التنقيات

تعريف التنقيات

لنبدأ بتعريف رياضي دقيق للتنقيات.

تعريف

لتكن $\mathsf{X}$ نظاماً في حالة تُمثَّل بمصفوفة كثافة $\rho,$ ولتكن $\vert\psi\rangle$ شعاعَ حالة كمية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يُعطي $\rho$ عند أخذ الأثر الجزئي بالنسبة لـ $\mathsf{Y}$:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

يُقال حينئذٍ إن شعاع الحالة $\vert\psi\rangle$ هو تنقية لـ $\rho.$

الحالة النقية $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ المُعبَّر عنها كمصفوفة كثافة بدلاً من شعاع حالة كمية، يُشار إليها هي الأخرى باعتبارها تنقيةً لـ $\rho$ حين تتحقق المعادلة الواردة في التعريف، غير أننا سنستخدم المصطلح في الغالب للإشارة إلى شعاع الحالة الكمية.

يُستخدم مصطلح التنقية أيضاً بصورة أعم حين يتبدّل ترتيب الأنظمة، أو حين تختلف أسماء الأنظمة والحالات (بطبيعة الحال)، أو حين يكون عدد الأنظمة أكثر من اثنين. فمثلاً، إذا كان $\vert \psi \rangle$ شعاعَ حالة كمية يُمثّل حالة نقية لنظام مركّب $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ وكانت المعادلة

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

صحيحةً لمصفوفة كثافة $\rho$ تُمثّل حالة النظام $(\mathsf{A},\mathsf{C}),$ فإن $\vert\psi\rangle$ لا يزال يُسمى تنقيةً لـ $\rho.$

بيد أننا في هذا الدرس سنركّز على الصورة المحددة الواردة في التعريف. الخصائص والحقائق المتعلقة بالتنقيات، وفق هذا التعريف، يمكن عادةً تعميمها على أكثر من نظامين بإعادة ترتيب الأنظمة وتقسيمها إلى نظامين مركّبين، أحدهما يؤدي دور $\mathsf{X}$ والآخر دور $\mathsf{Y}.$

وجود التنقيات

لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامان اعتباطيان وأن $\rho$ حالة معطاة للنظام $\mathsf{X}.$ سنُثبت وجود شعاع حالة كمية $\vert\psi\rangle$ للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يُنقّي $\rho$ — أي أن $\vert\psi\rangle$ هو تنقية لـ $\rho$ — بشرط أن يكون النظام $\mathsf{Y}$ كبيراً بما يكفي. تحديداً، إذا كان عدد الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{Y}$ لا يقل عن عدد الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{X},$ فإن تنقيةً من هذا الشكل موجودة بالضرورة لكل حالة $\rho.$ أما عدد الحالات الكلاسيكية المطلوبة لـ $\mathsf{Y}$ فقد يكون أقل لبعض الحالات $\rho$؛ وبوجه عام، يكفي $\operatorname{rank}(\rho)$ من الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{Y}$ ويكون ضرورياً في الوقت ذاته لوجود شعاع حالة كمية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يُنقّي $\rho.$

نبدأ بأي تعبير عن $\rho$ كتركيب محدب لـ $n$ حالة نقية، لأي عدد صحيح موجب $n.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

في هذا التعبير، $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ متجه احتمالات وشعاعات $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ هي شعاعات حالات كمية للنظام $\mathsf{X}.$

إحدى الطرق للحصول على هذا التعبير هي نظرية الطيف، التي يكون فيها $n$ هو عدد الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{X},$ و$p_0,\ldots,p_{n-1}$ هي قيم ذاتية لـ $\rho,$ وشعاعات $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ هي متجهات ذاتية متعامدة يتوافق كل منها مع قيمته الذاتية.

لا ضرورة في الواقع لإدراج الحدود المقابلة للقيم الذاتية الصفرية لـ $\rho$ في المجموع، مما يتيح لنا اختياراً بديلاً يكون فيه $n = \operatorname{rank}(\rho)$ وتكون $p_0,\ldots,p_{n-1}$ هي القيم الذاتية غير الصفرية لـ $\rho.$ هذه هي القيمة الدنيا لـ $n$ التي يوجد لها تعبير عن $\rho$ بهذا الشكل.

