المعلومات الكمومية

نحن الآن مستعدون للانتقال إلى المعلومات الكمومية في سياق الأنظمة المتعددة. تمامًا كما رأينا في الدرس السابق حول الأنظمة الفردية، فإن الوصف الرياضي للمعلومات الكمومية في الأنظمة المتعددة يشبه إلى حد بعيد الحالة الاحتمالية، ويعتمد على مفاهيم وأساليب مماثلة.

الحالات الكمومية

يمكن النظر إلى الأنظمة المتعددة مجتمعةً باعتبارها نظامًا مركّبًا واحدًا. لقد لاحظنا ذلك بالفعل في السياق الاحتمالي، والسياق الكمومي مماثل له. لذلك تُمثَّل الحالات الكمومية للأنظمة المتعددة بأشعة عمودية ذات مدخلات من الأعداد المركّبة، وتساوي قاعدتها الإقليدية $1,$ تمامًا كالحالات الكمومية للأنظمة الفردية. وفي حالة الأنظمة المتعددة، تتوافق مدخلات هذه الأشعة مع الضرب الديكارتي لمجموعات الحالات الكلاسيكية المرتبطة بكل نظام على حدة، لأن ذلك هو مجموعة الحالات الكلاسيكية للنظام المركّب.

على سبيل المثال، إذا كان $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كيوبتين، فإن مجموعة الحالات الكلاسيكية لزوج الكيوبتات $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ باعتبارهما نظامًا واحدًا، هي الضرب الديكارتي $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ وبتمثيل أزواج القيم الثنائية كسلاسل ثنائية بطول اثنين، نربط هذا الضرب الديكارتي بالمجموعة $\{00,01,10,11\}.$ وبناءً على ذلك، فإن الأشعة التالية هي أمثلة على أشعة الحالة الكمومية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

توجد طرق متعددة للتعبير عن أشعة الحالة الكمومية للأنظمة المتعددة، ويمكننا اختيار ما يناسبنا. فيما يلي بعض الأمثلة على شعاع الحالة الكمومية الأول أعلاه.

1. يمكننا استخدام حقيقة أن $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (لأي حالتين كلاسيكيتين $a$ و$b$) والكتابة بدلًا من ذلك:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. يمكننا اختيار كتابة رمز الضرب التنسوري صراحةً كما يلي:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. يمكننا إضافة مؤشر سفلي على الـ kets للإشارة إلى النظام الذي تقابله، كما يلي:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

بالطبع، يمكننا أيضًا كتابة أشعة الحالة الكمومية صراحةً كأشعة عمودية:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

يتوقف اختيار الطريقة المناسبة على السياق — لكنها جميعها متكافئة بمعنى أنها تصف الشعاع ذاته.

الضرب التنسوري لأشعة الحالة الكمومية

على غرار ما رأيناه مع أشعة الاحتمالات، فإن الضرب التنسوري لأشعة الحالة الكمومية هو أيضًا شعاع حالة كمومية — ويمثّل كذلك الاستقلالية بين الأنظمة.

بمزيد من التفصيل، ولنبدأ بحالة نظامين: لنفترض أن $\vert \phi \rangle$ هو شعاع الحالة الكمومية لنظام $\mathsf{X}$ وأن $\vert \psi \rangle$ هو شعاع الحالة الكمومية لنظام $\mathsf{Y}.$ فإن الضرب التنسوري $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ والذي يمكن كتابته بديلًا كـ $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ أو $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ هو شعاع حالة كمومية للنظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ ونطلق على حالة بهذا الشكل اسم الحالة الناتجة.

بشكل حدسي، عندما يكون زوج الأنظمة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ في حالة ناتجة $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ يمكننا تفسير ذلك بأن $\mathsf{X}$ في الحالة الكمومية $\vert \phi \rangle,$ و$\mathsf{Y}$ في الحالة الكمومية $\vert \psi \rangle,$ وأن حالتَي النظامين لا علاقة لإحداهما بالأخرى.

كون الشعاع التنسوري $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ شعاعَ حالةٍ كمومية يتّسق مع كون القاعدة الإقليدية ضربية بالنسبة للضروب التنسورية:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

بما أن $\vert \phi \rangle$ و$\vert \psi \rangle$ شعاعا حالة كمومية، فإن $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ و$\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ وبالتالي $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ ومن ثَمّ فإن $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ هو أيضًا شعاع حالة كمومية.

