الضرب الداخلي والإسقاطات

لنتمكن من استيعاب إمكانيات دوائر الكم وحدودها بشكل أفضل، سنستعرض الآن بعض المفاهيم الرياضية الإضافية — وهي الضرب الداخلي بين المتجهات (وعلاقته بالمعيار الإقليدي)، ومفهومَي التعامد والتعامد الأحادي لمجموعات المتجهات، ومصفوفات الإسقاط، التي ستتيح لنا تعميمًا مفيدًا لقياسات الأساس القياسي.

الضرب الداخلي

تذكَّر أنه حين نستخدم رمز دِيراك للإشارة إلى متجه عمودي اعتباطي بصيغة كِت، كالمتجه

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

يكون متجه البرا المقابل هو المحوَّل التقارني لهذا المتجه:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

وبالمثل، إذا كانت لدينا مجموعة حالات كلاسيكية $\Sigma$، وكتبنا متجهًا عموديًا بصيغة كِت كالتالي:

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

فإن متجه الصف (أو البرا) المقابل هو المحوَّل التقارني

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

كذلك يُعطي حاصل ضرب متجه البرا في متجه الكِت — بوصفهما مصفوفتين، إحداهما ذات صف واحد والأخرى ذات عمود واحد — قيمةً قياسية. تحديدًا، إذا كان لدينا متجهان عموديان

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

بحيث يكون متجه الصف $\langle \psi \vert$ كما في المعادلة $(1)$، فإن:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

وبالمثل، إذا كتبنا متجهين عموديين على النحو التالي:

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

بحيث يكون $\langle \psi \vert$ هو متجه الصف $(2)$، نجد أن:

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

حيث تنتج المساواة الأخيرة من أن $\langle a \vert a \rangle = 1$ و$\langle a \vert b \rangle = 0$ للحالات الكلاسيكية $a$ و$b$ التي تحقق $a\neq b$.

تُسمى القيمة $\langle \psi \vert \phi \rangle$ الضربَ الداخلي بين المتجهين $\vert \psi\rangle$ و$\vert \phi \rangle$. تُعدّ الضروب الداخلية بالغة الأهمية في معلومات الكم والحوسبة؛ إذ لا يمكننا الوصول إلى فهم رياضي عميق لمعلومات الكم بدونها.

لنستعرض الآن بعض الحقائق الأساسية حول الضروب الداخلية للمتجهات.

1. العلاقة بالمعيار الإقليدي. الضرب الداخلي لأي متجه

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   مع نفسه هو:

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   وبالتالي يمكن التعبير عن المعيار الإقليدي للمتجه بالصيغة البديلة:

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   لاحظ أن المعيار الإقليدي للمتجه يجب أن يكون دائمًا عددًا حقيقيًا غير سالب. علاوة على ذلك، الطريقة الوحيدة التي يساوي فيها المعيار الإقليدي صفرًا هي أن تكون كل مداخل المتجه مساوية للصفر، أي أن يكون المتجه هو المتجه الصفري.

   يمكننا تلخيص هذه الملاحظات هكذا: لكل متجه $\vert \psi \rangle$ لدينا

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   مع تحقق $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ إذا وفقط إذا كان $\vert \psi \rangle = 0$. تُعرف هذه الخاصية للضرب الداخلي أحيانًا بـ_الإيجابية التامة_.

2. التماثل التقارني. لأي متجهين

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   لدينا

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   ومن ثَمَّ:

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. الخطية في الوسيط الثاني (والخطية التقارنية في الأول). لنفترض أن $\vert \psi \rangle$ و$\vert \phi_1 \rangle$ و$\vert \phi_2 \rangle$ متجهات، وأن $\alpha_1$ و$\alpha_2$ أعداد مركبة. إذا عرّفنا متجهًا جديدًا

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   فإن:

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   أي أن الضرب الداخلي خطي في الوسيط الثاني. يمكن التحقق من ذلك إما عبر الصيغ أعلاه أو بملاحظة أن ضرب المصفوفات خطي في كل وسيط (وخاصة في الوسيط الثاني).

