قيود على المعلومات الكمية

على الرغم من اشتراك المعلومات الكمية والكلاسيكية في بنية رياضية مشتركة، إلا أن ثمة اختلافات جوهرية بينهما. ونتيجةً لذلك، هناك أمثلة عديدة على مهام تُتيحها المعلومات الكمية دون الكلاسيكية.

قبل استكشاف بعض هذه الأمثلة، سنُلاحظ بعض القيود المهمة على المعلومات الكمية. إن فهم ما لا تستطيع المعلومات الكمية فعله يُساعدنا في تحديد ما تستطيع فعله.

انعدام أثر الطور الكلي

القيد الأول الذي سنتناوله — وهو في الحقيقة أشبه بتعدد طفيف في طريقة تمثيل الحالات الكمية بمتجهاتها، لا قيدًا حقيقيًا — يتعلق بمفهوم الطور الكلي.

المقصود بالطور الكلي هو التالي. ليكن $\vert \psi \rangle$ و$\vert \phi \rangle$ متجهَي وحدة يمثلان حالتين كميتين لنظام ما، ولنفترض أن ثمة عددًا مركبًا $\alpha$ على دائرة الوحدة، بمعنى أن $\vert \alpha \vert = 1$، أو بصيغة أخرى $\alpha = e^{i\theta}$ لعدد حقيقي $\theta$ ما، بحيث:

$$\vert \phi \rangle = \alpha \vert \psi \rangle.$$

يُقال حينئذٍ إن المتجهين $\vert \psi \rangle$ و$\vert \phi \rangle$ يختلفان بطور كلي. أحيانًا نشير إلى $\alpha$ نفسه بـالطور الكلي، وإن كان ذلك يعتمد على السياق؛ إذ يمكن اعتبار أي عدد على دائرة الوحدة طورًا كليًا حين يُضرب في متجه وحدة.

لننظر فيما يحدث حين يكون النظام في إحدى الحالتين $\vert\psi\rangle$ أو $\vert\phi\rangle$، ويخضع لقياس بالأساس القياسي. في الحالة الأولى، حين يكون النظام في الحالة $\vert\psi\rangle$، تكون احتمالية قياس أي حالة كلاسيكية $a$ هي:

$$\bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2.$$

في الحالة الثانية، حين يكون النظام في الحالة $\vert\phi\rangle$، تكون احتمالية قياس أي حالة كلاسيكية $a$ هي:

$$\bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \alpha \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert \alpha \vert^2 \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2,$$

لأن $\vert\alpha\vert = 1$. أي أن احتمالية الحصول على نتيجة ما متساوية للحالتين.

الآن لننظر فيما يحدث حين نُطبّق عملية أحادية عامة $U$ على الحالتين. في الحالة الأولى، حين تكون الحالة الابتدائية $\vert \psi \rangle$، تصبح الحالة:

$$U \vert \psi \rangle,$$

وفي الحالة الثانية، حين تكون الحالة الابتدائية $\vert \phi\rangle$، تصبح:

$$U \vert \phi \rangle = \alpha U \vert \psi \rangle.$$

أي أن الحالتين الناتجتين لا تزالان تختلفان بنفس الطور الكلي $\alpha$.

وبالتالي، فإن حالتين كميتين $\vert\psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ تختلفان بطور كلي لا يمكن تمييزهما بالكامل؛ فمهما كانت العملية أو تسلسل العمليات التي نُطبّقها عليهما، ستظل الحالتان تختلفان بطور كلي، وسيُنتج قياس الأساس القياسي نتائج باحتماليات متطابقة تمامًا مع الأخرى. لهذا السبب، يُعتبر متجها الحالة الكمية اللذان يختلفان بطور كلي متكافئين، ويُعدّان فعليًا نفس الحالة.

على سبيل المثال، الحالتان الكميتان:

$$\vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{و}\quad -\vert - \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

تختلفان بطور كلي (هو $-1$ في هذا المثال)، وتُعدّان بالتالي نفس الحالة.

