المعلومات الكمية

الآن أصبحنا مستعدين للانتقال إلى المعلومات الكمية، حيث نتخذ خيارًا مختلفًا لنوع المتجه الذي يمثل حالة — في هذه الحالة حالة كمية — للنظام المعني. كما في النقاش السابق عن المعلومات الكلاسيكية، سنهتم بالأنظمة التي تمتلك مجموعات محدودة وغير فارغة من الحالات الكلاسيكية، وسنستخدم كثيرًا من نفس الترميزات.

متجهات الحالة الكمية

الحالة الكمية لنظام ما تُمثَّل بمتجه عمودي، يشبه الحالة الاحتمالية. كما من قبل، تشير مؤشرات المتجه إلى الحالات الكلاسيكية للنظام. المتجهات التي تمثل الحالات الكمية تتميز بخاصيتين:

1. عناصر متجه الحالة الكمية هي أعداد مركبة.
2. مجموع مربعات القيم المطلقة لعناصر متجه الحالة الكمية يساوي $1.$

وبذلك، وعلى خلاف الحالات الاحتمالية، لا يشترط في المتجهات التي تمثل الحالات الكمية أن تكون عناصرها أعدادًا حقيقية غير سالبة، والمطلوب هو أن يساوي مجموع مربعات القيم المطلقة للعناصر $1$ (لا مجموع العناصر نفسها). بسيطة كما تبدو هذه التغييرات، إلا أنها هي مصدر الفوارق بين المعلومات الكمية والكلاسيكية؛ فأي تسريع من حاسوب كمي، أو تحسين من بروتوكول اتصال كمي، مصدره في نهاية المطاف هذه التغييرات الرياضية البسيطة.

النظيم الإقليدي لمتجه عمودي

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

يُرمز له ويُعرَّف كالتالي:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

إذن، الشرط الذي يقضي بأن مجموع مربعات القيم المطلقة لمتجه الحالة الكمية يساوي $1$ يعادل أن يكون النظيم الإقليدي لهذا المتجه مساويًا $1.$ بمعنى آخر، متجهات الحالة الكمية هي متجهات وحدوية بالنسبة للنظيم الإقليدي.

أمثلة على حالات الكيوبت

مصطلح الكيوبت يشير إلى نظام كمي تكون فيه مجموعة الحالات الكلاسيكية هي $\{0,1\}.$ أي أن الكيوبت هو في الحقيقة مجرد بت — لكننا باستخدام هذا الاسم نُقرّ صراحةً بأن هذا البت يمكن أن يكون في حالة كمية.

فيما يلي أمثلة على الحالات الكمية للكيوبت:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

و

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

المثالان الأوليان، $\vert 0\rangle$ و $\vert 1\rangle,$ يوضحان أن عناصر الأساس القياسي هي متجهات حالة كمية صحيحة: عناصرها أعداد مركبة، حيث تكون الأجزاء التخيلية لهذه الأعداد جميعًا تساوي $0,$ وحساب مجموع مربعات القيم المطلقة للعناصر يعطينا

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{and}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

كما هو مطلوب. كما في الإطار الكلاسيكي، نربط متجهي الحالة الكمية $\vert 0\rangle$ و $\vert 1\rangle$ بكون الكيوبت في الحالة الكلاسيكية $0$ و $1$ على التوالي.

أما المثالان الآخران، فتكون عناصرهما أيضًا أعدادًا مركبة، وحساب مجموع مربعات القيم المطلقة للعناصر يعطينا

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

و

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

وبالتالي هذه متجهات حالة كمية صحيحة. لاحظ أنها توافيق خطية لحالتي الأساس القياسي $\vert 0 \rangle$ و $\vert 1 \rangle,$ ولهذا السبب نقول في الغالب إنها تراكبات للحالتين $0$ و $1.$ في سياق الحالات الكمية، التراكب والتوافق الخطي مترادفان في الأساس.

المثال $(1)$ لمتجه حالة الكيوبت المذكور أعلاه شائع جدًا — يُسمى الحالة الزائد ويُرمز له كالتالي:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

كما نستخدم الترميز

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

للإشارة إلى متجه حالة كمية مرتبط حيث يكون العنصر الثاني سالبًا لا موجبًا، ونسمي هذه الحالة الحالة الناقص.