   بالجمع بين هذه الحقيقة وخاصية التماثل التقارني، يتضح أن الضرب الداخلي خطي تقارنيًا في الوسيط الأول. أي أنه إذا كانت $\vert \psi_1 \rangle$ و$\vert \psi_2 \rangle$ و$\vert \phi \rangle$ متجهات، و$\alpha_1$ و$\alpha_2$ أعدادًا مركبة، وعرّفنا

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   فإن:

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. متراجحة كوشي-شفارتز. لأي متجهين $\vert \phi \rangle$ و$\vert \psi \rangle$ ذَوَي عدد مداخل متساوٍ، لدينا:

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   تُعدّ هذه المتراجحة في غاية الأهمية وتُستخدم على نطاق واسع في معلومات الكم (وفي كثير من موضوعات الدراسة الأخرى).

المجموعات المتعامدة والمتعامدة الأحادية

يُقال عن متجهين $\vert \phi \rangle$ و$\vert \psi \rangle$ إنهما متعامدان إذا كان ضربهما الداخلي يساوي الصفر:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

هندسيًا، يمكن النظر إلى المتجهات المتعامدة باعتبارها متجهات تقع على زوايا قائمة من بعضها.

تُسمى مجموعة المتجهات $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ مجموعة متعامدة إذا كان كل متجه في المجموعة متعامدًا مع كل متجه آخر فيها. أي أن المجموعة متعامدة إذا تحقق

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

لكل اختيار $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ يحقق $j\neq k$.

تُسمى مجموعة المتجهات $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ مجموعةً متعامدة أحادية إذا كانت مجموعة متعامدة وكل متجه فيها وحدةَ متجه. بصيغة أخرى، المجموعة متعامدة أحادية إذا تحقق

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

لكل اختيار $j,k\in\{1,\ldots,m\}$.

أخيرًا، تُشكّل المجموعة $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ أساسًا متعامدًا أحاديًا إذا كانت، علاوة على كونها مجموعة متعامدة أحادية، تُشكّل أساسًا. وهذا يعادل أن تكون $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ مجموعة متعامدة أحادية يساوي فيها $m$ بُعدَ الفضاء الذي تنتمي إليه المتجهات $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$.

على سبيل المثال، لأي مجموعة حالات كلاسيكية $\Sigma$، تُشكّل مجموعة كل متجهات الأساس القياسي

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

أساسًا متعامدًا أحاديًا. كذلك تُشكّل المجموعة $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ أساسًا متعامدًا أحاديًا للفضاء ثنائي الأبعاد المقابل لكيوبت واحد، وتُشكّل قاعدة بِل $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ أساسًا متعامدًا أحاديًا للفضاء رباعي الأبعاد المقابل لكيوبتين.

توسيع المجموعات المتعامدة الأحادية إلى أسس متعامدة أحادية

لنفترض أن $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ متجهات في فضاء $n$-بُعدي، وأن $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ مجموعة متعامدة أحادية. المجموعات المتعامدة الأحادية دائمًا مجموعات مستقلة خطيًا، لذا تمتد هذه المتجهات بالضرورة لتغطي فضاءً جزئيًا من البُعد $m$. ومن ذلك نستنتج أن $m\leq n$ لأن بُعد الفضاء الجزئي الممتد لا يمكن أن يتجاوز بُعد الفضاء الكلي.

إذا كان $m<n$، فإنه من الممكن دائمًا اختيار $n-m$ متجهات إضافية $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ بحيث تُشكّل $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ أساسًا متعامدًا أحاديًا. يمكن استخدام إجراء يُعرف بـعملية غرام-شميدت للتعامد لبناء هذه المتجهات.

المجموعات المتعامدة الأحادية والمصفوفات الأحادية

ترتبط المجموعات المتعامدة الأحادية من المتجهات ارتباطًا وثيقًا بالمصفوفات الأحادية. إحدى طرق التعبير عن هذه العلاقة القول بأن العبارات الثلاث التالية متكافئة منطقيًا (أي أنها إما كلها صحيحة أو كلها خاطئة) لأي مصفوفة مربعة $U$:

1. المصفوفة $U$ أحادية (أي $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).
2. صفوف $U$ تُشكّل مجموعة متعامدة أحادية.
3. أعمدة $U$ تُشكّل مجموعة متعامدة أحادية.

