المعلومات الكلاسيكية

لوصف المعلومات الكمومية وكيفية عملها، سنبدأ بنظرة عامة على المعلومات الكلاسيكية. قد يتساءل المرء لماذا يُولى الاهتمام الكبير للمعلومات الكلاسيكية في دورة حول المعلومات الكمومية، لكن هناك أسباباً وجيهة لذلك.

فمن ناحية، رغم أن المعلومات الكمومية والكلاسيكية تختلفان في بعض الجوانب اللافتة، فإن وصفهما الرياضي متشابه جداً في الحقيقة. تُشكّل المعلومات الكلاسيكية أيضاً مرجعاً مألوفاً عند دراسة المعلومات الكمومية، فضلاً عن كونها مصدر قياس يذهب بعيداً بشكل مدهش. كثيراً ما يطرح الناس أسئلة حول المعلومات الكمومية لها نظائر كلاسيكية طبيعية، وغالباً ما تكون لتلك الأسئلة إجابات بسيطة تُوفّر الوضوح والبصيرة للأسئلة الأصلية حول المعلومات الكمومية. بل ليس مبالغةً القول إنه لا يمكن لأحد أن يفهم المعلومات الكمومية حقاً دون فهم المعلومات الكلاسيكية.

قد يكون بعض القراء على دراية بالمادة التي ستُناقش في هذا القسم، بينما لا يكون آخرون كذلك — لكن المناقشة موجهة للجمهورين معاً. إضافة إلى إبراز الجوانب الأكثر صلة بمقدمة المعلومات الكمومية، يقدم هذا القسم ترميز ديراك، المستخدم كثيراً لوصف المتجهات والمصفوفات في المعلومات والحوسبة الكمومية. والجدير بالذكر أن ترميز ديراك ليس حكراً على المعلومات الكمومية؛ يمكن استخدامه بالتساوي في سياق المعلومات الكلاسيكية، وكذلك في كثير من السياقات الأخرى التي تنشأ فيها المتجهات والمصفوفات.

الحالات الكلاسيكية ومتجهات الاحتمالات

افترض أن لدينا نظام يخزّن معلومات. بشكل أكثر تحديداً، سنفترض أن هذا النظام يمكنه الوجود في واحدة من عدد محدود من الحالات الكلاسيكية في كل لحظة. هنا، يجب فهم مصطلح الحالة الكلاسيكية بمعناه الحدسي، أي تهيّؤ يمكن التعرف عليه ووصفه بشكل لا لبس فيه.

المثال النموذجي، الذي سنعود إليه مرات عديدة، هو البت، وهو نظام حالاته الكلاسيكية هي $0$ و$1$. أمثلة أخرى تشمل النرد السداسي الوجوه القياسي، حالاته الكلاسيكية هي $1$ و$2$ و$3$ و$4$ و$5$ و$6$ (تمثّلها عدد النقاط على الوجه العلوي)؛ وقاعدة نيتروجينية في خيط DNA، حالاتها الكلاسيكية هي A وC وG وT؛ ومفتاح مروحة كهربائية، حالاته الكلاسيكية عادةً عال ومتوسط ومنخفض وإيقاف. بالمصطلحات الرياضية، تحديد الحالات الكلاسيكية لنظام هو نقطة البداية فعلاً: نحن نعرّف البت بوصفه نظاماً حالاته الكلاسيكية هي $0$ و$1$، وكذلك الحال للأنظمة ذات مجموعات حالات كلاسيكية مختلفة.

لأغراض هذه المناقشة، لنطلق الاسم $\mathsf{X}$ على النظام المعني، ولنستخدم الرمز $\Sigma$ للإشارة إلى مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$. إضافة إلى افتراض أن $\Sigma$ منتهية، الذي أُشير إليه بالفعل، نفترض بطبيعة الحال أن $\Sigma$ غير فارغة — إذ لا معنى لنظام مادي لا حالات له على الإطلاق. ورغم أنه منطقي النظر في الأنظمة المادية ذات الحالات الكلاسيكية اللامتناهية، فإننا سنتجاهل هذا الاحتمال الذي هو بالتأكيد مثير للاهتمام لكنه غير ذي صلة بهذه الدورة. لهذه الأسباب، وتيسيراً وإيجازاً، سنستخدم من الآن فصاعداً مصطلح مجموعة الحالات الكلاسيكية للدلالة على أي مجموعة منتهية وغير فارغة.