أما الحالتان:

$$\vert + \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{و}\quad \vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

فلا تختلفان بطور كلي. رغم أن الفارق الوحيد بين الحالتين هو تحوّل علامة زائد إلى ناقص، إلا أن هذا ليس فارق طور كلي بل فارق طور نسبي، لأنه لا يؤثر على كل مدخلات المتجه بل على مجموعة فرعية منها فحسب. وهذا يتّسق مع ما لاحظناه سابقًا من إمكانية تمييز الحالتين $\vert{+} \rangle$ و$\vert{-}\rangle$ بشكل مثالي. تحديدًا، يؤدي تطبيق عملية هادامار ثم القياس إلى احتماليات النتائج التالية:

$$\begin{aligned} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 1 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 0 \\[1mm] \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 0 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 1. \end{aligned}$$

مبرهنة عدم النسخ

تُثبت مبرهنة عدم النسخ استحالة إنشاء نسخة مثالية من حالة كمية مجهولة.

مبرهنة

مبرهنة عدم النسخ: ليكن $\Sigma$ مجموعة حالات كلاسيكية تحتوي على عنصرين على الأقل، وليكن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامَين يشتركان في نفس مجموعة الحالات الكلاسيكية $\Sigma$. لا توجد حالة كمية $\vert \phi\rangle$ للنظام $\mathsf{Y}$ وعملية أحادية $U$ على الزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ بحيث يكون:

$$U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$$

لكل حالة $\vert \psi \rangle$ للنظام $\mathsf{X}$.

أي أنه لا توجد طريقة لتهيئة النظام $\mathsf{Y}$ (لأي حالة $\vert\phi\rangle$ كانت) وتنفيذ عملية أحادية $U$ على النظام المشترك $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ بحيث يكون الأثر نسخ حالة $\vert\psi\rangle$ للنظام $\mathsf{X}$ — مُنتِجًا حالة $\vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

برهان هذه المبرهنة في الحقيقة بسيط جدًا: يعود إلى ملاحظة أن التطبيق:

$$\vert\psi\rangle \otimes \vert \phi\rangle\mapsto\vert\psi\rangle \otimes \vert \psi\rangle$$

ليس خطيًا في $\vert\psi\rangle$.

تحديدًا، بما أن $\Sigma$ تحتوي على عنصرين على الأقل، يمكننا اختيار $a,b\in\Sigma$ حيث $a\neq b$. لو وُجدت حالة كمية $\vert \phi\rangle$ للنظام $\mathsf{Y}$ وعملية أحادية $U$ على الزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تحقق $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ لكل حالة كمية $\vert\psi\rangle$ للنظام $\mathsf{X}$، لكان:

$$U \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle \quad\text{و}\quad U \bigl( \vert b \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

بالخطية، أي تحديدًا خطية الضرب التنسوري في الوسيط الأول وخطية ضرب المصفوفة في الوسيط الثاني (المتجه)، يتعين أن يكون:

$$U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

لكن شرط أن يكون $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ لكل حالة كمية $\vert\psi\rangle$ يقتضي أن:

$$\begin{aligned} & U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr)\\ & \qquad = \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr) \otimes \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr)\\ & \qquad = \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert b\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle\\ & \qquad \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle \end{aligned}$$

وعليه، لا يمكن وجود حالة $\vert \phi\rangle$ وعملية أحادية $U$ تحقق $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ لكل متجه للحالة الكمية $\vert \psi\rangle$.

بعض الملاحظات على مبرهنة عدم النسخ جديرة بالذكر. الأولى هي أن صياغة مبرهنة عدم النسخ أعلاه قاطعة، بمعنى أنها تنص على استحالة النسخ المثالي — لكنها لا تقول شيئًا عن إمكانية النسخ بدقة محدودة، حيث قد ننجح في إنتاج نسخة تقريبية (وفق أي مقياس لقياس مدى التشابه بين حالتين كميتين). وثمة في الواقع صياغات لمبرهنة عدم النسخ تضع قيودًا على النسخ التقريبي، إضافةً إلى طرق لتحقيق النسخ التقريبي بدقة محدودة.

الملاحظة الثانية هي أن مبرهنة عدم النسخ تتعلق باستحالة نسخ حالة اعتباطية $\vert\psi\rangle$. في المقابل، يمكننا بسهولة إنشاء نسخة من أي حالة بالأساس القياسي مثلًا. فعلى سبيل المثال، يمكننا نسخ حالة كيوبت بالأساس القياسي باستخدام عملية NOT المتحكَّم فيها:

حيث $|a\rangle$ هي $|0\rangle$ أو $|1\rangle$، وهي حالات يمكن تحقيقها كلاسيكيًا. رغم أنه لا توجد صعوبة في إنشاء نسخة من حالة الأساس القياسي، لا يتعارض هذا مع مبرهنة عدم النسخ. هذا النهج باستخدام بوابة NOT المتحكَّم فيها لن ينجح في نسخ الحالة $\vert + \rangle$ مثلًا.