هذا النوع من الترميز، حيث تظهر داخل الكيت رموز غير تلك المشيرة إلى حالة كلاسيكية، شائع — يمكننا استخدام أي اسم نشاء داخل الكيت لتسمية متجه. ومن الشائع جدًا استخدام الترميز $\vert\psi\rangle,$ أو اسم آخر بدلًا من $\psi,$ للإشارة إلى متجه اعتباطي قد لا يكون بالضرورة متجه أساس قياسي.

لاحظ أنه إذا كان لدينا متجه $\vert \psi \rangle$ تقابل مؤشراته مجموعة الحالات الكلاسيكية $\Sigma,$ وكان $a\in\Sigma$ عنصرًا من هذه المجموعة، فإن حاصل ضرب المصفوفة $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ يساوي عنصر المتجه $\vert \psi \rangle$ الذي يقابل مؤشره $a.$ كما فعلنا حين كان $\vert \psi \rangle$ متجه أساس قياسي، نكتب $\langle a \vert \psi \rangle$ بدلًا من $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ لتسهيل القراءة.

على سبيل المثال، إذا كان $\Sigma = \{0,1\}$ و

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

فإن

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

بشكل عام، عند استخدام ترميز دراك للمتجهات الاعتباطية، يشير الترميز $\langle \psi \vert$ إلى المتجه الصفي الناتج عن أخذ المرافق المنقول للمتجه العمودي $\vert\psi\rangle,$ حيث يُنقل المتجه من عمودي إلى صفي ويُستبدل كل عنصر بمرافقه المركب. على سبيل المثال، إذا كان $\vert\psi\rangle$ هو المتجه المعرَّف في $(2),$ فإن

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

سيتضح السبب الذي يجعلنا نأخذ المرافق المركب بالإضافة إلى النقل لاحقًا حين نناقش الضرب الداخلي.

الحالات الكمية لأنظمة أخرى

يمكننا النظر في الحالات الكمية لأنظمة ذات مجموعات حالات كلاسيكية اعتباطية. على سبيل المثال، إليك متجه حالة كمية لمفتاح مروحة كهربائية:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

الافتراض هنا أن الحالات الكلاسيكية مرتبة كالتالي: high، medium، low، off. قد لا يكون ثمة سبب وجيه لاعتبار حالة كمية لمفتاح مروحة كهربائية، لكن هذا ممكن من حيث المبدأ.

وإليك مثال آخر، هذه المرة لرقم عشري كمي تكون حالاته الكلاسيكية $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

يوضح هذا المثال مدى ملاءمة كتابة متجهات الحالة باستخدام ترميز دراك. في هذا المثال بالذات، تمثيل المتجه العمودي مرهق فحسب — لكن لو كانت الحالات الكلاسيكية أكثر بكثير لأصبح غير قابل للاستخدام. ترميز دراك، بالمقابل، يدعم وصفًا دقيقًا لمتجهات كبيرة ومعقدة في صورة مضغوطة.

يتيح ترميز دراك أيضًا التعبير عن متجهات تكون فيها جوانب مختلفة غير محددة, أي أنها مجهولة أو لم تُحدد بعد. على سبيل المثال، لأي مجموعة حالات كلاسيكية اعتباطية $\Sigma,$ يمكننا النظر في متجه الحالة الكمية

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

حيث يشير الترميز $\sqrt{|\Sigma|}$ إلى النظيم الإقليدي لـ $\Sigma,$ و $\vert\Sigma\vert$ هنا هو ببساطة عدد عناصر $\Sigma.$ بالكلام، هذا تراكب منتظم على الحالات الكلاسيكية في $\Sigma.$

سنصادف تعبيرات أكثر تعقيدًا لمتجهات الحالة الكمية في الدروس اللاحقة، حيث يكون استخدام المتجهات العمودية غير عملي أو مستحيل. في الواقع، سنتخلى في معظم الأحيان عن تمثيل المتجهات العمودية لمتجهات الحالة، باستثناء المتجهات ذات العناصر القليلة (غالبًا في سياق الأمثلة)، حيث قد يكون من المفيد عرض العناصر وفحصها صراحةً.

وإليك سبب آخر يجعل التعبير عن متجهات الحالة بترميز دراك مريحًا: فهو يغني عن الحاجة إلى تحديد ترتيب صريح لمجموعة الحالات الكلاسيكية (أو ما يعادل ذلك، التناظر بين الحالات الكلاسيكية ومؤشرات المتجه).