إليك بعض الأمثلة:

1. إذا كان $\mathsf{X}$ بتاً، فإن $\Sigma = \{0,1\}$. نشير إلى هذه المجموعة بالكلمات بـالأبجدية الثنائية.
2. إذا كان $\mathsf{X}$ نرداً سداسياً، فإن $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}$.
3. إذا كان $\mathsf{X}$ مفتاح مروحة كهربائية، فإن $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}$.

عند التفكير في $\mathsf{X}$ كحامل للمعلومات، يمكن تعيين معانٍ معينة للحالات الكلاسيكية المختلفة لـ$\mathsf{X}$، مما يؤدي إلى نتائج أو تداعيات مختلفة. في مثل هذه الحالات، قد يكفي وصف $\mathsf{X}$ ببساطة بأنه في إحدى حالاته الكلاسيكية الممكنة. مثلاً، إذا كان $\mathsf{X}$ مفتاح مروحة، فقد نعلم بيقين أنه مضبوط على عال، مما قد يدفعنا إلى تحويله إلى متوسط.

في معالجة المعلومات، غالباً ما تكون معرفتنا غير مؤكدة. إحدى طرق تمثيل معرفتنا بالحالة الكلاسيكية لنظام $\mathsf{X}$ هي إسناد احتمالات لحالاته الكلاسيكية المختلفة الممكنة، مما ينتج ما نسميه الحالة الاحتمالية.

مثلاً، افترض أن $\mathsf{X}$ بتٌ. بناءً على ما نعرفه أو نتوقعه حول ما حدث لـ$\mathsf{X}$ في الماضي، قد نعتقد أن $\mathsf{X}$ في الحالة الكلاسيكية $0$ باحتمال $3/4$ وفي الحالة $1$ باحتمال $1/4$. يمكننا تمثيل هذه المعتقدات بكتابة ذلك:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{و}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

طريقة أكثر إيجازاً لتمثيل هذه الحالة الاحتمالية هي متجه عمودي.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

يُوضع احتمال كون البت $0$ في أعلى المتجه واحتمال كونه $1$ في الأسفل، لأن هذه هي الطريقة المعتادة لترتيب المجموعة $\{0,1\}$.

بشكل عام، يمكننا تمثيل حالة احتمالية لنظام بأي مجموعة حالات كلاسيكية بنفس الطريقة، كمتجه من الاحتمالات. يمكن ترتيب الاحتمالات بأي طريقة نختارها، لكن عادة ما تكون هناك طريقة طبيعية أو افتراضية للقيام بذلك. لتوضيح الأمر، يمكننا تمثيل أي حالة احتمالية بمتجه عمودي يحقق خاصيتين:

1. جميع مداخل المتجه أعداد حقيقية غير سالبة.
2. مجموع المداخل يساوي $1$.

وعكساً، أي متجه عمودي يحقق هاتين الخاصيتين يمكن اتخاذه تمثيلاً لحالة احتمالية. من الآن فصاعداً، سنشير إلى المتجهات من هذا الشكل بـمتجهات الاحتمالات.

إلى جانب إيجاز هذا الترميز، يتميّز التعرف على الحالات الاحتمالية كمتجهات عمودية بأن العمليات على الحالات الاحتمالية تُمثَّل بضرب المصفوفات في المتجهات، كما سيُناقش قريباً.

قياس الحالات الاحتمالية

لنأخذ الآن ما يحدث إذا قسنا نظاماً حين يكون في حالة احتمالية. في هذا السياق، قياس نظام يعني ببساطة أننا ننظر إليه ونتعرف على الحالة الكلاسيكية التي هو فيها بلا لبس. حدسياً، لا يمكننا "رؤية" الحالة الاحتمالية لنظام؛ حين ننظر إليه، نرى فقط إحدى الحالات الكلاسيكية الممكنة.

بقياس نظام، قد نغيّر أيضاً معرفتنا به، وبالتالي يمكن أن تتغير الحالة الاحتمالية التي نرتبطها به. أي إذا تعرّفنا على أن $\mathsf{X}$ في الحالة الكلاسيكية $a\in\Sigma$، فإن متجه الاحتمالات الجديد الذي يمثّل معرفتنا بحالة $\mathsf{X}$ يصبح المتجه الذي يحتوي على $1$ في المدخل المقابل لـ$a$ و$0$ في جميع المداخل الأخرى. يشير هذا المتجه إلى أن $\mathsf{X}$ في الحالة الكلاسيكية $a$ بيقين — وهو ما نعرفه بعد التعرّف عليه للتو — ونرمز لهذا المتجه بـ$\vert a\rangle$، الذي يُقرأ "كيت $a$" لسبب سيُشرح قريباً. تُسمى المتجهات من هذا النوع أيضاً متجهات الأساس القياسي.

