المعلومات الكلاسيكية

كما فعلنا في الدرس السابق، سنبدأ هذا الدرس بمناقشة المعلومات الكلاسيكية. وأيضاً، الأوصاف الاحتمالية والكمية متشابهة رياضيًا، والتعرف على طريقة عمل الرياضيات في السياق المألوف للمعلومات الكلاسيكية يساعد على فهم لماذا يتم وصف معلومات الكم بهذه الطريقة.

الحالات الكلاسيكية عبر الضرب الديكارتي

سنبدأ من المستوى الأساسي جدًا، بالحالات الكلاسيكية لأنظمة متعددة. للتبسيط، سنبدأ بمناقشة نظامين فقط، ثم نعمم لأكثر من نظامين.

بشكل دقيق، لنفترض أن $\mathsf{X}$ نظام مجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\Sigma,$ وأن $\mathsf{Y}$ نظام آخر مجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\Gamma.$ لاحظ أننا حين أشرنا لهذه المجموعات بـمجموعات الحالات الكلاسيكية، افترضنا أن $\Sigma$ و$\Gamma$ كلتاهما منتهيتان وغير فارغتين. قد يكون $\Sigma = \Gamma,$ لكن هذا ليس شرطاً — وبغض النظر، من المفيد استخدام أسماء مختلفة للإشارة لهذه المجموعات من أجل الوضوح.

الآن تخيل أن النظامين $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ وُضعا جنباً إلى جنب، $\mathsf{X}$ على اليسار و$\mathsf{Y}$ على اليمين. إذا اخترنا ذلك، يمكننا النظر لهذين النظامين كأنهما يكوّنان نظاماً واحداً، يمكن الرمز له بـ$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ أو $\mathsf{XY}$ حسب تفضيلنا. سؤال طبيعي عن هذا النظام المركب $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هو: "ما حالاته الكلاسيكية؟"

الإجابة هي أن مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي الضرب الديكارتي لـ$\Sigma$ و$\Gamma$، وهي المجموعة المعرَّفة بـ

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

بعبارة بسيطة، الضرب الديكارتي هو بالضبط المفهوم الرياضي الذي يُعبّر عن فكرة النظر لعنصر من مجموعة وعنصر من مجموعة أخرى معًا، كأنهما يكوّنان عنصرًا واحدًا في مجموعة واحدة. في حالتنا هذه، القول بأن $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ في الحالة الكلاسيكية $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ يعني أن $\mathsf{X}$ في الحالة الكلاسيكية $a\in\Sigma$ و$\mathsf{Y}$ في الحالة الكلاسيكية $b\in\Gamma;$ وإذا كانت الحالة الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ هي $a\in\Sigma$ والحالة الكلاسيكية لـ$\mathsf{Y}$ هي $b\in\Gamma$، فإن الحالة الكلاسيكية للنظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي $(a,b).$

بالنسبة لأكثر من نظامين، يتعمم الأمر بطريقة طبيعية. إذا افترضنا أن $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ أنظمة لها مجموعات حالات كلاسيكية $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n,$ على التوالي، لأي عدد صحيح موجب $n$، فإن مجموعة الحالات الكلاسيكية للـ$n$-tuple $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ المنظور إليها كنظام مشترك واحد، هي الضرب الديكارتي

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

بالطبع، نحن أحرار في استخدام أي أسماء نختارها للأنظمة، وترتيبها كما نشاء. بالتحديد، إذا كان لدينا $n$ من الأنظمة كما ذُكر أعلاه، يمكننا اختيار تسميتها $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ وترتيبها من اليمين لليسار، ليصبح النظام المشترك $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ بنفس نمط التسمية لمجموعات الحالات الكلاسيكية والحالات الكلاسيكية المرتبطة بها، يمكننا الإشارة لحالة كلاسيكية

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

لهذا النظام المركب. في الواقع، هذه هي اتفاقية الترتيب التي يستخدمها Qiskit لتسمية الكيوبتات المتعددة. سنعود لهذه الاتفاقية وعلاقتها بدوائر الكم في الدرس التالي، لكن سنبدأ باستخدامها الآن للتعود عليها.

من المفيد في الغالب كتابة حالة كلاسيكية بالشكل $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ كـسلسلة $a_{n-1}\cdots a_0$ للاختصار، خاصةً في الحالة الشائعة جدًا التي تكون فيها مجموعات الحالات الكلاسيكية $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ مرتبطة بمجموعات من الرموز أو الحروف. في هذا السياق، مصطلح الأبجدية يُستخدم عادةً للإشارة لمجموعات الرموز المستخدمة لتكوين السلاسل، لكن التعريف الرياضي للأبجدية هو نفسه تمامًا تعريف مجموعة الحالات الكلاسيكية: هي مجموعة منتهية وغير فارغة.