على سبيل المثال، متجه حالة كمية لنظام ذي مجموعة حالات كلاسيكية $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ مثل

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

يُوصف وصفًا لا لبس فيه بهذا التعبير، ولا حاجة فعلًا لاختيار أو تحديد ترتيب لهذه المجموعة من الحالات الكلاسيكية لفهم التعبير. في هذه الحالة، ليس صعبًا تحديد ترتيب لدرجات الأوراق القياسية — على سبيل المثال، قد نختار ترتيبها هكذا: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ إذا اخترنا هذا الترتيب بالذات، فإن متجه الحالة الكمية أعلاه سيُمثَّل بالمتجه العمودي

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

بشكل عام، من المريح أن نتمكن من تجاهل مسألة كيفية ترتيب مجموعات الحالات الكلاسيكية.

قياس الحالات الكمية

لننظر الآن في ما يحدث حين تُقاس حالة كمية، مركزين على نوع بسيط من القياسات يُعرف بـ قياس الأساس القياسي. (هناك مفاهيم أعم للقياس سنناقشها لاحقًا.)

كما في الإطار الاحتمالي، حين يُقاس نظام في حالة كمية، لن يرى المراقب الافتراضي الذي يجري القياس متجه حالة كمية، بل سيرى حالة كلاسيكية ما. بهذا المعنى، تعمل القياسات كواجهة بين المعلومات الكمية والكلاسيكية، يُستخلص من خلالها المعلومات الكلاسيكية من الحالات الكمية.

القاعدة بسيطة: إذا قيسنا حالة كمية، تظهر كل حالة كلاسيكية للنظام باحتمال يساوي مربع القيمة المطلقة للعنصر المقابل لها في متجه الحالة الكمية. تُعرف هذه القاعدة بـ قاعدة بورن في ميكانيكا الكم. لاحظ أن هذه القاعدة تتسق مع اشتراط أن مجموع مربعات القيم المطلقة لعناصر متجه الحالة الكمية يساوي $1,$ إذ يستلزم ذلك أن مجموع احتمالات نتائج قياس الحالات الكلاسيكية المختلفة يساوي $1.$

على سبيل المثال، قياس الحالة الزائد

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ينتج عنه نتيجتان محتملتان، $0$ و $1,$ باحتمالات كالتالي.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

من المثير للاهتمام أن قياس الحالة الناقص

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ينتج عنه نفس الاحتمالات تمامًا للنتيجتين.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

يوحي هذا بأنه بالنسبة لقياسات الأساس القياسي، لا فرق بين الحالة الزائد والحالة الناقص. فلماذا إذن نهتم بالتمييز بينهما؟ الجواب هو أن هاتين الحالتين تتصرفان بشكل مختلف حين تُطبَّق عليهما عمليات، كما سنناقش في القسم الفرعي التالي.

بالطبع، قياس الحالة الكمية $\vert 0\rangle$ ينتج بيقين الحالة الكلاسيكية $0,$ وكذلك قياس الحالة الكمية $\vert 1\rangle$ ينتج بيقين الحالة الكلاسيكية $1.$ هذا يتسق مع تعريف هذه الحالات الكمية على أنها تمثل النظام وهو في الحالة الكلاسيكية المقابلة، كما اقترحنا سابقًا.

كمثال أخير، قياس الحالة

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

يجعل النتيجتين المحتملتين تظهران باحتمالات كالتالي:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

و

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

العمليات الأحادية

حتى الآن، قد لا يتبيّن لماذا تختلف المعلومات الكمية جوهريًا عن المعلومات الكلاسيكية. أي أنه حين تُقاس حالة كمية، يُعطى احتمال الحصول على كل حالة كلاسيكية بمربع القيمة المطلقة لعنصر المتجه المقابل — فلماذا لا نسجل هذه الاحتمالات في متجه احتمال؟

الجواب، على الأقل جزئيًا، هو أن مجموعة العمليات المسموح بها على الحالة الكمية تختلف عن تلك الخاصة بالمعلومات الكلاسيكية. كما في الإطار الاحتمالي، العمليات على الحالات الكمية هي تحويلات خطية — لكن بدلًا من تمثيلها بمصفوفات عشوائية كما في الحالة الكلاسيكية، تُمثَّل العمليات على متجهات الحالة الكمية بمصفوفات أحادية.