مثلاً، بافتراض أن النظام المعني هو بتٌ، تعطى متجهات الأساس القياسي بالصيغة

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{و}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

لاحظ أن أي متجه عمودي ثنائي الأبعاد يمكن التعبير عنه كتركيبة خطية لهذين المتجهين. مثلاً،

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

هذه الحقيقة تتعمّم بشكل طبيعي لأي مجموعة حالات كلاسيكية: أي متجه عمودي يمكن كتابته كتركيبة خطية من حالات الأساس القياسي. كثيراً ما نعبّر عن المتجهات بهذه الطريقة تحديداً.

بالعودة إلى تغيّر الحالة الاحتمالية عند قياسها، قد نلاحظ الصلة التالية بتجاربنا اليومية. افترض أننا قلبنا عملة معدنية متوازنة، لكن غطّيناها قبل النظر إليها. سنقول حينئذٍ إن حالتها الاحتمالية هي

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

هنا، مجموعة الحالات الكلاسيكية لعملتنا هي $\{\text{heads},\text{tails}\}$. سنختار ترتيب هذه الحالات بحيث تكون الوجه أولاً والظهر ثانياً.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{و}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

لو رفعنا الغطاء عن العملة ونظرنا إليها، سنرى إحدى الحالتين الكلاسيكيتين: الوجه أو الظهر. بافتراض أن النتيجة كانت الظهر، سنحدّث بشكل طبيعي وصفنا للحالة الاحتمالية للعملة لتصبح $|\text{tails}\rangle$. بالطبع، لو غطّينا العملة مجدداً ثم رفعنا الغطاء ونظرنا إليها مرة أخرى، ستكون الحالة الكلاسيكية لا تزال الظهر، وهو ما يتسق مع وصف الحالة الاحتمالية بالمتجه $|\text{tails}\rangle$.

قد يبدو هذا بديهياً، وهو كذلك بمعنى ما. لكن رغم أن الأنظمة الكمومية تتصرف بطريقة مماثلة تماماً، كثيراً ما تُعدّ خصائص قياسها غريبة أو غير مألوفة. من خلال إرساء الخصائص المماثلة للأنظمة الكلاسيكية، قد يبدو نمط عمل المعلومات الكمومية أقل غرابة.

ملاحظة أخيرة حول قياسات الحالات الاحتمالية: الحالات الاحتمالية تصف المعرفة أو المعتقد، ولا تصف بالضرورة شيئاً فعلياً، والقياس يغيّر معرفتنا فحسب دون تغيير النظام نفسه. مثلاً، حالة العملة بعد قلبها، لكن قبل النظر إليها، هي الوجه أو الظهر — لكننا لا نعرف أيّهما حتى ننظر. عند رؤية أن الحالة الكلاسيكية هي الظهر، مثلاً، سنحدّث بشكل طبيعي المتجه الواصف لمعرفتنا إلى $|\text{tails}\rangle$، لكن لشخص آخر لم يرَ العملة حين رُفع الغطاء، ستبقى الحالة الاحتمالية دون تغيير. هذا لا يثير قلقاً؛ قد يمتلك أفراد مختلفون معرفة أو معتقدات مختلفة حول نظام معين، وبالتالي يصفون ذلك النظام بمتجهات احتمالات مختلفة.

العمليات الكلاسيكية

في الجزء الأخير من هذا الملخص المختصر للمعلومات الكلاسيكية، سننظر في أنواع العمليات التي يمكن تنفيذها على نظام كلاسيكي.

العمليات الحتمية

أولاً، هناك العمليات الحتمية، حيث تتحوّل كل حالة كلاسيكية $a\in\Sigma$ إلى $f(a)$ لدالة ما $f$ من الشكل $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$.

مثلاً، إذا كان $\Sigma = \{0,1\}$، فهناك أربع دوال من هذا الشكل، $f_1$ و$f_2$ و$f_3$ و$f_4$، يمكن تمثيلها بجداول قيم كالتالي:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

الأولى والأخيرة من هذه الدوال ثابتة: $f_1(a) = 0$ و$f_4(a) = 1$ لكل $a\in\Sigma$. الاثنتان الوسطيتان ليستا ثابتتين، بل هما متوازنتان: تظهر كل قيمة من قيمتي الإخراج العدد نفسه من المرات (مرة واحدة، في هذه الحالة) حين نمر على المدخلات الممكنة. الدالة $f_2$ هي دالة الهوية: $f_2(a) = a$ لكل $a\in\Sigma$. أما $f_3$ فهي الدالة $f_3(0) = 1$ و$f_3(1) = 0$، المعروفة بشكل أوسع بدالة NOT.