يتعمّم هذا لأكثر من نظامين. إذا كانت $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ أشعةَ حالات كمومية للأنظمة $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ فإن $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ هو شعاع حالة كمومية يمثّل حالة ناتجة للنظام المشترك $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ ونعلم أنه شعاع حالة كمومية لأن

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

الحالات المتشابكة

ليس كل شعاع حالة كمومية لأنظمة متعددة هو حالة ناتجة. على سبيل المثال، شعاع الحالة الكمومية

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

لكيوبتين ليس حالة ناتجة. للتحقق من ذلك، يمكننا اتباع الحجة ذاتها التي استخدمناها في القسم السابق مع الحالة الاحتمالية. أي أنه لو كانت $(1)$ حالة ناتجة، لوُجد شعاعا حالة كمومية $\vert\phi\rangle$ و$\vert\psi\rangle$ بحيث

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

غير أن هذا يستلزم بالضرورة أن

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

مما يعني أن $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ أو $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (أو كليهما). وهذا يتعارض مع حقيقة أن

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

و

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

كلتيهما غير صفريتين. وعليه، فإن شعاع الحالة الكمومية $(1)$ يمثّل ارتباطًا بين نظامين، ونقول تحديدًا إن النظامين متشابكان.

لاحظ أن القيمة المحددة $1/\sqrt{2}$ ليست هامة في هذه الحجة — المهم فحسب هو أن هذه القيمة غير صفرية. ولذلك، فإن الحالة الكمومية

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

ليست أيضًا حالة ناتجة، بالحجة ذاتها.

التشابك هو سمة جوهرية في المعلومات الكمومية وسيُناقش بتفصيل أكبر في درس لاحق. يمكن أن يكون التشابك معقدًا، لا سيما بالنسبة لأنواع الحالات الكمومية الضوضائية التي يمكن وصفها بمصفوفات الكثافة (والتي تُناقش في دورة الصياغة العامة للمعلومات الكمومية، وهي الدورة الثالثة في سلسلة فهم المعلومات والحوسبة الكمومية). أما بالنسبة لأشعة الحالة الكمومية، فالتشابك مكافئ للارتباط: أي شعاع حالة كمومية لا يمثّل حالة ناتجة يمثّل حالة متشابكة.

في المقابل، شعاع الحالة الكمومية

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

هو مثال على حالة ناتجة.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

وبالتالي، هذه الحالة ليست متشابكة.

حالات بيل

سنلقي الآن نظرة على بعض الأمثلة المهمة لحالات الكيوبتات المتعددة، بدءًا بـحالات بيل. وهذه هي الحالات الأربع للكيوبتين التاليتين:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

سُمّيت حالات بيل تكريمًا لـجون بيل. لاحظ أن الحجة ذاتها التي تثبت أن $\vert\phi^+\rangle$ ليست حالة ناتجة تكشف أن بقية حالات بيل ليست حالات ناتجة أيضًا: فجميع حالات بيل الأربع تمثّل تشابكًا بين كيوبتين.

تُعرَّف مجموعة حالات بيل الأربع

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

بـأساس بيل. وكما يوحي اسمها، هذه مجموعة أساس فعلًا؛ إذ يمكن التعبير عن أي شعاع حالة كمومية لكيوبتين، بل عن أي شعاع مركّب على الإطلاق يتوافق مع الحالات الكلاسيكية الأربع لبتّين، كتركيب خطي من حالات بيل الأربع. على سبيل المثال،

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

حالتا GHZ وW

سننظر الآن في مثالين مثيرَين للاهتمام لحالات ثلاثة كيوبتات. المثال الأول هو حالة GHZ (سُمّيت تكريمًا لدانيال غرينبرغر ومايكل هورن وأنطون زيلينغر، الذين درسوا بعض خصائصها لأول مرة):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

والمثال الثاني هو ما يُعرف بحالة W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

لا تمثّل أيٌّ من هاتين الحالتين حالةً ناتجة، مما يعني أنه لا يمكن كتابتهما كضرب تنسوري لثلاثة أشعة حالة كمومية لكيوبتات. وسنفحص كلتا الحالتين لاحقًا عند مناقشة القياسات الجزئية للحالات الكمومية للأنظمة المتعددة.

