مسألة تقدير الطور

يشرح هذا القسم من الدرس مسألة تقدير الطور. سنبدأ بمناقشة موجزة لـمبرهنة الطيف من الجبر الخطي، ثم ننتقل إلى صياغة مسألة تقدير الطور.

مبرهنة الطيف

مبرهنة الطيف حقيقة مهمة من الجبر الخطي تنص على أن المصفوفات من نوع معين، تُسمّى المصفوفات الطبيعية، يمكن التعبير عنها بطريقة بسيطة ومفيدة. سنحتاج إلى هذه المبرهنة فقط للمصفوفات الأحادية في هذا الدرس، لكننا سنطبّقها لاحقًا في هذه السلسلة على المصفوفات الإرميتية أيضًا.

المصفوفات الطبيعية

يُقال إن مصفوفة مربعة $M$ بعناصر من الأعداد المركّبة هي مصفوفة طبيعية إذا كانت تُبادل مرافقها التحويلي: $M M^{\dagger} = M^{\dagger} M.$

كل مصفوفة أحادية $U$ طبيعية لأن

$$U U^{\dagger} = \mathbb{I} = U^{\dagger} U.$$

المصفوفات الإرميتية، وهي المصفوفات التي تساوي مرافقها التحويلي، هي فئة أخرى مهمة من المصفوفات الطبيعية. إذا كانت $H$ مصفوفة إرميتية، فإن

$$H H^{\dagger} = H^2 = H^{\dagger} H,$$

وبالتالي فإن $H$ طبيعية.

ليست كل مصفوفة مربعة طبيعية. فمثلًا، هذه المصفوفة ليست طبيعية:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(هذا مثال بسيط لكنه رائع لمصفوفة كثيرًا ما يكون من المفيد أخذها بالاعتبار.) ليست طبيعية لأن

$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

بينما

$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

صياغة المبرهنة

الآن إليك صياغة مبرهنة الطيف.

مبرهنة

مبرهنة الطيف: لتكن $M$ مصفوفة مركّبة طبيعية بأبعاد $N\times N$. توجد قاعدة متعامدة معيارية من المتجهات المركّبة ذات الـ$N$ بُعدًا $\bigl\{ \vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_N\rangle \bigr\}$ مع أعداد مركّبة $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ بحيث

$$M = \lambda_1 \vert \psi_1\rangle\langle \psi_1\vert + \cdots + \lambda_N \vert \psi_N\rangle\langle \psi_N\vert.$$

يُسمّى التعبير عن مصفوفة بالشكل

$$M = \sum_{k = 1}^N \lambda_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k\vert \tag{1}$$

عادةً التحليل الطيفي. لاحظ أنه إذا كانت $M$ مصفوفة طبيعية معبَّرًا عنها بالشكل $(1)$، فإن المعادلة

$$M \vert \psi_j \rangle = \lambda_j \vert \psi_j \rangle$$

يجب أن تكون صحيحة لكل $j = 1,\ldots,N$. هذا نتيجة لكون $\bigl\{ \vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_N\rangle \bigr\}$ متعامدة معيارية:

$$M \vert \psi_j \rangle = \left(\sum_{k = 1}^N \lambda_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k\vert\right)\vert \psi_j\rangle = \sum_{k = 1}^N \lambda_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k\vert\psi_j \rangle = \lambda_j \vert\psi_j \rangle$$

أي أن كل عدد $\lambda_j$ هو قيمة ذاتية لـ$M$ وأن $\vert\psi_j\rangle$ هو متجه ذاتي يقابل تلك القيمة الذاتية.

• مثال 1. لتكن

  $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},$$

  وهي طبيعية. تستلزم المبرهنة أنه يمكن كتابة $\mathbb{I}$ بالشكل $(1)$ لاختيار ما من $\lambda_1,$ $\lambda_2,$ $\vert\psi_1\rangle,$ و$\vert\psi_2\rangle.$ هناك اختيارات متعددة صالحة، منها

  $$\lambda_1 = 1, \hspace{5pt} \lambda_2 = 1, \hspace{5pt} \vert\psi_1\rangle = \vert 0\rangle, \hspace{5pt} \vert\psi_2\rangle = \vert 1\rangle.$$

  لاحظ أن المبرهنة لا تشترط أن تكون الأعداد المركّبة $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ مختلفة — يمكن تكرار نفس العدد المركّب، وهو ضروري لهذا المثال. تصلح هذه الاختيارات لأن

  $$\mathbb{I} = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert.$$

  في الواقع، يمكن اختيار $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle\}$ لتكون أي قاعدة متعامدة معيارية وستكون المعادلة صحيحة. فمثلًا،

  $$\mathbb{I} = \vert +\rangle\langle +\vert + \vert -\rangle\langle -\vert.$$

• مثال 2. لنتأمل عملية هادامار.

  $$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}$$

  هذه مصفوفة أحادية وبالتالي طبيعية. تستلزم مبرهنة الطيف أنه يمكن كتابة $H$ بالشكل $(1)$، وبالتحديد لدينا

  $$H = \vert\psi_{\pi/8}\rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert - \vert\psi_{5\pi/8}\rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

  حيث

  $$\vert\psi_{\theta}\rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta) \vert 1\rangle.$$

  بشكل أكثر صراحة،

  $$\begin{aligned} \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle, \\[3mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle. \end{aligned}$$

  يمكن التحقق من صحة هذا التحليل بإجراء الحسابات المطلوبة:

  $$\vert\psi_{\pi/8}\rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert - \vert\psi_{5\pi/8}\rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert = \begin{pmatrix} \frac{2 + \sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{2 - \sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4}\\[2mm] -\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \end{pmatrix} = H.$$

كما يكشف المثال الأول أعلاه، قد تكون هناك درجة من الحرية في اختيار المتجهات الذاتية. غير أنه لا توجد أي حرية في اختيار القيم الذاتية، باستثناء ترتيبها: نفس الأعداد المركّبة الـ$N$ وهي $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ التي يمكن أن تتضمن تكرارات لنفس العدد المركّب، ستظهر دائمًا في المعادلة $(1)$ لاختيار معين للمصفوفة $M$.