ملاحظة أخيرة على مبرهنة عدم النسخ هي أنها ليست حكرًا على المعلومات الكمية — فمن المستحيل أيضًا نسخ حالة احتمالية اعتباطية باستخدام عملية كلاسيكية (حتمية أو احتمالية). تخيّل أن شخصًا ما يُسلّمك نظامًا في حالة احتمالية ما، لكنك لا تعرف ما هي تلك الحالة الاحتمالية. فمثلًا، ربما ولّد عشوائيًا عددًا بين $1$ و$10$، لكنه لم يخبرك كيف ولّد ذلك العدد. لا توجد أي عملية فيزيائية تُتيح لك الحصول على نسختين مستقلتين من تلك الحالة الاحتمالية نفسها: كل ما في يدك عدد بين $1$ و$10$، وهذا ببساطة لا يحمل معلومات كافية تُمكّنك من إعادة بناء احتماليات ظهور سائر النتائج.

رياضيًا، يمكن إثبات نسخة من مبرهنة عدم النسخ للحالات الاحتمالية بنفس الطريقة المستخدمة لإثبات مبرهنة عدم النسخ الكمية. أي أن نسخ حالة احتمالية اعتباطية عملية غير خطية، ومن ثمَّ لا يمكن تمثيلها بمصفوفة عشوائية.

تعذّر تمييز الحالات غير المتعامدة بشكل مثالي

القيد الأخير الذي يُغطيه هذا الدرس هو إثبات أنه إذا كان لدينا حالتان كميتان $\vert\psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ ليستا متعامدتين، بمعنى أن $\langle \phi\vert\psi\rangle \neq 0$، فمن المستحيل تمييزهما (أي التفريق بينهما) بشكل مثالي. وفي الواقع سنُثبت شيئًا مكافئًا منطقيًا: إذا كان لدينا طريقة لتمييز حالتين بشكل مثالي دون أي خطأ، فيجب أن تكونا متعامدتين.

سنقتصر على الدوائر الكمية المكوّنة من أي عدد من البوابات الأحادية، يعقبها قياس واحد بالأساس القياسي للكيوبت العلوي. ما نشترطه في الدائرة الكمية لنقول إنها تُميّز الحالتين $\vert\psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ بشكل مثالي هو أن يُنتج القياس دائمًا القيمة $0$ لإحدى الحالتين والقيمة $1$ للحالة الأخرى. بدقة أكبر، نفترض أن لدينا دائرة كمية تعمل كما توحي به المخططات التالية:

الصندوق المُسمى $U$ يُشير إلى العملية الأحادية التي تُمثّل الإجراء المشترك لجميع البوابات الأحادية في دائرتنا، دون احتساب القياس النهائي. لا ينطوي افتراض أن القياس يُخرج $0$ للحالة $\vert\psi\rangle$ و$1$ للحالة $\vert\phi\rangle$ على أي خسارة في العمومية؛ إذ لن يختلف التحليل جوهريًا لو عُكست قيم الخروج هذه.

لاحظ أنه إضافةً إلى الكيوبتات التي تخزّن ابتداءً إما $\vert\psi\rangle$ أو $\vert\phi\rangle$، يمكن للدائرة الاستفادة من أي عدد من الكيوبتات المساعدة. تُهيَّأ هذه الكيوبتات في بداية كل منها بالحالة $\vert 0\rangle$ — وبالتالي يُشار إلى حالتها المشتركة بـ$\vert 0\cdots 0\rangle$ في الأشكال — ويمكن للدائرة استخدامها بأي طريقة مفيدة. استخدام كيوبتات مساعدة في الدوائر الكمية من هذا النوع أمر شائع جدًا.

