انتقل إلى المحتوى الرئيسي

الخوارزميات التغايرية

قبل البدء، يُرجى إكمال هذا الاستبيان القصير قبل الدورة، وهو أمر مهم لتحسين محتوانا التعليمي وتجربة المستخدم.

تتناول هذه الدورة تفاصيل الخوارزميات التغايرية والخوارزميات الهجينة الكمومية-الكلاسيكية قصيرة المدى المستندة إلى نظرية التغاير في ميكانيكا الكم. تستطيع هذه الخوارزميات الاستفادة من الحواسيب الكمومية المتاحة اليوم — وهي حواسيب غير متسامحة مع الأخطاء — ما يجعلها مرشحة مثالية لتحقيق التفوق الكمومي.

على مدار هذه الدورة، سنستكشف:

  • كل خطوة في سير عمل تصميم الخوارزمية التغايرية
  • المقايضات المرتبطة بكل خطوة
  • كيفية استخدام أوليّات Qiskit Runtime للتحسين من حيث السرعة والدقة

رغم أن هذه الدورة مخصصة لتكون نقطة بداية للباحثين والمطورين لاستكشاف فائدة الحواسيب الكمومية، لا تتردد في استكشاف المعرفة النظرية والأساسية حول الحوسبة الكمومية عموماً في أساسيات المعلومات والحوسبة الكمومية (المتاحة أيضاً كـسلسلة مقاطع فيديو على YouTube).

سير العمل الهجيني المبسّط​

مسار الخوارزمية التغايرية يوضح الخطوات: تهيئة المسألة، تحضير الأنساتز، تقييم دالة التكلفة، تحسين المعاملات.

تتضمن الخوارزميات التغايرية عدة مكوّنات معيارية يمكن تركيبها وتحسينها بناءً على التطورات في الخوارزميات والبرمجيات والأجهزة. يشمل ذلك دالة تكلفة تصف مسألة محددة بمجموعة من المعاملات، وأنساتز للتعبير عن فضاء البحث بهذه المعاملات، ومُحسِّن يستكشف فضاء البحث بصورة تكرارية. في كل تكرار، يُقيِّم المُحسِّن دالة التكلفة بالمعاملات الحالية ويختار معاملات التكرار التالي حتى يتقارب نحو الحل الأمثل. تنبع الطبيعة الهجينة لهذه الفئة من الخوارزميات من أن دوال التكلفة تُقيَّم باستخدام موارد كمومية وتُحسَّن عبر موارد كلاسيكية.

  1. تهيئة المسألة: تبدأ الخوارزميات التغايرية بتهيئة الحاسوب الكمومي في الحالة الافتراضية ∣0⟩|0\rangle، ثم تحويلها إلى حالة مطلوبة (غير مُعامَلة) ∣ρ⟩|\rho\rangle نسميها الحالة المرجعية.

    يُمثَّل هذا التحويل بتطبيق عامل مرجعي أحادي URU_R على الحالة الافتراضية، بحيث UR∣0⟩=∣ρ⟩U_R|0\rangle = |\rho\rangle.

  2. تحضير الأنساتز: لبدء التحسين التكراري من الحالة الافتراضية ∣0⟩|0\rangle إلى الحالة الهدف ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle، يجب تعريف شكل تغايري UV(θ⃗)U_V(\vec\theta) يُمثِّل مجموعة الحالات المُعامَلة التي تستكشفها الخوارزمية.

    نسمي أي تركيبة من الحالة المرجعية والشكل التغايري بـالأنساتز، بحيث: UA(θ⃗):=UV(θ⃗)URU_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R. ستتخذ الأنساتزات في نهاية المطاف شكل دوائر كمومية مُعامَلة قادرة على الانتقال من الحالة الافتراضية ∣0⟩|0\rangle إلى الحالة الهدف ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle.

    وبذلك سيكون لدينا:

    ∣0⟩→URUR∣0⟩=∣ρ⟩→UV(θ⃗)UA(θ⃗)∣0⟩=UV(θ⃗)UR∣0⟩=UV(θ⃗)∣ρ⟩=∣ψ(θ⃗)⟩\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}

  3. تقييم دالة التكلفة: يمكننا ترميز مسألتنا في دالة تكلفة C(θ⃗)C(\vec\theta) كتركيبة خطية لعوامل باولي، تُشغَّل على نظام كمومي. بينما يمكن أن تكون هذه معلومات عن نظام فيزيائي كالطاقة أو الدوران، يمكننا أيضاً ترميز مسائل غير فيزيائية. ويمكن الاستفادة من أوليّات Qiskit Runtime لمعالجة الضوضاء بكبت الأخطاء وتخفيفها أثناء تقييم دالة التكلفة.

  4. تحسين المعاملات: تُرسَل نتائج التقييم إلى حاسوب كلاسيكي، حيث يحللها مُحسِّن كلاسيكي ويختار المجموعة التالية من قيم المعاملات التغايرية. إذا كان لدينا حل أمثل مسبق، يمكننا ضبطه كـنقطة بداية θ⃗0\vec\theta_0 لـتسريع تحسيننا. قد يُساعد استخدام هذه الحالة الابتدائية ∣ψ(θ⃗0)⟩|\psi(\vec\theta_0)\rangle المُحسِّنَ في إيجاد حل صالح بشكل أسرع.

  5. تعديل معاملات الأنساتز بالنتائج وإعادة التشغيل: تُكرَّر العملية بأكملها حتى تتحقق معايير إنهاء المُحسِّن الكلاسيكي، وتُعاد مجموعة المعاملات الأمثل θ⃗∗\vec\theta^*. ستكون حالة الحل المقترح لمسألتنا عندئذٍ ∣ψ(θ⃗∗)⟩=UA(θ⃗∗)∣0⟩|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle.