مثلًا، إذا افترضنا أن $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ بتات، بحيث تكون مجموعات الحالات الكلاسيكية لهذه الأنظمة كلها نفسها.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

هناك إذن $2^{10} = 1024$ حالة كلاسيكية للنظام المشترك $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ وهي عناصر المجموعة

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

مكتوبةً كسلاسل، هذه الحالات الكلاسيكية تبدو هكذا:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

بالنسبة للحالة الكلاسيكية $0000000110$ مثلًا، نرى أن $\mathsf{X}_1$ و$\mathsf{X}_2$ في الحالة $1$، بينما كل الأنظمة الأخرى في الحالة $0.$

الحالات الاحتمالية

تذكّر من الدرس السابق أن الحالة الاحتمالية تربط احتمالًا بكل حالة كلاسيكية لنظام ما. وبذلك، الحالة الاحتمالية لأنظمة متعددة — منظور إليها كنظام واحد — تربط احتمالًا بكل عنصر من الضرب الديكارتي لمجموعات الحالات الكلاسيكية للأنظمة الفردية.

مثلًا، إذا افترضنا أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلاهما بتات، بحيث تكون مجموعات الحالات الكلاسيكية المقابلة لهما $\Sigma = \{0,1\}$ و$\Gamma = \{0,1\},$ على التوالي. إليك حالة احتمالية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

هذه الحالة الاحتمالية هي التي يكون فيها $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلاهما بتات عشوائية — كل منهما $0$ باحتمال $1/2$ و$1$ باحتمال $1/2$ — لكن الحالات الكلاسيكية للبتتين تتوافق دائمًا. هذا مثال على الترابط بين هذه الأنظمة.

ترتيب مجموعات حالات الضرب الديكارتي

الحالات الاحتمالية للأنظمة يمكن أن تُمثَّل بمتجهات الاحتمال، كما ناقشنا في الدرس السابق. بالتحديد، إدخالات المتجه تمثل احتمالات كون النظام في الحالات الكلاسيكية المحتملة لذلك النظام، والمفهوم هو أن تطابقًا بين الإدخالات ومجموعة الحالات الكلاسيكية قد اختير.

اختيار هذا التطابق يعني فعليًا تحديد ترتيب للحالات الكلاسيكية، الذي غالبًا ما يكون طبيعيًا أو محددًا باتفاقية معيارية. مثلًا، الأبجدية الثنائية $\{0,1\}$ مرتبة بشكل طبيعي بوضع $0$ أولًا و$1$ ثانيًا، فالإدخال الأول في متجه الاحتمال الذي يمثل حالة احتمالية لبت هو احتمال كونه في الحالة $0$، والإدخال الثاني هو احتمال كونه في الحالة $1.$

كل هذا لا يتغير في سياق الأنظمة المتعددة، لكن هناك قرار يجب اتخاذه.

مجموعة الحالات الكلاسيكية لأنظمة متعددة مجتمعة، إذا نظرنا إليها بشكل جماعي كنظام واحد، هي حاصل الضرب الديكارتي لمجموعات الحالات الكلاسيكية للأنظمة الفردية — لذا علينا أن نقرر كيفية ترتيب عناصر حواصل الضرب الديكارتي لمجموعات الحالات الكلاسيكية.

هناك اتفاقية بسيطة نتبعها لعمل ذلك، وهي أن نبدأ بأي ترتيبات موجودة مسبقاً للمجموعات الكلاسيكية الفردية، ثم نرتب عناصر حاصل الضرب الديكارتي أبجدياً. بطريقة أخرى، المدخلات في كل $n$-صف (أو، بشكل مكافئ، الرموز في كل سلسلة) تُعامَل كما لو كانت لها أهمية تتناقص من اليسار إلى اليمين. مثلاً، وفقاً لهذه الاتفاقية، يُرتَّب حاصل الضرب الديكارتي $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ على النحو التالي:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

حين تُكتب الـ$n$-صفوف كسلاسل وتُرتَّب بهذه الطريقة، نلاحظ أنماطاً مألوفة، مثل $\{0,1\}\times\{0,1\}$ التي تُرتَّب كـ$00, 01, 10, 11,$ والمجموعة $\{0,1\}^{10}$ التي تُرتَّب كما كُتبت سابقاً في الدرس. كمثال آخر، إذا نظرنا إلى المجموعة $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ كمجموعة من السلاسل، نحصل على الأرقام ذات الخانتين $00$ إلى $99,$ مرتبةً عددياً. من الواضح أن هذا ليس مصادفة؛ نظام الأرقام العشري لدينا يستخدم بالضبط هذا النوع من الترتيب الأبجدي، حيث يجب أن تُفهَم كلمة أبجدي بمعناها الواسع الذي يشمل الأرقام إضافةً إلى الحروف.