أمثلة إضافية

الأمثلة على الحالات الكمومية للأنظمة المتعددة التي رأيناها حتى الآن هي حالات كيوبتين أو ثلاثة كيوبتات، لكن يمكننا أيضًا النظر في حالات كمومية لأنظمة متعددة ذات مجموعات حالات كلاسيكية مختلفة.

على سبيل المثال، إليك حالة كمومية لثلاثة أنظمة $\mathsf{X},$ و$\mathsf{Y},$ و$\mathsf{Z},$ حيث مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ هي الأبجدية الثنائية (فـ$\mathsf{X}$ كيوبت) ومجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{Y}$ و$\mathsf{Z}$ هي $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

وإليك مثالًا على حالة كمومية لثلاثة أنظمة $\mathsf{X},$ و$\mathsf{Y},$ و$\mathsf{Z},$ تشترك جميعها في مجموعة الحالات الكلاسيكية $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

تُسمّى الأنظمة ذات مجموعة الحالات الكلاسيكية $\{0,1,2\}$ غالبًا بـالثلاثيات أو (بافتراض إمكانية وجودها في حالة كمومية) الكيوثلاثيات. ويشير مصطلح الكيوديت إلى نظام يمتلك مجموعة حالات كلاسيكية $\{0,\ldots,d-1\}$ لأي اختيار عشوائي لـ$d.$

قياسات الحالات الكمية

ناقشنا في الدرس السابق قياسات الأساس القياسي للحالات الكمية للأنظمة المفردة: إذا كان نظامٌ ما تجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\Sigma$ في حالة كمية يمثّلها المتجه $\vert \psi \rangle,$ وجرى قياس هذا النظام (بقياس الأساس القياسي)، فإن كل حالة كلاسيكية $a\in\Sigma$ تظهر باحتمالية $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ يخبرنا هذا بما يحدث عندما يكون لدينا حالة كمية لأنظمة متعددة ونختار قياس النظام المركّب بأكمله، وهو ما يعادل قياس جميع الأنظمة.

لصياغة هذا بدقة، لنفترض أن $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ هي أنظمة تمتلك مجموعات الحالات الكلاسيكية $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ على التوالي. يمكننا عندئذٍ النظر إلى $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ مجتمعةً باعتبارها نظامًا واحدًا تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية هي حاصل الضرب الديكارتي $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ إذا مثّل متجه الحالة الكمية $\vert\psi\rangle$ حالةً كمية لهذا النظام، وجرى قياس جميع الأنظمة، فإن كل نتيجة ممكنة $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ تظهر باحتمالية $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

على سبيل المثال، إذا كان النظامان $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ في الحالة الكمية المشتركة

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

فإن قياس كلا النظامين بقياسات الأساس القياسي يعطي النتيجة $(0,\heartsuit)$ باحتمالية $9/25$ والنتيجة $(1,\spadesuit)$ باحتمالية $16/25.$

القياسات الجزئية

لنتناول الآن الحالة التي تكون فيها أنظمة متعددة في حالة كمية ما، ونقيس مجموعة جزئية فقط من هذه الأنظمة. كما في السابق، سنبدأ بنظامين $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ بمجموعتي الحالات الكلاسيكية $\Sigma$ و $\Gamma$ على التوالي.

بشكل عام، يأخذ متجه الحالة الكمية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ الشكل

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

حيث $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ هي مجموعة من الأعداد المركّبة تحقّق

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

وهو ما يعادل كون $\vert \psi \rangle$ متجهًا وحدويًا.

نعلم بالفعل، من النقاش السابق، أنه إذا قُيس كلٌّ من $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$، فإن كل نتيجة ممكنة $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ تظهر باحتمالية

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

أما إذا افترضنا أن النظام الأول $\mathsf{X}$ فقط هو الذي يُقاس، فينبغي أن تكون احتمالية ظهور كل نتيجة $a\in\Sigma$ مساوية لـ

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

هذا متّسق مع ما رأيناه في الإطار الاحتمالي وأيضًا مع فهمنا الحالي للفيزياء: احتمالية ظهور كل نتيجة عند قياس $\mathsf{X}$ لا يمكن أن تعتمد على ما إذا كان $\mathsf{Y}$ قد قِيس أيضًا، لأن ذلك سيتيح التواصل بسرعة أكبر من سرعة الضوء.