الآن لنركّز على المصفوفات الأحادية. لنفترض أن لدينا عددًا مركّبًا $\lambda$ ومتجهًا غير صفري $\vert\psi\rangle$ يحققان المعادلة

$$U\vert\psi\rangle = \lambda\vert\psi\rangle. \tag{2}$$

أي أن $\lambda$ قيمة ذاتية لـ$U$ وأن $\vert\psi\rangle$ متجه ذاتي يقابل هذه القيمة الذاتية.

المصفوفات الأحادية تحافظ على المعيار الإقليدي، ومن ثمَّ نستنتج التالي من $(2)$.

$$\bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\| = \bigl\| U \vert\psi\rangle \bigr\| = \bigl\| \lambda \vert\psi\rangle \bigr\| = \vert \lambda \vert \bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|$$

شرط أن $\vert\psi\rangle$ غير صفري يستلزم $\bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|\neq 0$، فيمكننا حذفه من الطرفين للحصول على

$$\vert \lambda \vert = 1.$$

هذا يكشف أن القيم الذاتية للمصفوفات الأحادية يجب أن تكون دائمًا قيمتها المطلقة مساوية للواحد، أي أنها تقع على دائرة الوحدة.

$$\mathbb{T} = \{\alpha\in\mathbb{C} : \vert\alpha\vert = 1\}$$

(الرمز $\mathbb{T}$ اسم شائع للدائرة الوحدة المركّبة. الاسم $S^1$ شائع أيضًا.)

صياغة مسألة تقدير الطور

في مسألة تقدير الطور، تُعطى لنا حالة كمومية $\vert \psi\rangle$ من $n$ كيوبت، مع دائرة كمومية أحادية تعمل على $n$ كيوبت. نُوعَد بأن $\vert \psi\rangle$ متجه ذاتي للمصفوفة الأحادية $U$ التي تصف عمل الدائرة، وهدفنا هو حساب أو تقريب القيمة الذاتية $\lambda$ التي تقابلها $\vert \psi\rangle$. بتحديد أكثر، بما أن $\lambda$ تقع على دائرة الوحدة المركّبة، يمكننا كتابة

$$\lambda = e^{2\pi i \theta}$$

لعدد حقيقي فريد $\theta$ يحقق $0\leq\theta<1$. هدف المسألة هو حساب أو تقريب هذا العدد الحقيقي $\theta$.

مسألة تقدير الطور

المدخل: دائرة كمومية أحادية لعملية $U$ على $n$ كيوبت مع حالة كمومية $\vert\psi\rangle$ من $n$ كيوبت
الوعد: $\vert\psi\rangle$ متجه ذاتي لـ$U$
المخرج: تقريب للعدد $\theta\in[0,1)$ الذي يحقق $U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta}\vert\psi\rangle$

إليك بعض الملاحظات حول هذه الصياغة:

1. مسألة تقدير الطور تختلف عن المسائل الأخرى التي رأيناها حتى الآن في الدورة في أن المدخل يتضمن حالة كمومية. عادةً ما نركّز على المسائل ذات المدخلات والمخرجات الكلاسيكية، لكن لا شيء يمنعنا من النظر في مدخلات من حالات كمومية كهذه. من حيث أهميتها العملية، عادةً ما تظهر مسألة تقدير الطور مسألةً فرعية داخل حساب أكبر، كما سنرى في سياق تحليل الأعداد الصحيحة لاحقًا في الدرس.

2. صياغة مسألة تقدير الطور أعلاه لا تحدد ما يُشكّل تقريبًا للـ$\theta$، لكن يمكننا صياغة مسائل أكثر دقة بحسب احتياجاتنا واهتماماتنا. في سياق تحليل الأعداد الصحيحة، سنطلب تقريبًا دقيقًا للغاية لـ$\theta$، لكن في حالات أخرى قد نكتفي بتقريب خشن جدًا. سنناقش قريبًا كيف تؤثر الدقة المطلوبة في التكلفة الحسابية للحل.

3. لاحظ أننا حين نسير من $\theta = 0$ نحو $\theta = 1$ في مسألة تقدير الطور، نقطع دائرة الوحدة كاملةً، بدءًا من $e^{2\pi i \cdot 0} = 1$ متحركين عكس عقارب الساعة نحو $e^{2\pi i \cdot 1} = 1$. أي أننا حين نصل إلى $\theta = 1$ نكون عدنا إلى نقطة البداية $\theta = 0$. لذا، عند النظر في دقة التقريبات، يجب اعتبار قيم $\theta$ القريبة من $1$ قريبةً من $0$. فمثلًا، يجب اعتبار التقريب $\theta = 0.999$ ضمن $1/1000$ من $\theta = 0$.