بالعودة إلى مثال البتين من الأعلى، فإن الحالة الاحتمالية الموصوفة مسبقاً تُمثَّل إذاً بمتجه الاحتمالية التالي، حيث تُوسَم المدخلات بشكل صريح من أجل الوضوح.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

استقلالية نظامين

نوع خاص من الحالات الاحتمالية لنظامين هو الحالة التي يكون فيها النظامان مستقلَّين. بشكل بديهي، نظامان مستقلان إذا كان تعلُّم الحالة الكلاسيكية لأي منهما لا يؤثر على الاحتمالات المرتبطة بالآخر. أي أن معرفة الحالة الكلاسيكية لأحد النظامين لا تعطي أي معلومة على الإطلاق عن الحالة الكلاسيكية للآخر.

لتعريف هذا المفهوم بدقة، لنفترض مجدداً أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامان لهما مجموعات حالات كلاسيكية $\Sigma$ و$\Gamma$ على التوالي. بالنسبة لحالة احتمالية معينة لهذين النظامين، يُقال إنهما مستقلان إذا كان

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

لكل اختيار لـ$a\in\Sigma$ و$b\in\Gamma.$

للتعبير عن هذا الشرط بصياغة متجهات الاحتمالية، افترض أن الحالة الاحتمالية المعطاة لـ$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تُوصف بمتجه احتمالية، مكتوباً بصيغة ديراك كـ

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

الشرط $(2)$ للاستقلالية يكافئ حينئذٍ وجود متجهَي احتمالية

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

يمثلان الاحتمالات المرتبطة بالحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ على التوالي، بحيث

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

لكل $a\in\Sigma$ و$b\in\Gamma.$

مثلاً، الحالة الاحتمالية لزوج من البتات $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ التي يمثلها المتجه

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

هي حالة يكون فيها $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ مستقلَّين. بالتحديد، شرط الاستقلالية يتحقق لمتجهَي الاحتمالية

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

مثلاً، لكي تتطابق احتمالات الحالة $00$، نحتاج إلى أن $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ وهذا صحيح فعلاً. يمكن التحقق من المدخلات الأخرى بطريقة مماثلة.

من ناحية أخرى، الحالة الاحتمالية $(1),$ التي يمكن كتابتها كـ

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

لا تمثل استقلالية بين النظامين $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}.$ إليك طريقة بسيطة للتدليل على ذلك.

لنفترض أنه كان يوجد فعلاً متجها احتمالية $\vert \phi\rangle$ و$\vert \psi \rangle,$ كما في المعادلة $(3)$ أعلاه، يحققان الشرط $(4)$ لكل اختيار لـ$a$ و$b.$ سيكون من الضروري حينئذٍ أن

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

هذا يعني إما أن $q_0 = 0$ أو $r_1 = 0,$ لأنه لو كانا كلاهما غير صفر، لكان حاصل ضربهما $q_0 r_1$ غير صفر أيضاً. هذا يقودنا إلى الاستنتاج بأن إما $q_0 r_0 = 0$ (في حالة $q_0 = 0$) أو $q_1 r_1 = 0$ (في حالة $r_1 = 0$). غير أننا نرى أن أياً من هاتين المساواتين لا يمكن أن تكون صحيحة لأنه يجب أن يكون $q_0 r_0 = 1/2$ و$q_1 r_1 = 1/2.$ من ثَمَّ، لا توجد متجهات $\vert\phi\rangle$ و$\vert\psi\rangle$ تحقق الخاصية المطلوبة للاستقلالية.

بعد أن عرّفنا الاستقلالية بين نظامين، يمكننا الآن تعريف ما يعنيه الترابط: وهو انعدام الاستقلالية. مثلاً، لأن البتين في الحالة الاحتمالية التي يمثلها المتجه $(5)$ ليسا مستقلَّين، فهما بالتعريف مترابطان.

حواصل الضرب التنسوري للمتجهات

يمكن التعبير عن شرط الاستقلالية الذي وصفناه للتو بإيجاز من خلال مفهوم حاصل الضرب التنسوري. رغم أن حواصل الضرب التنسورية مفهوم عام جداً، ويمكن تعريفه بشكل مجرد تماماً وتطبيقه على مجموعة متنوعة من البنى الرياضية، يمكننا اعتماد تعريف بسيط وملموس في الحالة الراهنة.