بعد الحصول على نتيجة معيّنة $a\in\Sigma$ من قياس الأساس القياسي لـ $\mathsf{X}$، نتوقع بطبيعة الحال أن تتغير الحالة الكمية لـ $\mathsf{X}$ لتصبح $\vert a\rangle$، تمامًا كما يحدث في الأنظمة المفردة. لكن ماذا يحدث للحالة الكمية لـ $\mathsf{Y}$؟

للإجابة على هذا، يمكننا أولًا التعبير عن المتجه $\vert\psi\rangle$ على الشكل

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

حيث

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

لكل $a\in\Sigma.$ نتّبع هنا المنهجية ذاتها كما في الحالة الاحتمالية، إذ نعزل حالات الأساس القياسي للنظام الذي يُقاس. احتمالية حصول قياس الأساس القياسي لـ $\mathsf{X}$ على كل نتيجة $a$ هي كالتالي:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

ونتيجةً لحصول قياس الأساس القياسي لـ $\mathsf{X}$ على النتيجة $a$، تصبح الحالة الكمية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ معًا هي

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

أي أن الحالة "تنهار" كما في حالة النظام المفرد، لكن فقط بالقدر اللازم لتكون الحالة متّسقة مع نتيجة قياس $\mathsf{X}$ التي أسفرت عن $a.$

بشكل غير رسمي، يمثّل $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ المركّبة من $\vert \psi\rangle$ المتّسقة مع نتيجة قياس $\mathsf{X}$ التي أعطت $a.$ ثم نُوحِّد هذا المتجه — بقسمته على معياره الإقليدي المساوي لـ $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — للحصول على متجه حالة كمية صحيح ذي معيار إقليدي يساوي $1.$ هذه خطوة التوحيد مماثلة لما فعلناه في الإطار الاحتمالي حين قسّمنا المتجهات على مجموع عناصرها للحصول على متجه احتمالي.

كمثال، لنتأمل حالة زوج من الكيوبتات $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ من بداية القسم:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

لفهم ما يحدث عند قياس النظام الأول $\mathsf{X}$، نبدأ بكتابة

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

نرى الآن، بناءً على الوصف أعلاه، أن احتمالية الحصول على النتيجة $0$ من القياس هي

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

واحتمالية الحصول على النتيجة $1$ من القياس هي

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

الأسلوب ذاته، مطبَّقًا بصورة متماثلة، يصف ما يحدث إذا قِيس النظام الثاني $\mathsf{Y}$ بدلًا من الأول. هذه المرة نعيد كتابة المتجه $\vert \psi \rangle$ على الشكل

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

احتمالية الحصول على النتيجة $0$ من قياس $\mathsf{Y}$ هي

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

واحتمالية الحصول على النتيجة $1$ هي

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

ملاحظة حول الحالات الكمية المختزلة

يكشف المثال السابق عن قيود الوصف المبسّط للمعلومات الكمية، إذ لا يوفّر لنا طريقةً لوصف الحالة الكمية المختزلة (أو الهامشية) لنظام واحد فقط من نظامين (أو لمجموعة جزئية من أي عدد من الأنظمة) كما هو الحال في الإطار الاحتمالي.

تحديدًا، بالنسبة لحالة احتمالية لنظامين $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يصفها متجه الاحتمالية

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

يمكننا كتابة الحالة الاحتمالية المختزلة أو الهامشية لـ $\mathsf{X}$ وحده على الشكل

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

أما بالنسبة لمتجهات الحالة الكمية، فلا توجد طريقة مماثلة للقيام بذلك. على وجه الخصوص، بالنسبة لمتجه الحالة الكمية

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

فإن المتجه

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

ليس متجه حالة كمية بشكل عام، ولا يمثّل بصورة صحيحة مفهوم الحالة المختزلة أو الهامشية.

ما يمكننا فعله بدلًا من ذلك هو اللجوء إلى مفهوم مصفوفة الكثافة، الذي تتناوله دورة الصياغة العامة للمعلومات الكمية. تمنحنا مصفوفات الكثافة طريقةً ذات معنى لتعريف الحالات الكمية المختزلة بأسلوب مماثل للإطار الاحتمالي.