هذا التكافؤ واضح تمامًا حين نتأمل كيفية عمل ضرب المصفوفات والمحوَّل التقارني. لنفترض مثلًا أن لدينا مصفوفة $3\times 3$ كالتالي:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

المحوَّل التقارني لـ$U$ يبدو هكذا:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

ضرب المصفوفتين مع وضع المحوَّل التقارني على اليسار يُعطينا هذه المصفوفة:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

إذا شكّلنا ثلاثة متجهات من أعمدة $U$:

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

يمكننا التعبير عن الحاصل أعلاه بالشكل التالي:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

بالرجوع إلى المعادلة $(3)$، نرى الآن أن شرط تساوي هذه المصفوفة لمصفوفة الوحدة يعادل شرط التعامد الأحادي للمجموعة $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$.

يتعمم هذا الاستدلال على المصفوفات الأحادية من أي حجم. وحقيقة أن صفوف مصفوفة تُشكّل أساسًا متعامدًا أحاديًا إذا وفقط إذا كانت المصفوفة أحادية تنتج من أن مصفوفة تكون أحادية إذا وفقط إذا كانت مصفوفتها المنقولة أحادية.

بالنظر إلى التكافؤ المذكور أعلاه، مع حقيقة أن أي مجموعة متعامدة أحادية يمكن توسيعها لتُشكّل أساسًا متعامدًا أحاديًا، نستنتج الحقيقة المفيدة التالية: لأي مجموعة متعامدة أحادية من المتجهات $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ مأخوذة من فضاء $n$-بُعدي، توجد مصفوفة أحادية $U$ تكون أعمدتها الـ$m$ الأولى هي المتجهات $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$. بصريًا، يمكننا دائمًا إيجاد مصفوفة أحادية بهذا الشكل:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

هنا تُملأ الأعمدة الـ$n-m$ الأخيرة بأي اختيار من المتجهات $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ يجعل $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ أساسًا متعامدًا أحاديًا.

الإسقاطات والقياسات الإسقاطية

مصفوفات الإسقاط

تُسمى المصفوفة المربعة $\Pi$ إسقاطًا إذا حققت خاصيتين:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}$.
2. $\Pi^2 = \Pi$.

المصفوفات التي تحقق الشرط الأول — أي أنها تساوي محوَّلها التقارني — تُسمى المصفوفات الإرميتية، والمصفوفات التي تحقق الشرط الثاني — أي أن تربيعها يُبقيها دون تغيير — تُسمى المصفوفات الأحادية المثالية.

تحذير: تُستخدم كلمة إسقاط أحيانًا للإشارة إلى أي مصفوفة تحقق الشرط الثاني فحسب دون اشتراط الأول، وفي هذه الحالة يُستخدم مصطلح الإسقاط المتعامد للإشارة إلى المصفوفات التي تحقق كلا الشرطين. أما في سياق معلومات الكم والحوسبة، فيُشير مصطلحا الإسقاط ومصفوفة الإسقاط عادةً إلى المصفوفات التي تحقق كلا الشرطين.

مثال على الإسقاط هو المصفوفة

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

لأي متجه وحدة $\vert \psi\rangle$. يمكننا التحقق من أن هذه المصفوفة إرميتية كما يلي:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

هنا، للحصول على المساواة الثانية، استخدمنا الصيغة

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

وهي صحيحة دائمًا لأي مصفوفتين $A$ و$B$ يكون حاصل ضربهما $AB$ معرَّفًا.

للتحقق من أن المصفوفة $\Pi$ في $(4)$ أحادية مثالية، نستخدم افتراض أن $\vert\psi\rangle$ متجه وحدة، وبالتالي يحقق $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$. وعليه:

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

بصورة أعم، إذا كانت $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ أي مجموعة متعامدة أحادية من المتجهات، فإن المصفوفة

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

تكون إسقاطًا. تحديدًا، لدينا:

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

و

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

حيث يُعطي شرط التعامد الأحادي لـ$\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ المساواةَ قبل الأخيرة.

في الواقع، هذا يستنفد كل الاحتمالات: يمكن كتابة كل إسقاط $\Pi$ بالشكل $(5)$ لبعض اختيار من مجموعة متعامدة أحادية $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$. (بدقة، المصفوفة الصفرية $\Pi=0$، وهي إسقاط، حالة خاصة. لكي تتناسب مع الشكل العام $(5)$ يجب أن نسمح بإمكانية كون المجموع فارغًا، مما ينتج المصفوفة الصفرية.)

