطي في منتصف الدائرة على طول $Z$ على مجموعة جزئية من الكيوبتات $M \subseteq [K]$.

3. إعادة ضبط (reset) في منتصف الدائرة إلى الحالة الأرضية $Z$ على مجموعة جزئية من الكيوبتات $R \subseteq [K]$.

هذا صنف عام من العمليات يشمل بوابات كليفورد الوحدوية والقياس وتحضير الحالة وأي تركيبة منها. لاحظ أننا نفترض أن القياس وإعادة الضبط دائماً على طول المحور $Z$ لكل كيوبت. ومع أن هذا مو مطلوب بشكل صارم، فهو ميزة شائعة في كثير من طرائق الحوسبة الكمية، ويتيح تمثيلات وتحليلاً أبسط.

كما هو موضح في [5, 6] لحالة عدم وجود إعادة ضبط، إذا طُبّقت استراتيجية التفاف (twirling) معينة على نسخة مشوشة من بوابة كهذي، فإن فعل العملية الناتجة يمكن نمذجته رياضياً كـأداة باولي منتظمة (uniform Pauli instrument). أي أنه ضمن ترميز الأداة الكمية، $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$، حيث $G$ هي الوحدوية الكليفوردية، و:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

حيث كل $\Lambda_{a,b}$ هي قناة باولي شبه معيارية (sub-normalized) على الكيوبتات غير المقيسة $N = [K] \setminus M$. ومن كون هذي أداة كمية يُفهم ضمناً أن $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ كمان حافظة للأثر. بعض الملاحظات:

• الضوضاء الابتدائية غير الملتفّة تُنمذج بحيث تشمل أخطاء “كمية” و“كلاسيكية”: عمليات خاطئة على السجلات الكمية، وكذلك أخطاء في الإبلاغ عن قيمة القياس.

• خريطة الضوضاء $\Lambda_{a,b}$ مستقلة عن نتيجة القياس $m$.

بالكلمات، حد واحد في المجموع أعلاه يمثل رصد نتيجة قياس $m$ لما كانت الحالة المقيسة $| m + b \rangle$ (تصنيف خاطئ إذا كان $b \neq 0$)، ولما تكون حالة الخرج على سجل القياس $| m + a \rangle$ (الحالة “الخاطئة” لما $a \neq 0$). الخريطة $\Lambda_{a,b}$ ترمّز في الوقت نفسه الفعل على الكيوبتات غير المقيسة (مشروطاً بسلوك القياس) واحتمال سلوك القياس المحدد (عبر التطبيع).

لاحظ أننا هنا ما نهتم بتفاصيل استراتيجية الالتفاف: يكفي أن استراتيجية كهذي موجودة وتضع القناة بالشكل أعلاه. ولاحظ أن استراتيجيات التفاف “أدق” موجودة وتقدر تقيّد شكل قنوات باولي أكثر [7]؛ لكننا نأخذ الشكل أعلاه كأعم تمثيل رياضي قيد الدراسة.

في اللمّة 1 من [5]، يتبيّن أن $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ يمكن إعادة كتابتها كالتالي:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

لبعض الأعداد الحقيقية $\lambda_{x,y}^Q$، وتسمى دقائق (fidelities) الأداة.

إضافة إعادة الضبط لهذي الصورة مباشرة نسبياً. عملية إعادة ضبط مشوشة على الكيوبتات $R \subset [K]$ يمكن نمذجتها وفق التحليل التالي:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

الشكل أعلاه يستخدم صراحةً افتراض أن إعادة الضبط على طول المحور $Z$ لكل كيوبت. الضوضاء في العملية مرمّزة في دقائق إعادة الضبط $\lambda_r$، وهي مفهرسة ببساطة بالمجموعات الجزئية من الكيوبتات.

نظير للمعادلة (1) يتضمن عملية إعادة ضبط في النهاية يمكن الحصول عليه ببساطة بتركيبها مع المعادلة (2). هذا التركيب، بعد بعض التبسيط، يعطي:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

هذا التحليل يدل على أن عدد الدقائق $\lambda^Q_{x, y}$ هو

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

لننظر في الحالات الحدية: (1) بدون قياس أو إعادة ضبط، $M = R = \emptyset$، والتعبير يعطي $4^K$، عدد مؤثرات باولي بدون طور على $K$ كيوبت. (2) لـ $M = \emptyset$ و $R=[K]$، يعطي $2^K$، وهو عدد المجموعات الجزئية من $[K]$. وأخيراً، (3) لـ $M = [K]$ و $R = \emptyset$، يعطي $4^K$. لاحظ أن هذا قد يبدو مفاجئاً في البداية: ففي التعلّم القياسي، يُعتبر للقياس وإعادة الضبط عادةً نفس عدد الدقائق: $2^K$. لكن هنا بوابة القياس الكامل في هذا السياق تُفهم ليس كقياس نهائي، بل كـ MCM، وبالتالي تُضمَّن أيضاً الدقائق المقابلة لـمخرجات القياس غير المحايدة (مثل $y \neq 0$ في المعادلة (3)).