بالنظر إلى متجهين

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

الجداء التنسوري $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ هو المتجه المعرَّف على النحو التالي

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

مداخل هذا المتجه الجديد تقابل عناصر الجداء الديكارتي $\Sigma\times\Gamma,$ والتي تُكتب كسلاسل نصية في المعادلة السابقة. وبصورة مكافئة، المتجه $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ يُعرَّف بالمعادلة

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

بحيث تكون صحيحة لكل $a\in\Sigma$ و $b\in\Gamma.$

الآن يمكننا إعادة صياغة شرط الاستقلالية: بالنسبة لنظام مشترك $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ في حالة احتمالية يمثلها متجه احتمالي $\vert \pi \rangle,$ فإن النظامين $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ يكونان مستقلَّين إذا كان $\vert\pi\rangle$ ناتجًا من جداء تنسوري

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

لمتجهات احتمالية $\vert \phi \rangle$ و $\vert \psi \rangle$ على كل من النظامين الجزئيين $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}.$ في هذه الحالة، يُقال إن $\vert \pi \rangle$ هو حالة جداء أو متجه جداء.

كثيرًا ما نحذف الرمز $\otimes$ عند أخذ الجداء التنسوري لـ kets، مثل كتابة $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ بدلًا من $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ هذه الاتفاقية تُعبّر عن فكرة أن الجداء التنسوري هو، في هذا السياق، الطريقة الأكثر طبيعية أو الافتراضية لأخذ جداء متجهين. وعلى الرغم من أنه أقل شيوعًا، فإن الرمز $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ يُستخدم أحيانًا أيضًا.

حين نستخدم الاتفاقية الأبجدية لترتيب عناصر الجداءات الديكارتية، نحصل على الصياغة التالية للجداء التنسوري لمتجهَي عمود.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

كملاحظة مهمة، انتبه للتعبير التالي للجداءات التنسورية لمتجهات الأساس القياسي:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

كان بإمكاننا كتابة $(a,b)$ كزوج مرتّب بدلًا من سلسلة نصية، وفي هذه الحالة نحصل على $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ لكن الأكثر شيوعًا هو حذف الأقواس في هذه الحالة، وبدلًا من ذلك نكتب $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ وهذا معتاد في الرياضيات بشكل عام؛ إذ تُحذف الأقواس التي لا تُضيف وضوحًا ولا تُزيل التباسًا في الغالب.

الجداء التنسوري لمتجهين له خاصية مهمة تتمثل في كونه ثنائي الخطية، وهذا يعني أنه خطي في كل واحد من الوسيطين بشكل مستقل، بافتراض ثبات الوسيط الآخر. هذه الخاصية يمكن التعبير عنها من خلال هذه المعادلات:

1. الخطية في الوسيط الأول:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. الخطية في الوسيط الثاني:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

بالنظر إلى المعادلة الثانية في كل زوج من هذه الأزواج، نرى أن الثوابت "تتحرك بحرية" داخل الجداءات التنسورية:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

لذلك لا يوجد أي التباس في كتابة $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ أو بدلًا من ذلك $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ أو $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ للإشارة إلى هذا المتجه.

الاستقلالية والجداءات التنسورية لثلاثة أنظمة أو أكثر

مفاهيم الاستقلالية والجداءات التنسورية تتعمم بشكل مباشر لثلاثة أنظمة أو أكثر. إذا كانت $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ أنظمة تمتلك مجموعات الحالات الكلاسيكية $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ على التوالي، فإن الحالة الاحتمالية للنظام المشترك $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ تكون حالة جداء إذا أخذ متجه الاحتمالات المرتبط به الشكل

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

لمتجهات الاحتمال $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ التي تصف الحالات الاحتمالية لـ $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ هنا، تعريف الجداء التنسوري يتعمم بشكل طبيعي: المتجه

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

يُعرَّف بالمعادلة

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

التي تكون صحيحة لكل $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

طريقة مختلفة لكنها مكافئة لتعريف الجداء التنسوري لثلاثة متجهات أو أكثر هي التعريف التكراري بدلالة الجداءات التنسورية لمتجهين:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

بالمثل للجداء التنسوري لمتجهين فقط، الجداء التنسوري لثلاثة متجهات أو أكثر يكون خطيًا في كل وسيط على حدة، بافتراض أن جميع الوسطاء الأخرى ثابتة. في هذه الحالة يُقال إن الجداء التنسوري لثلاثة متجهات أو أكثر هو متعدد الخطية.

كما في حالة النظامين، يمكننا القول إن الأنظمة $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ مستقلة حين تكون في حالة جداء، لكن مصطلح مستقلة تبادليًا أكثر دقة. ثمة مفاهيم أخرى للاستقلالية لثلاثة أنظمة أو أكثر، مثل الاستقلالية الثنائية، وهي مثيرة للاهتمام ومهمة — لكنها ليست في سياق هذه الدورة.

تعميمًا للملاحظة السابقة المتعلقة بالجداءات التنسورية لمتجهات الأساس القياسية، لأي عدد صحيح موجب $n$ وأي حالات كلاسيكية $a_0,\ldots,a_{n-1},$ لدينا

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

قياسات الحالات الاحتمالية

لننتقل الآن إلى قياسات الحالات الاحتمالية لأنظمة متعددة. باختيار النظر إلى الأنظمة المتعددة معًا باعتبارها نظامًا واحدًا، نحصل فورًا على مواصفات كيفية عمل القياسات لأنظمة متعددة — شريطة قياس جميع الأنظمة.