القياسات الإسقاطية

مفهوم قياس نظام كمي أعم من مجرد قياسات الأساس القياسي. القياسات الإسقاطية هي قياسات تُوصف بمجموعة من الإسقاطات التي يُساوي مجموعها مصفوفة الوحدة. بالرموز، تصف مجموعة $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ من مصفوفات الإسقاط قياسًا إسقاطيًا إذا تحقق:

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

حين يُجرى مثل هذا القياس على نظام $\mathsf{X}$ وهو في الحالة $\vert\psi\rangle$، يحدث أمران:

1. لكل $k\in\{0,\ldots,m-1\}$، يكون احتمال الحصول على النتيجة $k$ مساويًا لـ:

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. أيًا كانت النتيجة $k$ التي يُنتجها القياس، تصبح حالة $\mathsf{X}$:

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

يمكننا أيضًا اختيار نتائج مغايرة لـ$\{0,\ldots,m-1\}$ للقياسات الإسقاطية إذا أردنا. بشكل أعم، لأي مجموعة $\Sigma$ منتهية وغير فارغة، إذا كان لدينا مجموعة من مصفوفات الإسقاط

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

تحقق الشرط

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

فإن هذه المجموعة تصف قياسًا إسقاطيًا نتائجه المحتملة هي عناصر $\Sigma$، وفق نفس القواعد السابقة:

1. لكل $a\in\Sigma$، يكون احتمال الحصول على النتيجة $a$ مساويًا لـ:

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. أيًا كانت النتيجة $a$ التي يُنتجها القياس، تصبح حالة $\mathsf{X}$:

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

على سبيل المثال، قياسات الأساس القياسي تعادل قياسات إسقاطية، حيث $\Sigma$ هي مجموعة الحالات الكلاسيكية للنظام $\mathsf{X}$ ومجموعة مصفوفات الإسقاط هي $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$.

مثال آخر على قياس إسقاطي، هذه المرة على كيوبتين $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$، هو المجموعة $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ حيث

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

إذا كان لدينا أنظمة متعددة في حالة كمية مشتركة وأُجري قياس إسقاطي على نظام واحد منها فحسب، فإن التأثير يشبه ما رأيناه في قياسات الأساس القياسي — بل يمكننا الآن وصف هذا التأثير بعبارات أبسط مما كان ممكنًا من قبل.

بدقة، لنفترض أن لدينا نظامين $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ في الحالة الكمية $\vert\psi\rangle$، وأن قياسًا إسقاطيًا تصفه المجموعة $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ يُجرى على النظام $\mathsf{X}$، بينما لا يُفعل شيء بـ$\mathsf{Y}$. هذا يعادل إجراء القياس الإسقاطي الذي تصفه المجموعة

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

على النظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. تظهر كل نتيجة قياس $a$ باحتمال:

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

وبشرط ظهور النتيجة $a$، تصبح حالة النظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$:

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

تنفيذ القياسات الإسقاطية

يمكن تنفيذ القياسات الإسقاطية الاعتباطية باستخدام عمليات أحادية وقياسات أساس قياسي ونظام مساحة عمل إضافي، كما سيتضح الآن.

لنفترض أن $\mathsf{X}$ نظام وأن $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ قياس إسقاطي على $\mathsf{X}$. يمكننا تعميم هذا النقاش بسهولة على قياسات إسقاطية بمجموعات نتائج مختلفة، لكن لأجل التبسيط سنفترض أن مجموعة النتائج المحتملة هي $\{0,\ldots,m-1\}$.

نلاحظ صراحةً أن $m$ لا يساوي بالضرورة عدد الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ — سنرمز بـ$n$ لعدد الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$، مما يعني أن كل مصفوفة $\Pi_k$ هي مصفوفة إسقاط من الحجم $n\times n$.

بما أننا نفترض أن $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ يمثل قياسًا إسقاطيًا، فإنه بالضرورة:

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

هدفنا إجراء عملية لها نفس تأثير هذا القياس الإسقاطي على $\mathsf{X}$، لكن باستخدام عمليات أحادية وقياسات أساس قياسي فحسب.

