الخوارزميات التغايرية

تتناول هذه الدورة تفاصيل الخوارزميات التغايرية والخوارزميات الهجينة الكمومية-الكلاسيكية المخصصة للأجهزة الحالية المستندة إلى نظرية التغاير في ميكانيكا الكم. تستطيع هذه الخوارزميات الاستفادة من الحواسيب الكمومية المتاحة اليوم — وهي حواسيب غير متسامحة مع الأخطاء — ما يجعلها مرشحة مثالية لتحقيق التفوق الكمومي.

على مدار هذه الدورة، سنستكشف:

• كل خطوة في سير عمل تصميم الخوارزمية التغايرية

• المقايضات المرتبطة بكل خطوة

• كيفية استخدام بدائيات IBM Quantum للتحسين من حيث السرعة والدقة

رغم أن هذه الدورة مخصصة لتكون نقطة بداية للباحثين والمطورين لاستكشاف فائدة الحواسيب الكمومية، لا تتردد في استكشاف المعرفة النظرية والأساسية حول الحوسبة الكمومية عموماً في أساسيات المعلومات والحوسبة الكمومية (المتاحة أيضاً كـسلسلة مقاطع فيديو على YouTube).

سير العمل الهجيني المبسّط

Variational algorithms include several modular components that can be combined and optimized based on algorithm, software, and hardware advancements. This includes a cost function that describes a specific problem with a set of parameters, an ansatz to express the search space with these parameters, and an optimizer to iteratively explore the search space. During each iteration, the optimizer evaluates the cost function with the current parameters and selects the next iteration's parameters until it converges on an optimal solution. The hybrid nature of this family of algorithms comes from the fact that the cost functions are evaluated using quantum resources and optimized through classical ones.

1. تهيئة المسألة: تبدأ الخوارزميات التغايرية بتهيئة الحاسوب الكمومي في الحالة الافتراضية $|0\rangle$، ثم تحويلها إلى حالة مطلوبة (غير مُعامَلة) $|\rho\rangle$ نسميها الحالة المرجعية.

   يُمثَّل هذا التحويل بتطبيق عامل مرجعي أحادي $U_R$ على الحالة الافتراضية، بحيث $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$.

2. تحضير الأنساتز: لبدء التحسين التكراري من الحالة الافتراضية $|0\rangle$ إلى الحالة الهدف $|\psi(\vec\theta)\rangle$، يجب تعريف شكل تغايري $U_V(\vec\theta)$ يُمثِّل مجموعة الحالات المُعامَلة التي تستكشفها الخوارزمية.

   نسمي أي تركيبة من الحالة المرجعية والشكل التغايري بـالأنساتز، بحيث: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$. ستتخذ الأنساتزات في نهاية المطاف شكل دوائر كمومية مُعامَلة قادرة على الانتقال من الحالة الافتراضية $|0\rangle$ إلى الحالة الهدف $|\psi(\vec\theta)\rangle$.

   وبذلك سيكون لدينا:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. تقييم دالة التكلفة: يمكننا ترميز مسألتنا في دالة تكلفة $C(\vec\theta)$ كتركيبة خطية لعوامل باولي، تُشغَّل على نظام كمومي. بينما يمكن أن تكون هذه معلومات عن نظام فيزيائي كالطاقة أو السبين (اللف المغزلي)، يمكننا أيضاً ترميز مسائل غير فيزيائية. ويمكن الاستفادة من بدائيات IBM Quantum لمعالجة الضوضاء بكبت الأخطاء وتخفيفها أثناء تقييم دالة التكلفة.

4. تحسين المعاملات: تُرسَل نتائج التقييم إلى حاسوب كلاسيكي، حيث يحللها مُحسِّن كلاسيكي ويختار المجموعة التالية من قيم المعاملات التغايرية. إذا كان لدينا حل أمثل مسبق، يمكننا ضبطه كـنقطة بداية $\vec\theta_0$ لـتسريع تحسيننا. قد يُساعد استخدام هذه الحالة الابتدائية $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ المُحسِّنَ في إيجاد حل صالح بشكل أسرع.