على سبيل المثال، إذا كانت الحالة الاحتمالية لبتَّين $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تُوصف بمتجه الاحتمال

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

فإن النتيجة $00$ — بمعنى $0$ لقياس $\mathsf{X}$ و$0$ لقياس $\mathsf{Y}$ — تُحصَل عليها باحتمال $1/2$ والنتيجة $11$ تُحصَل عليها أيضًا باحتمال $1/2.$ في كل حالة نُحدِّث وصف متجه الاحتمال لمعرفتنا وفق ذلك، بحيث تصبح الحالة الاحتمالية $|00\rangle$ أو $|11\rangle$ على التوالي.

غير أننا قد نختار قياس كل الأنظمة، بل بعضها فقط. هذا سيُفضي إلى نتيجة قياس لكل نظام يُقاس، وسيؤثر أيضًا (بشكل عام) على معرفتنا بالأنظمة المتبقية التي لم نقسها.

لشرح كيفية عمل ذلك، سنركز على حالة نظامين، يُقاس أحدهما. الحالة الأعم — التي يُقاس فيها مجموعة فرعية صحيحة من ثلاثة أنظمة أو أكثر — تُختزَل فعليًا إلى حالة النظامين حين ننظر إلى الأنظمة المقيسة مجتمعةً كأنها نظام واحد والأنظمة غير المقيسة كأنها نظام ثانٍ.

لنكن أكثر دقة، لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامان بمجموعتَي حالة كلاسيكية $\Sigma$ و$\Gamma$ على التوالي، وأن النظامين معًا في حالة احتمالية ما. سننظر في ما يحدث حين نقيس $\mathsf{X}$ فقط دون أن نفعل شيئًا بـ $\mathsf{Y}.$ أما الحالة التي تُقاس فيها $\mathsf{Y}$ فقط دون المساس بـ $\mathsf{X}$ فتُعالَج بنفس المنطق.

أولًا، نعلم أن احتمال رصد حالة كلاسيكية معينة $a\in\Sigma$ عند قياس $\mathsf{X}$ فقط يجب أن يكون متسقًا مع الاحتمالات التي نحصل عليها بافتراض قياس $\mathsf{Y}$ أيضًا. أي يجب أن يكون لدينا

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

هذه هي صيغة ما يُسمى بالحالة الاحتمالية المُختزَلة (أو الهامشية) لـ $\mathsf{X}$ منفردًا.

هذه الصيغة منطقية تمامًا على المستوى الحدسي، بمعنى أنه يجب أن يحدث شيء غريب جدًا حتى تكون خاطئة. لو كانت خاطئة لكان معناها أن قياس $\mathsf{Y}$ يمكنه بطريقة ما التأثير على الاحتمالات المرتبطة بنتائج قياس $\mathsf{X}$، بصرف النظر عن النتيجة الفعلية لقياس $\mathsf{Y}.$ لو كانت $\mathsf{Y}$ في موقع بعيد، كمكان ما في مجرة أخرى مثلًا، لأتاح ذلك الإشارة بسرعة أكبر من الضوء — وهو ما نرفضه استنادًا إلى فهمنا للفيزياء. ثمة طريقة أخرى لفهم هذا الأمر مستمدة من تفسير الاحتمال باعتباره تعبيرًا عن درجة الاعتقاد. مجرد حقيقة أن شخصًا آخر قد يقرر النظر إلى $\mathsf{Y}$ لا تستطيع تغيير الحالة الكلاسيكية لـ $\mathsf{X}$، فمن دون أي معلومات عمّا فعله أو رآه أو لم يره، لا ينبغي أن تتغير معتقدات المرء حول حالة $\mathsf{X}$ نتيجةً لذلك.

الآن، بافتراض قياس $\mathsf{X}$ فقط دون $\mathsf{Y}$، قد لا تزال ثمة حالة من عدم اليقين بشأن الحالة الكلاسيكية لـ $\mathsf{Y}.$ لهذا السبب، بدلًا من تحديث وصفنا للحالة الاحتمالية لـ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ إلى $\vert ab\rangle$ لاختيار معين من $a\in\Sigma$ و$b\in\Gamma$، يجب أن نُحدِّث وصفنا بحيث يعكس عدم اليقين هذا بشأن $\mathsf{Y}$ بشكل صحيح.