سنستعين بنظام مساحة عمل إضافي $\mathsf{Y}$ لتحقيق ذلك، وتحديدًا سنختار مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{Y}$ لتكون $\{0,\ldots,m-1\}$، وهي نفس مجموعة نتائج القياس الإسقاطي. الفكرة هي إجراء قياس أساس قياسي على $\mathsf{Y}$ وتفسير نتيجته باعتبارها مكافئة لنتيجة القياس الإسقاطي على $\mathsf{X}$. نحتاج إلى افتراض أن $\mathsf{Y}$ يُهيَّأ في حالة ثابتة، وسنختار $\vert 0\rangle$. (أي اختيار آخر لمتجه الحالة الكمية الثابتة كان يمكن أن يعمل، لكن اختيار $\vert 0\rangle$ يجعل الشرح التالي أبسط.)

بطبيعة الحال، لكي يُخبرنا قياس الأساس القياسي لـ$\mathsf{Y}$ بشيء عن $\mathsf{X}$، نحتاج إلى السماح لـ$\mathsf{X}$ وـ$\mathsf{Y}$ بالتفاعل بطريقة ما قبل قياس $\mathsf{Y}$، وذلك بإجراء عملية أحادية على النظام $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$. لنبدأ بالنظر في هذه المصفوفة:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

بالتعبير الصريح عنها كـمصفوفة كتلية، وهي في الأساس مصفوفة من مصفوفات نفسرها كمصفوفة واحدة أكبر، تبدو $M$ هكذا:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

هنا كل $0$ يمثل مصفوفة $n\times n$ مملوءة بالأصفار، وبالتالي المصفوفة $M$ بأكملها هي مصفوفة $nm\times nm$.

الآن، المصفوفة $M$ ليست بالتأكيد مصفوفة أحادية (إلا إذا كان $m=1$، وعندها $\Pi_0 = \mathbb{I}$، مما يُعطي $M = \mathbb{I}$ في هذه الحالة التافهة) لأن المصفوفات الأحادية لا يمكن أن تحتوي على أعمدة (أو صفوف) كلها أصفار؛ فالمصفوفات الأحادية لها أعمدة تُشكّل أسسًا متعامدة أحادية، والمتجه الصفري ليس متجه وحدة.

مع ذلك، فإن الأعمدة الـ$n$ الأولى من $M$ متعامدة أحادية، وهذا ينتج من افتراض أن $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ قياس. للتحقق من هذا الادعاء، لاحظ أنه لكل $j\in\{0,\ldots,n-1\}$، المتجه المتشكّل من العمود رقم $j$ من $M$ هو:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

لاحظ أننا نرقّم الأعمدة ابتداءً من العمود $0$. حساب الضرب الداخلي للعمود $i$ مع العمود $j$ لـ$i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ يُعطي:

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

وهو ما أردنا إثباته.

وبالتالي، بما أن الأعمدة الـ$n$ الأولى من المصفوفة $M$ متعامدة أحادية، يمكننا استبدال جميع المداخل الصفرية المتبقية بمداخل من الأعداد المركبة المناسبة لجعل المصفوفة بأكملها أحادية.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

إذا عُرفت المصفوفات $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$، يمكننا حساب المصفوفات المناسبة لملء الكتل المُشار إليها بـ$\fbox{?}$ — باستخدام عملية غرام-شميدت — لكن لا يهم تحديدًا ما هي هذه المصفوفات لأغراض هذا النقاش.

أخيرًا، يمكننا وصف عملية القياس: نُطبّق أولًا $U$ على النظام المشترك $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ثم نقيس $\mathsf{Y}$ بقياس أساس قياسي. لأي حالة اعتباطية $\vert \phi \rangle$ لـ$\mathsf{X}$، نحصل على الحالة:

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

حيث تنتج المساواة الأولى من أن $U$ و$M$ تتفقان في أعمدتهما الـ$n$ الأولى. حين نُجري قياسًا إسقاطيًا على $\mathsf{Y}$، نحصل على كل نتيجة $k$ باحتمال:

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$:

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

وبالتالي، يحتفظ $\mathsf{Y}$ بنسخة من نتيجة القياس ويتغير $\mathsf{X}$ تمامًا كما لو كان القياس الإسقاطي الذي تصفه $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ قد أُجري مباشرة على $\mathsf{X}$.