5. تعديل معاملات الأنساتز بالنتائج وإعادة التشغيل: تُكرَّر العملية بأكملها حتى تتحقق معايير إنهاء المُحسِّن الكلاسيكي، وتُعاد مجموعة المعاملات الأمثل $\vec\theta^*$. ستكون حالة الحل المقترح لمسألتنا عندئذٍ $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$.

نظرية التغاير

الهدف الشائع للخوارزميات التغايرية هو إيجاد الحالة الكمومية ذات القيمة الذاتية الأدنى أو الأعلى لمرصود معين. الفكرة الجوهرية التي سنستخدمها هي نظرية التغاير في ميكانيكا الكم. قبل صياغتها الكاملة، لنستكشف الحدس الرياضي الكامن وراءها.

الحدس الرياضي للطاقة والحالات الأساسية

في ميكانيكا الكم، تأتي الطاقة في صورة مرصود كمومي يُعرف عادةً بـ_الهاميلتوني_، ونرمز إليه بـ$\hat{\mathcal{H}}$. لنتأمل تحليله الطيفي:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

حيث $N$ هي بُعد فضاء الحالات، و$\lambda_{k}$ هي القيمة الذاتية رقم $k$ أو فيزيائياً مستوى الطاقة رقم $k$، و$|\phi_k\rangle$ هي الحالة الذاتية المقابلة: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$، وستكون الطاقة المتوقعة لنظام في الحالة (المُعيَّرة) $|\psi\rangle$:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

إذا أخذنا في الاعتبار أن $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$، يكون لدينا:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

بما أن $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ أساس متعامد معيَّر، فإن احتمال قياس $|\phi_{k} \rangle$ هو $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$، ومجموع كل الاحتمالات $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$. باختصار، الطاقة المتوقعة لأي نظام أعلى من الطاقة الدنيا أو طاقة الحالة الأساسية:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

تنطبق الحجة أعلاه على أي حالة كمومية صالحة (معيَّرة) $|\psi\rangle$، لذا من الممكن تماماً النظر في الحالات المُعامَلة $|\psi(\vec\theta)\rangle$ التي تعتمد على متجه معاملات $\vec\theta$. هنا يأتي دور الجانب "التغايري". إذا اعتبرنا دالة التكلفة $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ وأردنا تصغيرها، فإن الحد الأدنى سيحقق دائماً:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

القيمة الدنيا لـ$C(\vec\theta)$ هي أقرب ما يمكن الوصول إليه من $\lambda_0$ باستخدام الحالات المُعامَلة $|\psi(\vec\theta)\rangle$، ولن تتحقق المساواة إلا إذا وُجد متجه معاملات $\vec\theta^*$ بحيث $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle$.

نظرية التغاير في ميكانيكا الكم

إذا اعتمدت الحالة (المُعيَّرة) $|\psi\rangle$ لنظام كمومي على متجه معاملات $\vec\theta$، فإن أفضل تقريب للحالة الأساسية (أي الحالة الذاتية $|\phi_0\rangle$ ذات القيمة الذاتية الدنيا $\lambda_0$) هو الذي يُصغِّر القيمة المتوقعة للهاميلتوني $\hat{\mathcal{H}}$:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

سبب صياغة نظرية التغاير من حيث الحدود الدنيا للطاقة هو أنها تتضمن عدداً من الافتراضات الرياضية:

• لأسباب فيزيائية، يجب أن يوجد حد أدنى منتهٍ للطاقة $E \geq \lambda_0 > -\infty$، حتى لـ$N\rightarrow\infty$.

• لا توجد عادةً حدود عليا.

غير أنه من الناحية الرياضية البحتة، لا يوجد ما يميز الهاميلتوني $\hat{\mathcal{H}}$ عن غيره وراء هذه الافتراضات، لذا يمكن تعميم النظرية على مراصد كمومية أخرى وحالاتها الذاتية شريطة استيفاء القيود ذاتها. كذلك، إذا وُجدت حدود عليا منتهية، يمكن تطبيق الحجج الرياضية ذاتها لتعظيم القيم الذاتية بالتبديل بين الحدود الدنيا والحدود العليا.

ملخص

من خلال هذا الدرس، اطلعت على نظرة شاملة للخوارزميات التغايرية. في الدروس التالية، سنستكشف كل خطوة بمزيد من التفصيل والمقايضات المرتبطة بها.