صيغة الاحتمال الشرطي التالية تعكس هذا الغموض.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

هنا، التعبير $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ يرمز إلى احتمال أن $\mathsf{Y} = b$ بشرط (أو بمعلومية) أن $\mathsf{X} = a.$ من الناحية التقنية، هذا التعبير لا يكون منطقيًا إلا إذا كان $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ غير صفري، لأنه إذا كان $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ فنحن نقسم على صفر ونحصل على الصيغة غير المحددة $\frac{0}{0}.$ لكن هذه ليست مشكلة، لأنه إذا كان الاحتمال المرتبط بـ $a$ يساوي صفرًا، فلن نحصل أبدًا على $a$ كنتيجة لقياس $\mathsf{X}$، ولذا لا داعي للقلق من هذا الاحتمال.

للتعبير عن هذه الصيغ بدلالة متجهات الاحتمال، لنأخذ متجه احتمال $\vert \pi \rangle$ يصف حالة احتمالية مشتركة لـ $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

قياس $\mathsf{X}$ منفردًا يُعطي كل نتيجة ممكنة $a\in\Sigma$ باحتمال

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

المتجه الممثِّل للحالة الاحتمالية لـ $\mathsf{X}$ منفردًا هو إذن

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

بعد الحصول على نتيجة معينة $a\in\Sigma$ لقياس $\mathsf{X}$، تُحدَّث الحالة الاحتمالية لـ $\mathsf{Y}$ وفق صيغة الاحتمالات الشرطية، لتُمثَّل بمتجه الاحتمال هذا:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

في حالة أن قياس $\mathsf{X}$ أفضى إلى الحالة الكلاسيكية $a$، نُحدِّث إذن وصفنا للحالة الاحتمالية للنظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ إلى $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

إحدى الطرق للتفكير في هذا التعريف لـ $\vert\psi_a\rangle$ هي رؤيته كـتطبيع للمتجه $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle$، حيث نقسم على مجموع مدخلات هذا المتجه للحصول على متجه احتمال. هذا التطبيع يُمثِّل فعليًا الاشتراط على حدث أن قياس $\mathsf{X}$ أسفر عن النتيجة $a.$

لمثال محدد، لنفترض أن مجموعة الحالة الكلاسيكية لـ $\mathsf{X}$ هي $\Sigma = \{0,1\}$، ومجموعة الحالة الكلاسيكية لـ $\mathsf{Y}$ هي $\Gamma = \{1,2,3\}$، وأن الحالة الاحتمالية لـ $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

هدفنا هو تحديد احتمالات النتيجتين الممكنتين ($0$ و$1$)، وحساب الحالة الاحتمالية الناتجة للنظام $\mathsf{Y}$ لكل من النتيجتين، بافتراض أننا قسنا النظام $\mathsf{X}$.

باستخدام الخطية الثنائية للجداء التنسوري، وتحديداً كونه خطياً في المعامل الثاني، يمكننا إعادة كتابة المتجه $\vert \pi \rangle$ على النحو التالي:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

بعبارة أخرى، ما فعلناه هو عزل متجهات الأساس القياسي المختلفة للنظام الأول (أي النظام الذي نقيسه)، وضرب كل منها تنسورياً بالتركيبة الخطية لمتجهات الأساس القياسي للنظام الثاني التي نحصل عليها باختيار مدخلات المتجه الأصلي المتوافقة مع الحالة الكلاسيكية المقابلة للنظام الأول. قليل من التفكير يكشف أن هذا ممكن دائماً، بغض النظر عن المتجه الذي بدأنا به.

بعد أن عبّرنا عن متجه الاحتمالية بهذه الطريقة، أصبح من السهل تحليل تأثيرات قياس النظام الأول. يمكن الحصول على احتمالات النتيجتين بجمع الاحتمالات الموجودة بين القوسين.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

مجموع هذه الاحتمالات يساوي واحداً كما هو متوقع — وهذا يُعدّ تحققاً مفيداً من صحة حساباتنا.

والآن، يمكن استنتاج الحالة الاحتمالية للنظام $\mathsf{Y}$ بشرط كل نتيجة ممكنة عن طريق تطبيع المتجهات الموجودة بين القوسين. أي أننا نقسم هذه المتجهات على الاحتمالات المرتبطة بها التي حسبناها للتو، حتى تصبح متجهات احتمالية.

وبذلك، بشرط أن يكون $\mathsf{X}$ مساوياً لـ $0,$ تصبح الحالة الاحتمالية للنظام $\mathsf{Y}$

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

وبشرط أن يكون قياس $\mathsf{X}$ مساوياً لـ $1,$ تصبح الحالة الاحتمالية للنظام $\mathsf{Y}$

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

العمليات على الحالات الاحتمالية

لنختتم هذا النقاش حول المعلومات الكلاسيكية للأنظمة المتعددة، سنتناول العمليات على أنظمة متعددة في حالات احتمالية. باتباع نفس الفكرة السابقة، يمكننا النظر إلى الأنظمة المتعددة مجتمعةً كأنظمة مركّبة واحدة، ثم الرجوع إلى الدرس السابق لنرى كيف يعمل ذلك.