يمكن تمثيل تأثيرات العمليات الحتمية على الحالات الاحتمالية بضرب المصفوفات في المتجهات. تحديداً، المصفوفة $M$ التي تمثّل دالة معطاة $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ هي التي تحقق

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

لكل $a\in\Sigma$. مثل هذه المصفوفة موجودة دائماً ومحددة بشكل فريد بهذا الشرط. المصفوفات التي تمثّل العمليات الحتمية تحتوي دائماً على رقم $1$ واحد فقط في كل عمود، و$0$ لجميع المداخل الأخرى.

مثلاً، المصفوفات $M_1,\ldots,M_4$ المقابلة للدوال $f_1,\ldots,f_4$ أعلاه هي كالتالي:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

إليك تحقق سريع يُبيّن أن المصفوفة الأولى صحيحة. يمكن التحقق من الثلاث الأخرى بالمثل.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

طريقة ملائمة لتمثيل المصفوفات من هذه الأشكال وغيرها تستخدم ترميزاً مماثلاً لمتجهات الأعمدة المناظرة لمتجهات الصفوف المذكورة سابقاً: نرمز بـ$\langle a \vert$ للمتجه الصفي الذي يحتوي على $1$ في المدخل المقابل لـ$a$ وصفر لجميع المداخل الأخرى، لكل $a\in\Sigma$. يُقرأ هذا المتجه "برا $a$".

مثلاً، إذا كان $\Sigma = \{0,1\}$، فإن

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{و}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

لأي مجموعة حالات كلاسيكية $\Sigma$، يمكننا النظر إلى المتجهات الصفية والعمودية كمصفوفات، وتنفيذ ضرب المصفوفات $\vert b\rangle \langle a\vert$. نحصل على مصفوفة مربعة تحتوي على $1$ في المدخل المقابل للزوج $(b,a)$، بمعنى أن صف المدخل يقابل الحالة الكلاسيكية $b$ والعمود يقابل الحالة الكلاسيكية $a$، مع $0$ لجميع المداخل الأخرى. مثلاً،

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

باستخدام هذا الترميز، يمكننا التعبير عن المصفوفة $M$ المقابلة لأي دالة $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ كـ

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

مثلاً، خذ الدالة $f_4$ أعلاه، حيث $\Sigma = \{0,1\}$. نحصل على المصفوفة

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

السبب في نجاح هذا هو التالي. إذا فكّرنا مجدداً في المتجهات كمصفوفات، وأخذنا هذه المرة الضرب $\langle a \vert \vert b \rangle$، نحصل على مصفوفة $1\times 1$، يمكننا التفكير فيها كعدد قياسي (أي عدد). للأناقة، نكتب هذا الضرب $\langle a \vert b\rangle$ بدلاً من $\langle a \vert \vert b \rangle$. يحقق هذا الضرب الصيغة البسيطة التالية:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

باستخدام هذه الملاحظة، مع حقيقة أن ضرب المصفوفات تجميعي وخطي، نحصل على

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

لكل $b\in\Sigma$، وهو بالضبط ما نتطلبه من المصفوفة $M$.

كما سنناقش بتفصيل أكبر لاحقاً في درس لاحق، يمكن رؤية $\langle a \vert b \rangle$ أيضاً كـضرب داخلي بين المتجهين $\vert a\rangle$ و$\vert b\rangle$. الضروب الداخلية بالغة الأهمية في المعلومات الكمومية، لكننا سنؤجّل مناقشتها حتى تدعو الحاجة إليها.

في هذه المرحلة قد يكون وضوح اسمَي "برا" و"كيت" جلياً: وضع "برا" $\langle a\vert$ مع "كيت" $\vert b\rangle$ يعطي "قوساً" $\langle a \vert b\rangle$. هذا الترميز والمصطلحات مردّها إلى بول ديراك، ولهذا يُعرف بـترميز ديراك.

العمليات الاحتمالية والمصفوفات العشوائية

إضافة إلى العمليات الحتمية، لدينا العمليات الاحتمالية.