أخيراً، من المهم ملاحظة أن أي استراتيجية التفاف تعطي الشكل في المعادلة (1) في حالة عدم وجود إعادة ضبط تنطبق بنفس الجودة على حالة إعادة الضبط غير البسيطة مع تعديل بسيط. المشكلة المحتملة أن استراتيجية كهذي قد تتطلب عمليات على الكيوبتات المقيسة بعد القياس. لذلك، إذا قيس كيوبت وأُعيد ضبطه، فالتنفيذ على ما يبدو يتطلب إدراج عمليات داخل البوابة بين القياس وإعادة الضبط. لكن بحكم طبيعة إعادة الضبط، أي عمليات كهذي ما لها تأثير، ويمكن تخطيها ببساطة مع الحصول على نفس البنية المطلوبة.

3. شكلية المسارات

كما وُصف في المقدمة، كل خوارزميات التعلّم لضوضاء نوع باولي على بوابات كليفورد مبنية على تتبّع كيف يتطور كل مؤثر باولي عبر الدائرة، ويلتقط عوامل دقة الضوضاء في الطريق. فالقيم المتوقعة لدائرة مكوّنة من بوابات كهذي ترتبط ببساطة بحاصل ضرب الدقائق الأساسية للبوابات الفردية، وبهذي الطريقة تقدر تستنتج معاملات النموذج عبر عكس أي تطبيق متناثر من المعاملات إلى الدقائق مفترض.

في [1]، في سياق مجموعات البوابات الوحدوية، صيغ هذا رسمياً في Pattern Transfer Graph (PTG): رسم بياني موجّه يصف كل التجارب الممكنة المكوّنة من عناصر مجموعة البوابات وطبقات من بوابات كليفورد أحادية الكيوبت (تُفترض عمليات مثالية أو “مجانية”). وتم تعميم هذا في [5] ليشمل مجموعات بوابات فيها قياسات في منتصف الدائرة. في الحالتين، تُوصف كل تجربة بتتبّع مؤثر باولي واحد عبر الدائرة، بافتراض حساب مُرصَد معيّن عند كل موقع قياس. هنا ما نراجع بناء الرسم البياني والمسارات مباشرة؛ لكننا نعرض الحقائق المطلوبة لتبريرها ضمن ترميزنا الخاص ومع تضمين إعادة الضبط.

ومع أن تتبّع مؤثر باولي واحد عبر الدائرة قد يكون بديهياً في حالة مجموعة البوابات الوحدوية، فهو مو واضح بنفس الدرجة في حالة Clifford-MCM-reset الأعم، بسبب الطبيعة غير الحتمية للقياس. الاقتراح التالي يسترجع هذي الصورة حتى في الحالة الأعم [5]:

الاقتراح 1

لأي $x \in \mathbb{Z}_2^M$ و $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ و $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$، يتحقق التالي:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

بعبارة ثانية، إذا حسبنا القيمة المتوقعة $Z^{x + y|_M}$ على السجل الكلاسيكي الناتج من MCM، فإن تطور مُرصَد في “صورة هايزنبرغ” عبر بوابة Clifford-MCM-reset يربط $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. هذي الحقيقة وحدها تتيح استرجاع تحليل شبيه بـ PTG أبعد من حالة مجموعة البوابات الوحدوية: فمع معالجة لاحقة معينة لنتائج القياس، حتى البوابات اللي فيها قياسات وإعادة ضبط يمكن اعتبارها تربط حتمياً مؤثر باولي بآخر.

قبل إثبات هذا، نكتب المعادلة (3) بشكل أوضح. لاحظ أنه لـ $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$، يتحقق $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$، وبالتالي (بترميز المؤثرات الفائقة) لدينا:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

حيث طبّقنا المعادلة (3) وجمّعنا الحدود، ونستخدم الرمز السفلي $M$ للدلالة على سجل نتيجة القياس الكلاسيكي، اللي نعامله أعلاه بترميز مشابه للسجلات الكمية.

البرهان. يتحقق التالي:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

وأخيراً، لاحظ أن $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$، وبالتالي الحد الأخير أعلاه ينهار إلى الحد الوحيد $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$، وهذا يعطي النتيجة المطلوبة.

راجع [5] للتوسع بعد هذي النقطة: تعريف PTG، والمسارات عبر PTG، وإثبات أن أي مسار معرَّف بشكل صحيح يقابل تجربة.

المراجع

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.