الترميز الفائق الكثافة

الترميز الفائق الكثافة (superdense coding) هو بروتوكول يحقق بمعنى ما هدفًا مكملًا للنقل الكمومي (teleportation). بدلًا من إتاحة إرسال كيوبت واحد باستخدام بتَّين كلاسيكيَّين من التواصل (مقابل تكلفة e-bit واحد من التشابك)، يُتيح إرسال بتَّين كلاسيكيَّين باستخدام كيوبت واحد من التواصل الكمومي (مرةً أخرى مقابل تكلفة e-bit واحد من التشابك).

بشيء من التفصيل، لدينا مُرسِل (أليس) ومستقبِل (بوب) يتشاركان e-bit واحدًا من التشابك. وفق الاتفاقيات المعتمدة في الدرس، هذا يعني أن أليس تمتلك كيوبت $\mathsf{A}$، وبوب يمتلك كيوبت $\mathsf{B}$، والزوج $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ معًا في الحالة $\vert\phi^+\rangle$. تريد أليس إرسال بتَّين كلاسيكيَّين إلى بوب، سنُسمِّيهما $c$ و $d$، وستنجز ذلك بإرسال كيوبت واحد إليه.

قد يبدو هذا الإنجاز أقل إثارةً مما يحققه النقل الكمومي. إذ إن إرسال الكيوبتات يُرجَّح أن يظل أصعب بكثير من إرسال البتات الكلاسيكية لفترة طويلة قادمة، بحيث يبدو مبادلة كيوبت واحد من التواصل الكمومي ببتَّين من التواصل الكلاسيكي مقابل تكلفة e-bit لا تستحق العناء. غير أن هذا لا يعني أن الترميز الفائق الكثافة غير مثير للاهتمام، فهو مثير قطعًا.

في سياق موضوع الدرس، أحد أسباب كون الترميز الفائق الكثافة مثيرًا للاهتمام هو أنه يُبيِّن استخدامًا ملموسًا ولافتًا (في سياق نظرية المعلومات) للتشابك. مبرهنة شهيرة في نظرية المعلومات الكمومية تُعرف بـ مبرهنة Holevo تُشير إلى أنه دون استخدام حالة متشابكة مشتركة، يستحيل نقل أكثر من بتّ واحد من المعلومات الكلاسيكية بإرسال كيوبت واحد. (مبرهنة Holevo أعم من هذا. صياغتها الدقيقة تقنية وتستلزم شرحًا، لكن هذه إحدى نتائجها.) لذا، يُتيح الترميز الفائق الكثافة من خلال التشابك المشترك مضاعفة الطاقة الاستيعابية الكلاسيكية لنقل المعلومات عبر إرسال الكيوبتات.

البروتوكول

مخطط الدائرة الكمومية التالي يصف بروتوكول الترميز الفائق الكثافة:

بالكلمات، إليك ما تفعله أليس:

1. إذا كان $d=1$، تُطبِّق أليس بوابة $Z$ على كيوبتها $\mathsf{A}$ (وإذا كان $d=0$ فلا تفعل شيئًا).

2. إذا كان $c=1$، تُطبِّق أليس بوابة $X$ على كيوبتها $\mathsf{A}$ (وإذا كان $c=0$ فلا تفعل شيئًا).

ثم ترسل أليس كيوبتها $\mathsf{A}$ إلى بوب.

حين يستلم بوب الكيوبت $\mathsf{A}$، يُطبِّق أولًا بوابة NOT المتحكَّم بها (CNOT) حيث $\mathsf{A}$ هي المتحكِّم (control) و $\mathsf{B}$ هي الهدف (target)، ثم يُطبِّق بوابة Hadamard على $\mathsf{A}$. يقيس بعدها $\mathsf{B}$ للحصول على $c$ ويقيس $\mathsf{A}$ للحصول على $d$، وذلك بقياسات الأساس القياسي في كلتا الحالتين.

التحليل

الفكرة وراء هذا البروتوكول بسيطة جدًا: تختار أليس فعليًا أي حالة بيل تريد مشاركتها مع بوب، ترسل إليه كيوبتها، وبوب يقيس ليحدد أي حالة بيل اختارت أليس.

أي أنهما يتشاركان في البداية $\vert\phi^+\rangle$، وحسب البتَّين $c$ و $d$، إما أن تُبقي أليس هذه الحالة كما هي أو تُحوِّلها إلى إحدى حالات بيل الأخرى بتطبيق $\mathbb{I}$ أو $X$ أو $Z$ أو $XZ$ على كيوبتها $\mathsf{A}$.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

تأثيرات عمليات بوب على حالات بيل الأربع هي كالتالي:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

يمكن التحقق من ذلك مباشرةً بحساب نتائج عمليات بوب على هذه الحالات واحدةً تلو الأخرى.

لذا، حين يجري بوب قياساته، يستطيع تحديد أي حالة بيل اختارت أليس. للتحقق من صحة عمل البروتوكول يكفي فحص كل حالة:

• إذا كان $cd = 00$، فإن حالة $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ حين يستلم بوب $\mathsf{A}$ هي $\vert \phi^+\rangle$. يُحوِّل بوب هذه الحالة إلى $\vert 00\rangle$ ويحصل على $cd = 00$.

• إذا كان $cd = 01$، فإن حالة $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ حين يستلم بوب $\mathsf{A}$ هي $\vert \phi^-\rangle$. يُحوِّل بوب هذه الحالة إلى $\vert 01\rangle$ ويحصل على $cd = 01$.

• إذا كان $cd = 10$، فإن حالة $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ حين يستلم بوب $\mathsf{A}$ هي $\vert \psi^+\rangle$. يُحوِّل بوب هذه الحالة إلى $\vert 10\rangle$ ويحصل على $cd = 10$.

• إذا كان $cd = 11$، فإن حالة $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ حين يستلم بوب $\mathsf{A}$ هي $\vert \psi^-\rangle$. يُحوِّل بوب هذه الحالة إلى $-\vert 11\rangle$ ويحصل على $cd = 11$. (عامل الطور السالب لا أثر له هنا.)