بالعودة إلى الإعداد المعتاد حيث لدينا نظامان $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y},$ لنتأمل العمليات الكلاسيكية على النظام المركّب $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ استناداً إلى الدرس السابق والنقاش أعلاه، نستنتج أن أي عملية من هذا النوع تُمثَّل بمصفوفة عشوائية تُفهرَس صفوفها وأعمدتها بالضرب الديكارتي $\Sigma\times\Gamma.$

على سبيل المثال، لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ بتّان، ولنتأمل عملية بالوصف التالي.

العملية

إذا كان $\mathsf{X} = 1,$ فطبّق عملية NOT على $\mathsf{Y}.$
وإلا، لا تفعل شيئاً.

هذه عملية حتمية تُعرف بعملية NOT المتحكَّم بها، حيث يكون $\mathsf{X}$ هو البت المتحكِّم الذي يحدد ما إذا كان ينبغي تطبيق عملية NOT على البت المستهدَف $\mathsf{Y}.$ وفيما يلي التمثيل المصفوفي لهذه العملية:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

تأثيرها على حالات الأساس القياسي كالتالي.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

إذا استبدلنا دور $\mathsf{X}$ بدور $\mathsf{Y}$، بحيث يصبح $\mathsf{Y}$ هو البت المتحكِّم و$\mathsf{X}$ هو البت المستهدَف، فإن التمثيل المصفوفي للعملية سيصبح

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

وتأثيرها على حالات الأساس القياسي سيكون كالتالي:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

مثال آخر هو العملية ذات الوصف التالي:

العملية

نفّذ إحدى العمليتين التاليتين، كل منهما باحتمال $1/2:$

1. اجعل $\mathsf{Y}$ مساوياً لـ $\mathsf{X}.$
2. اجعل $\mathsf{X}$ مساوياً لـ $\mathsf{Y}.$

التمثيل المصفوفي لهذه العملية هو كالتالي:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

تأثير هذه العملية على متجهات الأساس القياسية هو كما يلي:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

في هذه الأمثلة، نحن ببساطة ننظر إلى نظامين معًا كنظام واحد ونمضي كما في الدرس السابق.

يمكن فعل نفس الشيء لأي عدد من الأنظمة. على سبيل المثال، تخيّل أن لدينا ثلاثة بتات، ونقوم بزيادة الثلاثة بتات بالمقياس modulo $8$ — أي أننا نفكر في الثلاثة بتات كتشفير لرقم بين $0$ و$7$ باستخدام الترميز الثنائي، نضيف $1,$ ثم نأخذ الباقي بعد القسمة على $8.$ إحدى الطرق للتعبير عن هذه العملية هي كما يلي:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

طريقة أخرى للتعبير عنها هي:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

بافتراض أننا اتفقنا على أن الأرقام من $0$ إلى $7$ داخل الـ kets تشير إلى الترميزات الثنائية ذات الثلاثة بتات لتلك الأرقام. خيار ثالث هو التعبير عن هذه العملية كمصفوفة.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

العمليات المستقلة

لنفترض الآن أن لدينا أنظمة متعددة ونقوم بشكل مستقل بتنفيذ عمليات مختلفة على الأنظمة بشكل منفصل.

على سبيل المثال، بأخذ الإعداد المعتاد لدينا من نظامين $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ اللذين لهما مجموعتا الحالة الكلاسيكية $\Sigma$ و$\Gamma$ على التوالي، لنفترض أننا نُجري عملية على $\mathsf{X}$ وبشكل مستقل تمامًا، عملية أخرى على $\mathsf{Y}.$ كما نعلم من الدرس السابق، يتم تمثيل هذه العمليات بمصفوفات عشوائية — وبدقة، لنقل إن العملية على $\mathsf{X}$ ممثَّلة بالمصفوفة $M$ والعملية على $\mathsf{Y}$ ممثَّلة بالمصفوفة $N.$ وبالتالي، فإن صفوف وأعمدة $M$ لها مؤشرات موضوعة في تطابق مع عناصر $\Sigma$ وكذلك الأمر، فإن صفوف وأعمدة $N$ تتطابق مع عناصر $\Gamma.$

سؤال طبيعي يُطرح هو: إذا نظرنا إلى $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ معًا كنظام مركّب واحد $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ما هي المصفوفة التي تمثّل التأثير المشترك للعمليتين على هذا النظام المركّب؟ للإجابة على هذا السؤال علينا أولاً أن نتعرّف على حاصل الضرب التنسوري للمصفوفات، والذي يشبه حاصل الضرب التنسوري للمتجهات ويُعرَّف بطريقة مماثلة.