مصفوفة مربعة $U$ ذات عناصر مركبة تكون أحادية إذا حققت المعادلتين

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

هنا، $\mathbb{I}$ هي مصفوفة الهوية، و $U^{\dagger}$ هو المرافق المنقول لـ $U,$ أي المصفوفة الناتجة عن نقل $U$ وأخذ المرافق المركب لكل عنصر.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

إذا صحت إحدى المعادلتين المرقمتين $(3)$ أعلاه، فلا بد أن تصح الأخرى أيضًا. كلتا المعادلتين مكافئتان لكون $U^{\dagger}$ هو معكوس $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(تحذير: إذا لم تكن $M$ مصفوفة مربعة، فقد يكون $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ و $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ على سبيل المثال. تكافؤ المعادلتين في المعادلة الأولى أعلاه صحيح فقط للمصفوفات المربعة.)

شرط أن تكون $U$ أحادية يعادل شرط أن الضرب في $U$ لا يغير النظيم الإقليدي لأي متجه. أي أن المصفوفة $U$ ذات الأبعاد $n\times n$ تكون أحادية إذا وفقط إذا كان $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ لكل متجه عمودي $\vert \psi \rangle$ بعده $n$ وعناصره أعداد مركبة. وبذلك، لأن مجموعة متجهات الحالة الكمية هي نفسها مجموعة المتجهات ذات النظيم الإقليدي المساوي $1,$ فإن ضرب مصفوفة أحادية في متجه حالة كمية ينتج متجه حالة كمية آخر.

في الواقع، المصفوفات الأحادية هي بالضبط مجموعة التحويلات الخطية التي تحول دائمًا متجهات الحالة الكمية إلى متجهات حالة كمية أخرى. لاحظ هنا الشبه بالحالة الكلاسيكية الاحتمالية حيث ترتبط العمليات بمصفوفات عشوائية، وهي التي تحول دائمًا متجهات الاحتمال إلى متجهات احتمال.

أمثلة على العمليات الأحادية على الكيوبتات

تصف القائمة التالية بعض العمليات الأحادية الشائعة على الكيوبتات.

1. عمليات باولي. مصفوفات باولي الأربع هي كالتالي:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   ترميز بديل شائع هو $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ و $Z = \sigma_z$ (لكن انتبه إلى أن الحروف $X,$ $Y,$ و $Z$ تُستخدم أيضًا لأغراض أخرى). تُسمى عملية $X$ أيضًا قلب البت أو عملية NOT لأنها تُحدث هذا التأثير على البتات:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{and} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   تُسمى عملية $Z$ أيضًا قلب الطور, ولها هذا التأثير:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{and} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. عملية هادامار. تُوصف عملية هادامار بهذه المصفوفة:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. عمليات الطور. عملية الطور هي تلك الموصوفة بالمصفوفة

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   لأي اختيار لعدد حقيقي $\theta.$ العمليتان

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   أمثلة بالغة الأهمية. أمثلة أخرى تشمل $\mathbb{I} = P_0$ و $Z = P_{\pi}.$

جميع المصفوفات المعرَّفة للتو أحادية، وبالتالي تمثل عمليات كمية على كيوبت واحد. على سبيل المثال، إليك حسابًا يتحقق من أن $H$ أحادية:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

وإليك تأثير عملية هادامار على عدد من متجهات حالة الكيوبت الشائعة.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

بصورة أكثر إيجازًا، نحصل على هذه المعادلات الأربع.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

يستحق الأمر التوقف للتفكير في حقيقة أن $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ و $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ في ضوء السؤال المطروح في القسم السابق حول التمييز بين الحالتين $\vert {+} \rangle$ و $\vert {-} \rangle.$

تخيّل موقفًا يُحضَّر فيه الكيوبت في إحدى الحالتين الكموميتين $\vert {+} \rangle$ و $\vert {-} \rangle,$ لكن لا نعلم أيهما. قياس أي من الحالتين يعطي نفس التوزيع الاحتمالي للناتج كما لاحظنا بالفعل: $0$ و $1$ يظهران باحتمال متساوٍ $1/2,$ مما لا يوفر أي معلومة أيًا كانت الحالة المُحضَّرة.