القياسات الجزئية لثلاثة أنظمة أو أكثر

يمكن اختزال القياسات الجزئية لثلاثة أنظمة أو أكثر — حيث تُقاس مجموعة جزئية فقط من الأنظمة — إلى حالة نظامين، وذلك بتقسيم الأنظمة إلى مجموعتين: المقاسة وغير المقاسة. إليك مثالًا محددًا يوضّح كيفية تطبيق ذلك. يُظهر هذا المثال تحديدًا كيف يمكن أن تكون كتابة مؤشرات على الكيتات للإشارة إلى الأنظمة التي تمثّلها مفيدةً — وذلك لأنها تمنحنا طريقة بسيطة لوصف تبديلات الأنظمة.

في هذا المثال، سننظر في حالة كمية لخماسية من الأنظمة $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ حيث تشترك جميع الأنظمة الخمسة في مجموعة الحالات الكلاسيكية $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

سنتناول الحالة التي يُقاس فيها النظام الأول والثالث، بينما تُترك الأنظمة المتبقية دون قياس.

من الناحية المفاهيمية، لا يوجد فرق جوهري بين هذه الحالة والحالة التي يُقاس فيها أحد نظامين. غير أنه بسبب تشابك الأنظمة المقاسة مع غير المقاسة، نواجه عقبةً عند كتابة التعبيرات اللازمة لإجراء هذه الحسابات.

إحدى طرق التعامل مع هذا، كما اقتُرح آنفًا، هي إضافة مؤشرات على الكيتات تشير إلى الأنظمة التي تمثّلها. يمنحنا هذا طريقةً لتتبّع الأنظمة عند تغيير ترتيب الكيتات، مما يجعل الحسابات الرياضية أبسط.

أولًا، يمكن كتابة متجه الحالة الكمية أعلاه بديلًا على الشكل

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

لم يتغير شيء، إلا أن كل كيت أصبح يحمل مؤشرًا يدل على النظام الذي يقابله. استخدمنا هنا المؤشرات $0,\ldots,4,$ لكن يمكن أيضًا استخدام أسماء الأنظمة نفسها (في حالة تسمية الأنظمة بـ $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ و $\mathsf{Z}$ مثلًا).

يمكننا الآن إعادة ترتيب الكيتات وتجميع الحدود على النحو التالي:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

حواصل الضرب التنسوري لا تزال ضمنية، حتى عند استخدام الأقواس كما في هذا المثال.

للتوضيح بشأن إعادة ترتيب الكيتات: حواصل الضرب التنسوري ليست تبادلية — فإذا كان $\vert \phi\rangle$ و $\vert \pi \rangle$ متجهين، فإن $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ يختلف عمومًا عن $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ وكذلك الحال لحواصل الضرب التنسوري لثلاثة متجهات أو أكثر. فمثلًا، $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ متجه مختلف عن $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ وإعادة ترتيب الكيتات كما فعلنا لا ينبغي أن يُفهم منها خلاف ذلك.

بل إننا، لأغراض الحساب فحسب، اخترنا أن يكون من الأيسر تجميع الأنظمة بالترتيب $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ عوضًا عن $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ تتولى المؤشرات على الكيتات الحفاظ على وضوح الأمور، ويمكننا العودة إلى الترتيب الأصلي لاحقًا إذا أردنا ذلك.

نرى الآن أنه إذا قِيس النظامان $\mathsf{X}_4$ و $\mathsf{X}_2$، فإن الاحتماليات غير الصفرية للنتائج المختلفة هي كالتالي:

• نتيجة القياس $(\heartsuit,\diamondsuit)$ تحدث باحتمالية

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• نتيجة القياس $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ تحدث باحتمالية

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• نتيجة القياس $(\spadesuit,\clubsuit)$ تحدث باحتمالية

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

إذا كانت نتيجة القياس $(\heartsuit,\diamondsuit)$ مثلًا، فإن الحالة الناتجة للأنظمة الخمسة تصبح

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

هنا، في الإجابة النهائية، عدنا إلى الترتيب الأصلي للأنظمة، لنوضح أنه بإمكاننا فعل ذلك. ولنتائج القياس الأخرى الممكنة، يمكن تحديد الحالة بطريقة مشابهة.