لنكن واضحين: ليس ضرورياً أن يأتي التعبير المختار لـ $\rho$ كتركيب محدب من حالات نقية عبر نظرية الطيف — فهذه مجرد إحدى الطرق للحصول على مثل هذا التعبير. تحديداً، يمكن أن يكون $n$ أي عدد صحيح موجب، ولا يشترط تعامد شعاعات الوحدة $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle,$ ولا يشترط أن تكون الاحتمالات $p_0,\ldots,p_{n-1}$ قيماً ذاتية لـ $\rho.$

يمكننا الآن تحديد تنقية لـ $\rho$ على النحو التالي.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

نفترض هنا أن الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{Y}$ تشمل $0,\ldots,n-1.$ إن لم يكن كذلك، يمكن استبدال $0,\ldots,n-1$ بأي اختيار اعتباطي لـ $n$ حالة كلاسيكية مختلفة من حالات $\mathsf{Y}.$ التحقق من أن هذا فعلاً تنقية لـ $\rho$ يتلخص في حساب الأثر الجزئي، وهو ما يمكن القيام به بالطريقتين المتكافئتين التاليتين.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

بصورة أعم، لأي مجموعة متعامدة من الشعاعات $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\},$ يكون شعاع الحالة الكمية

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

تنقيةً لـ $\rho.$

مثال

لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلاهما كيوبتان وأن

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

مصفوفة كثافة تُمثّل حالة للنظام $\mathsf{X}.$

يمكننا استخدام نظرية الطيف للتعبير عن $\rho$ كما يلي:

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

حيث $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ وبذلك يكون شعاع الحالة الكمية

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

الذي يصف حالة نقية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ تنقيةً لـ $\rho.$

بديلاً عن ذلك، يمكننا كتابة:

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

هذا تركيب محدب من حالات نقية لكنه ليس تحليلاً طيفياً لأن $\vert 0\rangle$ و$\vert +\rangle$ ليسا متعامدَين و$1/2$ ليست قيمة ذاتية لـ $\rho.$ ومع ذلك، يكون شعاع الحالة الكمية

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

تنقيةً لـ $\rho.$

التحليلات الطيفية لشميدت

سنناقش الآن تحليلات شميدت، وهي تعبيرات عن شعاعات الحالات الكمية لـ أزواج من الأنظمة تتخذ شكلاً محدداً. تحليلات شميدت مرتبطة ارتباطاً وثيقاً بالتنقيات، وهي مفيدة جداً في حد ذاتها. بل إن الخطوة الأولى عند دراسة شعاع حالة كمية معطى $\vert\psi\rangle$ لزوج من الأنظمة كثيراً ما تكون تحديد تحليل شميدت لهذه الحالة أو التأمل فيه.

تعريف

ليكن $\vert \psi\rangle$ شعاعَ حالة كمية معطى لزوج من الأنظمة $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ تحليل شميدت لـ $\vert\psi\rangle$ هو تعبير من الشكل

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

حيث $p_0,\ldots,p_{r-1}$ أعداد حقيقية موجبة مجموعها 1 وكلٌّ من المجموعتين $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ و$\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ مجموعة متعامدة وحدية.

القيم

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

في تحليل شميدت لـ $\vert\psi\rangle$ تُعرف بـ معاملات شميدت، وهي محددة بشكل وحيد (باستثناء ترتيبها) — فهي الأعداد الحقيقية الموجبة الوحيدة التي يمكن أن تظهر في مثل هذا التعبير عن $\vert\psi\rangle.$ أما المجموعتان

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{و}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

فليستا محددتَين بشكل وحيد، وسيتضح في الشرح التالي مقدار الحرية المتاحة في اختيار هذه المجموعات من الشعاعات.

سنُثبت الآن أن شعاع الحالة الكمية المعطى $\vert\psi\rangle$ يمتلك فعلاً تحليل شميدت، وفي سياق ذلك سنتعلم كيفية إيجاده.