لكن، إذا طبقنا أولًا عملية هادامار ثم قسنا، نحصل على الناتج $0$ بيقين إذا كانت الحالة الأصلية $\vert {+} \rangle,$ ونحصل على الناتج $1$ بيقين إذا كانت الحالة الأصلية $\vert {-} \rangle.$ وبالتالي يمكن تمييز الحالتين الكموميتين $\vert {+} \rangle$ و $\vert {-} \rangle$ تمييزًا تامًا. يكشف هذا أن تغييرات الإشارة، أو بشكل أعم تغييرات الأطوار (التي تُسمى تقليديًا أيضًا الوسيطات) لعناصر الأعداد المركبة في متجه الحالة الكمية، يمكن أن تغير تلك الحالة تغييرًا جوهريًا.

وإليك مثال آخر يوضح كيف تؤثر عملية هادامار على متجه حالة ذُكر سابقًا.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

بعد ذلك، لنتأمل تأثير عملية $T$ على الحالة الزائد.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

لاحظ هنا أننا لم نتكلف تحويل الأمر إلى صور المصفوفة/المتجه المكافئة، بل استخدمنا خطية ضرب المصفوفات مع الصيغ

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

على غرار ذلك، يمكننا حساب نتيجة تطبيق عملية هادامار على متجه الحالة الكمية المُستحصَل للتو:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

الأسلوبان — أحدهما نحوّل فيه صراحةً إلى تمثيلات المصفوفة، والآخر نستخدم فيه الخطية ونعوض بتأثيرات العملية على حالات الأساس القياسي — متكافئان. يمكننا استخدام أيهما كان أنسب في الحالة المعنية.

تركيبات عمليات الكيوبت الأحادية

تُمثَّل تركيبات العمليات الأحادية بضرب المصفوفات، تمامًا كما كان الحال في الإطار الاحتمالي.

على سبيل المثال، افترض أننا طبقنا أولًا عملية هادامار، ثم عملية $S$, ثم عملية هادامار أخرى. العملية الناتجة، التي سنسميها $R$ لأغراض هذا المثال، هي كالتالي:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

هذه العملية الأحادية $R$ مثال مثير للاهتمام. بتطبيق هذه العملية مرتين، وهو ما يعادل تربيع تمثيلها المصفوفي، نحصل على عملية NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

أي أن $R$ هي عملية الجذر التربيعي لـ NOT. مثل هذا السلوك، حيث تُطبَّق نفس العملية مرتين للحصول على عملية NOT، غير ممكن لعملية كلاسيكية على بت واحد.

العمليات الأحادية على أنظمة أكبر

في الدروس اللاحقة، سنرى أمثلة كثيرة على العمليات الأحادية على أنظمة ذات أكثر من حالتين كلاسيكيتين. مثال على عملية أحادية لنظام ذي ثلاث حالات كلاسيكية تعطيه المصفوفة التالية.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

بافتراض أن الحالات الكلاسيكية للنظام هي $0,$ $1,$ و $2,$ يمكننا وصف هذه العملية بالجمع بالمقياس $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{and}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

المصفوفة $A$ مثال على مصفوفة تبديل, وهي مصفوفة يحوي كل صف وعمود فيها رقمًا واحدًا بالضبط هو $1.$ هذه المصفوفات تقوم بإعادة ترتيب، أو تبديل، عناصر المتجهات التي تؤثر عليها. مصفوفة الهوية هي ربما أبسط مثال على مصفوفة التبديل، ومثال آخر هو عملية NOT على بت أو كيوبت. كل مصفوفة تبديل، في أي بُعد صحيح موجب، هي مصفوفة أحادية. هذه هي الأمثلة الوحيدة على المصفوفات التي تمثل في آنٍ واحد عمليات كلاسيكية وكمية: المصفوفة التي تكون عشوائية وأحادية في آنٍ واحد هي بالضرورة مصفوفة تبديل.

مثال آخر على مصفوفة أحادية، هذه المرة مصفوفة $4\times 4$، هو هذه:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

تصف هذه المصفوفة عملية تُعرف بـ تحويل فورييه الكمي, تحديدًا في الحالة $4\times 4$. يمكن تعريف تحويل فورييه الكمي بشكل أعم لأي بُعد صحيح موجب $n,$ ويؤدي دورًا محوريًا في الخوارزميات الكمية.