الآن، لننظر فيما يحدث حين نُشغّل دائرتنا على الحالة $\vert\psi\rangle$ (مع الكيوبتات المساعدة المهيّأة). يمكن كتابة الحالة الناتجة، قبيل إجراء القياس مباشرةً، على الشكل:

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0 \rangle \vert \psi \rangle\bigr) = \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle + \vert \gamma_1 \rangle\vert 1 \rangle$$

لمتجهَين $\vert \gamma_0\rangle$ و$\vert \gamma_1\rangle$ يتوافقان مع جميع الكيوبتات ما عدا الكيوبت العلوية. بوجه عام، لمثل هذه الحالة تكون احتماليتا الحصول على النتيجتين $0$ و$1$ عند قياس الكيوبت العلوية:

$$\operatorname{Pr}(\text{النتيجة $0$}) = \bigl\| \vert\gamma_0\rangle \bigr\|^2 \qquad\text{و}\qquad \operatorname{Pr}(\text{النتيجة $1$}) = \bigl\| \vert\gamma_1\rangle \bigr\|^2.$$

بما أن دائرتنا تُخرج دائمًا $0$ للحالة $\vert\psi\rangle$، يجب أن يكون $\vert\gamma_1\rangle = 0$، وبالتالي:

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle \bigr) = \vert\gamma_0\rangle\vert 0 \rangle.$$

بضرب طرفي هذه المعادلة في $U^{\dagger}$ نحصل على:

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr). \tag{1}$$

بالتفكير بالمنطق ذاته للحالة $\vert\phi\rangle$ بدلًا من $\vert\psi\rangle$، نستنتج أن:

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle \bigr) = \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle$$

لمتجه $\vert\delta_1\rangle$ ما، وبالتالي:

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr). \tag{2}$$

الآن لنحسب الضرب الداخلي للمتجهات الواردة في المعادلتين $(1)$ و$(2)$، بدءًا بالتمثيلات في الجهة اليمنى من كل معادلة. لدينا:

$$\bigl(U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr)\bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U,$$

وعليه يكون الضرب الداخلي للمتجه $(1)$ مع المتجه $(2)$:

$$\bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr) \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle \langle 0 \vert 1 \rangle = 0.$$

لقد استخدمنا هنا حقيقة أن $U U^{\dagger} = \mathbb{I}$، إضافةً إلى حقيقة أن الضرب الداخلي للضروب التنسورية هو حاصل ضرب الضروب الداخلية:

$$\langle u \otimes v \vert w \otimes x\rangle = \langle u \vert w\rangle \langle v \vert x\rangle$$

لأي اختيار لهذه المتجهات (شريطة أن يكون لـ$\vert u\rangle$ و$\vert w\rangle$ نفس عدد المدخلات ولـ$\vert v\rangle$ و$\vert x\rangle$ نفس عدد المدخلات، حتى يكون من المنطقي تشكيل الضربين الداخليين $\langle u\vert w\rangle$ و$\langle v\vert x \rangle$). لاحظ أن قيمة الضرب الداخلي $\langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle$ لا تؤثر لأنها مضروبة في $\langle 0 \vert 1 \rangle = 0$.

أخيرًا، يجب أن يُعطي حساب الضرب الداخلي للمتجهات في الجهة اليسرى من المعادلتين $(1)$ و$(2)$ نفس قيمة الصفر التي حسبناها، وبالتالي:

$$0 = \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle \vert \psi\rangle\bigr)^{\dagger} \bigl(\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi\rangle\bigr) = \langle 0\cdots 0 \vert 0\cdots 0 \rangle \langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \phi \rangle.$$

وبهذا توصلنا إلى ما أردناه، وهو أن $\vert \psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ متعامدان: $\langle \psi \vert \phi \rangle = 0$.

يمكن بالمناسبة تمييز أي حالتين متعامدتين بشكل مثالي، وهذا هو العكس للحكم الذي أثبتناه للتو. لنفترض أن الحالتين المراد تمييزهما هما $\vert \phi\rangle$ و$\vert \psi\rangle$ حيث $\langle \phi\vert\psi\rangle = 0$. يمكننا حينئذٍ تمييزهما بشكل مثالي بإجراء القياس الإسقاطي المعرَّف بهذه المصفوفات مثلًا:

$$\bigl\{ \vert\phi\rangle\langle\phi\vert,\,\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \bigr\}.$$

للحالة $\vert\phi\rangle$، تُحصَّل دائمًا النتيجة الأولى:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 1,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 0. \end{aligned}$$

وللحالة $\vert\psi\rangle$، تُحصَّل دائمًا النتيجة الثانية:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| 0 \bigr\|^2 = 0,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = 1. \end{aligned}$$