أخيرًا، إليك مثالان وعدنا بهما سابقًا، يبدأ أولهما بحالة GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

إذا قِيس النظام الأول فقط، نحصل على النتيجة $0$ باحتمالية $1/2$، وعندها تصبح حالة الكيوبتات الثلاثة $\vert 000\rangle$؛ ونحصل أيضًا على النتيجة $1$ باحتمالية $1/2$، وعندها تصبح حالة الكيوبتات الثلاثة $\vert 111\rangle.$

أما بالنسبة لحالة W، إذا افترضنا مجددًا أن النظام الأول فقط هو الذي يُقاس، نبدأ بكتابة هذه الحالة هكذا:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

احتمالية أن يعطي قياس الكيوبت الأول النتيجة 0 تساوي إذًا

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

وبشرط أن يُنتج القياس هذه النتيجة، تصبح الحالة الكمية للكيوبتات الثلاثة

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

احتمالية أن تكون نتيجة القياس 1 هي $1/3$، وعندها تصبح حالة الكيوبتات الثلاثة $\vert 100\rangle.$

تتميّز حالة W بخاصية التماثل، بمعنى أنها لا تتغير إذا أجرينا تبديلًا في ترتيب الكيوبتات. لذلك نحصل على وصف مماثل عند قياس الكيوبت الثاني أو الثالث بدلًا من الأول.

العمليات الأحادية (Unitary)

من حيث المبدأ، أي مصفوفة أحادية (unitary) تكون صفوفها وأعمدتها متوافقة مع الحالات الكلاسيكية لنظام ما تُمثّل عملية كمية صالحة على ذلك النظام. وهذا ينطبق بالطبع على الأنظمة المركّبة أيضًا، التي تكون فيها مجموعات الحالات الكلاسيكية عبارة عن حواصل ضرب ديكارتية لمجموعات الحالات الكلاسيكية للأنظمة الفردية.

إذا ركّزنا على نظامين، حيث $\mathsf{X}$ نظام لديه مجموعة حالات كلاسيكية $\Sigma,$ و$\mathsf{Y}$ نظام لديه مجموعة حالات كلاسيكية $\Gamma,$ فإن مجموعة الحالات الكلاسيكية للنظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي $\Sigma\times\Gamma.$ وعليه، تُمثَّل العمليات الكمية على هذا النظام المشترك بمصفوفات أحادية صفوفها وأعمدتها تتوافق مع المجموعة $\Sigma\times\Gamma.$ ترتيب صفوف وأعمدة هذه المصفوفات هو نفس الترتيب المستخدم لمتجهات الحالة الكمية للنظام $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

على سبيل المثال، لنفترض أن $\Sigma = \{1,2,3\}$ و$\Gamma = \{0,1\},$ ونتذكر أن الاصطلاح القياسي لترتيب عناصر الضرب الديكارتي $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ هو:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

وهنا مثال على مصفوفة أحادية تمثّل عملية على $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

هذه المصفوفة الأحادية ليست مميزة بشكل خاص، بل هي مجرد مثال توضيحي. للتحقق من أن $U$ أحادية، يكفي حساب $U^{\dagger} U$ والتحقق من أنها تساوي $\mathbb{I}.$ وبدلًا من ذلك، يمكننا التحقق من أن الصفوف (أو الأعمدة) متعامدة ذات وحدة قياس، وهو أمر أسهل هنا نظرًا للشكل المحدد للمصفوفة $U.$

تأثير $U$ على متجه الأساس القياسي $\vert 1, 1 \rangle$ مثلًا هو:

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

ويمكن رؤية ذلك بالنظر إلى العمود الثاني من $U,$ مع مراعاة ترتيبنا للمجموعة $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

كما هو الحال مع أي مصفوفة، يمكن التعبير عن $U$ باستخدام رموز ديراك، وهو ما يستلزم 20 حدًا لـ20 إدخالًا غير صفري في $U.$ لو كتبنا جميع هذه الحدود فعلًا بدلًا من كتابة مصفوفة $6\times 6$، لكان الأمر فوضويًا وقد لا تكون الأنماط الواضحة من صيغة المصفوفة جلية بالقدر ذاته. ببساطة، رموز ديراك ليست دائمًا الخيار الأمثل.