حاصل الضرب التنسوري للمصفوفات

حاصل الضرب التنسوري $M\otimes N$ للمصفوفتين

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

و

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

هو المصفوفة

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

وبشكل مكافئ، يُعرَّف حاصل الضرب التنسوري لـ $M$ و$N$ بالمعادلة

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

التي تكون صحيحة لكل اختيار من $a,b\in\Sigma$ و$c,d\in\Gamma.$

طريقة بديلة لكنها مكافئة لوصف $M\otimes N$ هي أنها المصفوفة الوحيدة التي تحقق المعادلة

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

لكل اختيار ممكن من المتجهات $\vert\phi\rangle$ و$\vert\psi\rangle,$ بافتراض أن مؤشرات $\vert\phi\rangle$ تتطابق مع عناصر $\Sigma$ ومؤشرات $\vert\psi\rangle$ تتطابق مع $\Gamma.$

باتباع الاصطلاح الموصوف سابقًا لترتيب عناصر الجداء الديكارتي، يمكننا أيضًا كتابة حاصل الضرب التنسوري لمصفوفتين بشكل صريح كما يلي:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

حاصل الضرب التنسوري لثلاث مصفوفات أو أكثر يُعرَّف بطريقة مشابهة. إذا كانت $M_0, \ldots, M_{n-1}$ مصفوفات تتوافق مؤشراتها مع مجموعات الحالات الكلاسيكية $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ فإن حاصل الضرب التنسوري $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ يُعرَّف بالشرط التالي:

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

لأي اختيار من الحالات الكلاسيكية $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ وبشكل بديل، يمكن تعريف حاصل الضرب التنسوري لثلاث مصفوفات أو أكثر بصورة تعاودية، من حيث حاصل الضرب التنسوري لمصفوفتين، وهو ما لاحظناه مسبقاً بالنسبة للمتجهات.

يُقال أحياناً إن حاصل الضرب التنسوري للمصفوفات ضربي لأن المعادلة

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

صحيحة دائماً، لأي اختيار من المصفوفات $M_0,\ldots,M_{n-1}$ و $N_0\ldots,N_{n-1},$ بشرط أن تكون حواصل الضرب $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ ذات معنى.

العمليات المستقلة (تتمة)

يمكننا الآن الإجابة على السؤال الذي طرحناه سابقاً: إذا كانت $M$ عملية احتمالية على $\mathsf{X},$ و $N$ عملية احتمالية على $\mathsf{Y},$ وتم تنفيذ العمليتين باستقلالية، فإن العملية الناتجة على النظام المركّب $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي حاصل الضرب التنسوري $M\otimes N.$

إذن، سواء للحالات الاحتمالية أو للعمليات الاحتمالية، تمثّل حواصل الضرب التنسوري الاستقلالية. إذا كان لدينا نظامان $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ في حالتين احتماليتين مستقلتين $\vert\phi\rangle$ و $\vert\psi\rangle,$ فإن النظام المركّب $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يكون في الحالة الاحتمالية $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ وإذا طبّقنا عمليتين احتماليتين $M$ و $N$ على النظامين بشكل مستقل، فإن الأثر الناتج على النظام المركّب $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يوصف بالعملية $M\otimes N.$

لنلقِ نظرة على مثال يستحضر عملية احتمالية على بت واحد من الدرس السابق: إذا كانت الحالة الكلاسيكية للبت هي $0,$ فإنه يُترك كما هو؛ وإذا كانت الحالة الكلاسيكية للبت هي $1,$ فإنه يُقلب إلى 0 باحتمال $1/2.$ لاحظنا أن هذه العملية تُمثَّل بالمصفوفة

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

إذا طُبِّقت هذه العملية على بت $\mathsf{X},$ وتمت عملية NOT (باستقلالية) على بت ثانٍ $\mathsf{Y},$ فإن العملية المشتركة على النظام المركّب $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تمتلك التمثيل المصفوفي

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

بالفحص المباشر نرى أن هذه مصفوفة عشوائية. وسيكون هذا هو الحال دائماً: حاصل الضرب التنسوري لمصفوفتين عشوائيتين أو أكثر يكون عشوائياً دائماً.

من المواقف الشائعة التي نصادفها هي تلك التي تُطبَّق فيها عملية على نظام واحد بينما لا يُفعَل شيء بنظام آخر. في هذه الحالة، يُتّبع بالضبط نفس الأسلوب، مع مراعاة أن عدم فعل شيء يُمثَّل بمصفوفة الوحدة. مثلاً، إعادة ضبط البت $\mathsf{X}$ إلى الحالة $0$ وعدم فعل شيء بـ $\mathsf{Y}$ ينتج عنه عملية احتمالية (وفي الواقع حتمية) على $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تُمثَّل بالمصفوفة

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$