مثلاً، خذ العملية التالية على بتٍ. إذا كانت الحالة الكلاسيكية للبت $0$، تُترك كما هي؛ وإذا كانت الحالة الكلاسيكية $1$، تُقلب بحيث تصبح $0$ باحتمال $1/2$ و$1$ باحتمال $1/2$. تُمثَّل هذه العملية بالمصفوفة

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

يمكن التحقق من أن هذه المصفوفة تفعل الشيء الصحيح بضرب متجهات الأساس القياسي الاثنين فيها.

لأي اختيار اعتباطي لمجموعة حالات كلاسيكية، يمكننا وصف مجموعة العمليات الاحتمالية بالمصطلحات الرياضية بوصفها تلك التي تُمثَّل بمصفوفات عشوائية، وهي مصفوفات تحقق هاتين الخاصيتين:

1. جميع المداخل أعداد حقيقية غير سالبة.
2. مجموع المداخل في كل عمود يساوي $1$.

بشكل مكافئ، المصفوفات العشوائية هي المصفوفات التي تشكّل أعمدتها جميعاً متجهات احتمالات.

يمكننا التفكير في العمليات الاحتمالية على المستوى الحدسي باعتبارها عمليات قد يُستخدم فيها العشوائي أو يُدخَل خلالها، تماماً كما في المثال أعلاه. فيما يخص وصف المصفوفة العشوائية لعملية احتمالية، يمكن النظر إلى كل عمود كتمثيل متجه للحالة الاحتمالية الناتجة عن الحالة الكلاسيكية للمدخل المقابل لذلك العمود.

يمكننا أيضاً التفكير في المصفوفات العشوائية على أنها بالضبط تلك المصفوفات التي تحوّل دائماً متجهات الاحتمالات إلى متجهات احتمالات. أي أن المصفوفات العشوائية تحوّل دائماً متجهات الاحتمالات إلى متجهات احتمالات، وأي مصفوفة تحوّل دائماً متجهات الاحتمالات إلى متجهات احتمالات يجب أن تكون مصفوفة عشوائية.

أخيراً، طريقة مختلفة للتفكير في العمليات الاحتمالية هي أنها اختيارات عشوائية من العمليات الحتمية. مثلاً، يمكننا التفكير في العملية في المثال أعلاه على أنها تطبيق إما دالة الهوية أو دالة الثابت 0، كل منهما باحتمال $1/2$. هذا يتسق مع المعادلة

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

مثل هذا التعبير ممكن دائماً، لأي اختيار اعتباطي لمجموعة حالات كلاسيكية وأي مصفوفة عشوائية صفوفها وأعمدتها مرتبطة بتلك المجموعة.

تركيب العمليات الاحتمالية

افترض أن $\mathsf{X}$ نظام بمجموعة حالات كلاسيكية $\Sigma$، وأن $M_1,\ldots,M_n$ مصفوفات عشوائية تمثّل عمليات احتمالية على النظام $\mathsf{X}$.

إذا طُبّقت العملية الأولى $M_1$ على الحالة الاحتمالية الممثَّلة بمتجه الاحتمالات $u$، تكون الحالة الاحتمالية الناتجة ممثَّلةً بالمتجه $M_1 u$. إذا طبّقنا بعد ذلك العملية الاحتمالية الثانية $M_2$ على متجه الاحتمالات الجديد هذا، نحصل على متجه الاحتمالات

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

تتبع المساواة من حقيقة أن ضرب المصفوفات (الذي يشمل ضرب المصفوفة في المتجه كحالة خاصة) عملية تجميعية. وبالتالي، العملية الاحتمالية الناتجة من تركيب العمليتين الاحتماليتين الأولى والثانية، حيث نطبّق $M_1$ أولاً ثم $M_2$، تُمثَّل بالمصفوفة $M_2 M_1$، التي هي بالضرورة عشوائية.

بشكل أعم، تركيب العمليات الاحتمالية الممثَّلة بالمصفوفات $M_1,\ldots,M_n$ بهذا الترتيب، بمعنى تطبيق $M_1$ أولاً و$M_2$ ثانياً وهكذا مع تطبيق $M_n$ أخيراً، يُمثَّل بحاصل ضرب المصفوفات

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

لاحظ أن الترتيب مهم هنا: رغم أن ضرب المصفوفات تجميعي، فإنه ليس تبديلياً. مثلاً، إذا كان

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{و}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

فإن

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{و}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

أي أن الترتيب الذي تُركَّب فيه العمليات الاحتمالية مهم؛ تغيير ترتيب تطبيق العمليات في تركيب ما يمكن أن يغيّر العملية الناتجة.