نظرية التغاير​

الهدف الشائع للخوارزميات التغايرية هو إيجاد الحالة الكمومية ذات القيمة الذاتية الأدنى أو الأعلى لمرصود معين. الفكرة الجوهرية التي سنستخدمها هي نظرية التغاير في ميكانيكا الكم. قبل صياغتها الكاملة، لنستكشف الحدس الرياضي الكامن وراءها.

الحدس الرياضي للطاقة والحالات الأساسية​

في ميكانيكا الكم، تأتي الطاقة في صورة مرصود كمومي يُعرف عادةً بـ_الهاميلتوني_، ونرمز إليه بـH^\hat{\mathcal{H}}. لنتأمل تحليله الطيفي:

H^=∑k=0N−1λk∣ϕk⟩⟨ϕk∣\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|

حيث NN هي بُعد فضاء الحالات، وλk\lambda_{k} هي القيمة الذاتية kk-ية أو بمفهوم فيزيائي مستوى الطاقة kk، و∣ϕk⟩|\phi_k\rangle هي الحالة الذاتية المقابلة: H^∣ϕk⟩=λk∣ϕk⟩\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle، وستكون الطاقة المتوقعة لنظام في الحالة (المُعيَّرة) ∣ψ⟩|\psi\rangle:

⟨ψ∣H^∣ψ⟩=⟨ψ∣(∑k=0N−1λk∣ϕk⟩⟨ϕk∣)∣ψ⟩=∑k=0N−1λk⟨ψ∣ϕk⟩⟨ϕk∣ψ⟩=∑k=0N−1λk∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}

إذا أخذنا في الاعتبار أن λ0≤λk,∀k\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k، يكون لدينا:

⟨ψ∣H^∣ψ⟩=∑k=0N−1λk∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2≥∑k=0N−1λ0∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2=λ0∑k=0N−1∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2=λ0\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}

بما أن {∣ϕk⟩}k=0N−1\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1} أساس متعامد معيَّر، فإن احتمال قياس ∣ϕk⟩|\phi_{k} \rangle هو pk=∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2، ومجموع كل الاحتمالات ∑k=0N−1∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2=∑k=0N−1pk=1\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1. باختصار، الطاقة المتوقعة لأي نظام أعلى من الطاقة الدنيا أو طاقة الحالة الأساسية:

⟨ψ∣H^∣ψ⟩≥λ0.\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.

ينطبق الحجة أعلاه على أي حالة كمومية صالحة (معيَّرة) ∣ψ⟩|\psi\rangle، لذا من الممكن تماماً النظر في الحالات المُعامَلة ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle التي تعتمد على متجه معاملات θ⃗\vec\theta. هنا يأتي دور الجانب "التغايري". إذا اعتبرنا دالة التكلفة C(θ⃗):=⟨ψ(θ⃗)∣H^∣ψ(θ⃗)⟩C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle وأردنا تصغيرها، فإن الحد الأدنى سيحقق دائماً:

min⁡θ⃗C(θ⃗)=min⁡θ⃗⟨ψ(θ⃗)∣H^∣ψ(θ⃗)⟩≥λ0.\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.

القيمة الدنيا لـC(θ⃗)C(\vec\theta) هي أقرب ما يمكن الوصول إليه من λ0\lambda_0 باستخدام الحالات المُعامَلة ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle، ولن تتحقق المساواة إلا إذا وُجد متجه معاملات θ⃗∗\vec\theta^* بحيث ∣ψ(θ⃗∗)⟩=∣ϕ0⟩|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle.

نظرية التغاير في ميكانيكا الكم​

إذا اعتمدت الحالة (المُعيَّرة) ∣ψ⟩|\psi\rangle لنظام كمومي على متجه معاملات θ⃗\vec\theta، فإن أفضل تقريب للحالة الأساسية (أي الحالة الذاتية ∣ϕ0⟩|\phi_0\rangle ذات القيمة الذاتية الدنيا λ0\lambda_0) هو الذي يُصغِّر القيمة المتوقعة للهاميلتوني H^\hat{\mathcal{H}}:

⟨H^⟩(θ⃗):=⟨ψ(θ⃗)∣H^∣ψ(θ⃗)⟩≥λ0\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0

سبب صياغة نظرية التغاير بمصطلحات الحدود الدنيا للطاقة هو أنها تتضمن عدداً من الافتراضات الرياضية:

  • لأسباب فيزيائية، يجب أن يوجد حد أدنى منتهٍ للطاقة E≥λ0>−∞E \geq \lambda_0 > -\infty، حتى لـN→∞N\rightarrow\infty.
  • لا توجد عادةً حدود عليا.

غير أنه من الناحية الرياضية البحتة، لا يوجد ما يميز الهاميلتوني H^\hat{\mathcal{H}} عن غيره وراء هذه الافتراضات، لذا يمكن تعميم النظرية على مراصد كمومية أخرى وحالاتها الذاتية شريطة استيفاء القيود ذاتها. كذلك، إذا وُجدت حدود عليا منتهية، يمكن تطبيق الحجج الرياضية ذاتها لتعظيم القيم الذاتية بالتبديل بين الحدود الدنيا والحدود العليا.

ملخص​

من خلال هذا الدرس، اطلعت على نظرة شاملة للخوارزميات التغايرية. في الدروس التالية، سنستكشف كل خطوة بمزيد من التفصيل والمقايضات المرتبطة بها.