العمليات الأحادية على ثلاثة أنظمة أو أكثر تعمل بطريقة مشابهة، إذ تكون للمصفوفات الأحادية صفوف وأعمدة تتوافق مع الضرب الديكارتي لمجموعات الحالات الكلاسيكية للأنظمة. لقد رأينا مثالًا على ذلك في هذا الدرس: العملية على ثلاثة qubits

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

حيث تشير الأرقام في bras و kets إلى تشفيراتها الثنائية بـ$3$ بتات. إضافةً إلى كونها عملية حتمية (deterministic)، هي أيضًا عملية أحادية. العمليات التي تكون حتمية وأحادية في آنٍ واحد تُسمى العمليات القابلة للعكس (reversible). يمكن كتابة المُرافق التبديلي (conjugate transpose) لهذه المصفوفة هكذا:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

هذا يمثّل العكس، أو بالمصطلح الرياضي النظير (inverse)، للعملية الأصلية — وهو ما نتوقعه من المُرافق التبديلي لمصفوفة أحادية. سنرى أمثلة أخرى على العمليات الأحادية على أنظمة متعددة مع تقدّم الدرس.

العمليات الأحادية المنفّذة باستقلالية على الأنظمة الفردية

عند تنفيذ عمليات أحادية باستقلالية على مجموعة من الأنظمة الفردية، يُوصف التأثير المشترك لهذه العمليات المستقلة بحاصل الضرب التنسوري للمصفوفات الأحادية التي تمثّلها. أي أنه إذا كانت $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ أنظمة كمية، و$U_0,\ldots, U_{n-1}$ مصفوفات أحادية تمثّل عمليات على هذه الأنظمة، ونُفِّذت العمليات باستقلالية على الأنظمة، فإن التأثير المشترك على $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ يُمثَّل بالمصفوفة $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ وهنا أيضًا نجد أن الحالتين الاحتمالية والكمية متماثلتان في هذا الصدد.

من المتوقع بشكل طبيعي، بعد قراءة الفقرة السابقة، أن حاصل الضرب التنسوري لأي مجموعة من المصفوفات الأحادية هو مصفوفة أحادية. وهذا صحيح فعلًا، ويمكن التحقق منه على النحو التالي.

لاحظ أولًا أن عملية المُرافق التبديلي تحقق:

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

لأي مصفوفات مختارة $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ يمكن التحقق من هذا بالرجوع إلى تعريف الضرب التنسوري والمُرافق التبديلي، والتأكد من أن كل إدخال في طرفَي المعادلة متوافق. وهذا يعني:

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

ولأن الضرب التنسوري للمصفوفات يتمتع بخاصية الضرب، نجد:

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

لقد استخدمنا هنا $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ للإشارة إلى المصفوفات التي تمثّل عملية الهوية (identity) على الأنظمة $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ أي أنها مصفوفات هوية يتوافق حجمها مع عدد الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

أخيرًا، حاصل الضرب التنسوري $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ يساوي مصفوفة الهوية التي يتوافق عدد صفوفها وأعمدتها مع حاصل ضرب عدد صفوف وأعمدة المصفوفات $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ هذه مصفوفة الهوية الأكبر تمثّل عملية الهوية على النظام المشترك $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

خلاصةً، لدينا سلسلة المساواة التالية:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

وبالتالي نستنتج أن $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ مصفوفة أحادية.

حالة مهمة تظهر كثيرًا هي تلك التي تُطبَّق فيها عملية أحادية على نظام واحد فقط — أو مجموعة فرعية من الأنظمة — ضمن نظام مشترك أكبر. على سبيل المثال، لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامان يمكن النظر إليهما معًا باعتبارهما نظامًا مركّبًا واحدًا $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ وأننا ننفّذ عملية على $\mathsf{X}$ فقط. بدقة أكثر، لنفترض أن $U$ مصفوفة أحادية تمثّل عملية على $\mathsf{X},$ بحيث تتوافق صفوفها وأعمدتها مع الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}.$

القول بأننا ننفّذ العملية التي تمثّلها $U$ على $\mathsf{X}$ فحسب يعني أننا لا نفعل شيئًا لـ$\mathsf{Y},$ أي أننا ننفّذ $U$ على $\mathsf{X}$ وعملية الهوية على $\mathsf{Y}$ باستقلالية. بمعنى آخر، "عدم فعل شيء" لـ$\mathsf{Y}$ يعادل تنفيذ عملية الهوية عليه، والتي تُمثَّل بمصفوفة الهوية $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (المنخفض $\mathsf{Y}$ هنا يدل على أن $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ تشير إلى مصفوفة الهوية التي يتوافق عدد صفوفها وأعمدتها مع مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{Y}.$) وبالتالي، العملية على $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ الناتجة عن تنفيذ $U$ على $\mathsf{X}$ وعدم فعل شيء لـ$\mathsf{Y}$ تُمثَّل بالمصفوفة الأحادية:

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

على سبيل المثال، إذا كان $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلاهما qubits، فإن تنفيذ عملية Hadamard على $\mathsf{X}$ وعدم فعل شيء لـ$\mathsf{Y}$ يعادل تنفيذ العملية:

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

على النظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

وعلى نحو مشابه، إذا طُبِّقت عملية تمثّلها مصفوفة أحادية $U$ على $\mathsf{Y}$ ولم يُفعَل شيء لـ$\mathsf{X},$ فإن العملية الناتجة على $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تُمثَّل بالمصفوفة الأحادية:

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

على سبيل المثال، إذا اعتبرنا مجددًا أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلاهما qubits وأن $U$ عملية Hadamard، فإن العملية الناتجة على $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تُمثَّل بالمصفوفة:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

ليس كل عملية أحادية على مجموعة من الأنظمة قابلة للكتابة كحاصل ضرب تنسوري لعمليات أحادية بهذه الطريقة، تمامًا كما ليست كل متجهات الحالة الكمية لهذه الأنظمة حالات ضرب (product states). على سبيل المثال، لا يمكن التعبير عن عملية SWAP ولا عملية controlled-NOT على Qubitين — اللتان ستُوصفان أدناه — كحاصل ضرب تنسوري لعمليات أحادية.

عملية SWAP

لنختتم الدرس بالنظر في فئتين من أمثلة العمليات الأحادية على أنظمة متعددة، نبدأ بـعملية SWAP.

لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامان يشتركان في نفس مجموعة الحالات الكلاسيكية $\Sigma.$ عملية SWAP على الزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي العملية التي تتبادل محتويات النظامين، مع إبقائهما في موضعهما — بحيث يبقى $\mathsf{X}$ على اليسار و$\mathsf{Y}$ على اليمين. سنرمز لهذه العملية بـ$\operatorname{SWAP},$ وهي تعمل هكذا لكل اختيار من الحالات الكلاسيكية $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

إحدى طرق كتابة المصفوفة المرتبطة بهذه العملية باستخدام رموز ديراك هي:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

قد لا يكون واضحًا على الفور أن هذه المصفوفة تمثّل $\operatorname{SWAP},$ لكن يمكننا التحقق من أنها تحقق الشرط $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ لكل اختيار من الحالات الكلاسيكية $a,b\in\Sigma.$ كمثال بسيط، عندما يكون $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلاهما qubits، نجد:

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

العمليات الأحادية المتحكَّم بها (Controlled-Unitary)

لنفترض الآن أن $\mathsf{Q}$ هو qubit و$\mathsf{R}$ نظام عشوائي بمجموعة حالات كلاسيكية مهما كانت. لكل عملية أحادية $U$ تعمل على النظام $\mathsf{R},$ عملية controlled-$U$ هي عملية أحادية على الزوج $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ تُعرَّف كالتالي:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

على سبيل المثال، إذا كان $\mathsf{R}$ أيضًا qubit، واعتبرنا عملية Pauli $X$ على $\mathrm{R},$ فإن عملية controlled-$X$ تُعطى بـ:

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

لقد صادفنا هذه العملية في سياق المعلومات الكلاسيكية والعمليات الاحتمالية في وقت سابق من الدرس. استبدال عملية Pauli $X$ على $\mathsf{R}$ بعملية $Z$ يعطينا:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

إذا جعلنا $\mathsf{R}$ يتكون من Qubitين، وأخذنا $U$ لتكون عملية SWAP بين هذين الـQubitين، نحصل على:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

تُعرَف هذه العملية أيضًا بـعملية Fredkin, أو الأكثر شيوعًا بوابة Fredkin. يمكن وصف تأثيرها على حالات الأساس القياسية كالتالي:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

أخيرًا، عملية controlled-controlled-NOT, التي يمكن الرمز لها بـ$CCX,$ تُسمى عملية Toffoli أو بوابة Toffoli. تبدو تمثيلها المصفوفي كالتالي:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

ويمكن التعبير عنها بديلًا باستخدام رموز ديراك على النحو التالي:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$