نبدأ بأساس اعتباطي (لا يشترط تعامده) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ لفضاء الشعاعات المقابل للنظام $\mathsf{X}.$ بما أن هذا أساس، توجد دائماً مجموعة شعاعات $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ محددة بشكل وحيد تجعل المعادلة التالية صحيحة.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

مثلاً، لنفترض أن $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ هو الأساس القياسي المقابل لـ $\mathsf{X}.$ بافتراض أن مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{X}$ هي $\{0,\ldots,n-1\},$ أي أن $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ لكل $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ نجد أن

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

حين يكون

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

لكل $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ كثيراً ما نتأمل مثل هذه التعبيرات عند دراسة قياس الأساس القياسي للنظام $\mathsf{X}.$

من المهم الإشارة إلى أن الصيغة

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

للشعاعات $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ في هذا المثال تعمل فقط لأن $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ أساس متعامد وحيدي. بوجه عام، إذا كان $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ أساساً لا يشترط أن يكون متعامداً وحيدياً، فإن الشعاعات $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ لا تزال محددة بشكل وحيد بالمعادلة $(1),$ لكن نحتاج إلى صيغة مختلفة. إحدى طرق إيجادها هي تحديد شعاعات $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ بحيث تتحقق المعادلة

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

لجميع $a,b\in\{0,\ldots,n-1\},$ وعندئذٍ يكون

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

لأساس معطى $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ لفضاء الشعاعات المقابل لـ $\mathsf{X},$ لن تستوفي الشعاعات المحددة بشكل وحيد $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ التي تحقق المعادلة $(1)$ بالضرورة أي خصائص مميزة، حتى لو كان $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ أساساً متعامداً وحيدياً. لكن إذا اخترنا $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ أساساً متعامداً وحيدياً من المتجهات الذاتية للحالة المختزلة

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

يحدث شيء مثير للاهتمام. تحديداً، بالنسبة للمجموعة المحددة بشكل وحيد $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ التي تحقق المعادلة $(1),$ تكون هذه المجموعة متعامدة بالضرورة.

بمزيد من التفصيل، نتأمل تحليلاً طيفياً لـ $\rho$:

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

نُشير هنا إلى القيم الذاتية لـ $\rho$ بالرموز $p_0,\ldots,p_{n-1}$ إدراكاً لكون $\rho$ مصفوفة كثافة — فمتجه القيم الذاتية $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ يشكّل متجه احتمالات — بينما $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ أساس متعامد وحيدي من المتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم. ولمعرفة أن المجموعة الوحيدة $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ التي تحقق المعادلة $(1)$ هي بالضرورة متعامدة، نبدأ بحساب الأثر الجزئي.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

يجب أن يتوافق هذا التعبير مع التحليل الطيفي لـ $\rho.$ لأن $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ أساس، نستنتج أن مجموعة المصفوفات

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

مستقلة خطياً، ومن ثمَّ يتبع أن

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

مما يُثبت أن $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ متعامدة.

اقتربنا من الحصول على تحليل شميدت لـ $\vert\psi\rangle$. يبقى علينا حذف الحدود في $(1)$ التي يكون فيها $p_a = 0$ ثم كتابة $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ لشعاع وحدة $\vert y_a\rangle$ لكل من الحدود المتبقية.

طريقة مريحة للقيام بذلك تبدأ بملاحظة أننا أحرار في ترقيم أزواج القيم الذاتية/المتجهات الذاتية في التحليل الطيفي للحالة المختزلة $\rho$ بأي ترتيب نشاء — فيمكننا افتراض ترتيبها تنازلياً:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

بتعريف $r = \operatorname{rank}(\rho),$ نجد أن $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ و$p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ وبذلك يكون لدينا

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

ويمكننا كتابة شعاع الحالة الكمية $\vert \psi \rangle$ على النحو:

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

بما أن

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

لـ $a=0,\ldots,r-1,$ يمكننا تعريف شعاعات الوحدة $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ بالصيغة:

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

حيث $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ لكل $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ لأن الشعاعات $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ متعامدة وغير صفرية، يتبع أن $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ مجموعة متعامدة وحيدية، وهكذا حصلنا على تحليل شميدت لـ $\vert\psi\rangle.$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

بخصوص اختيار الشعاعات $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ و $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ يمكننا اختيار $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ كأي مجموعة متعامدة وحيدية من المتجهات الذاتية المقابلة للقيم الذاتية غير الصفرية للحالة المختزلة $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (كما فعلنا أعلاه)، وعندئذٍ تكون شعاعات $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ محددة بشكل وحيد.

الوضع متماثل بين النظامين، فيمكننا بدلاً من ذلك اختيار $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ كأي مجموعة متعامدة وحيدية من المتجهات الذاتية المقابلة للقيم الذاتية غير الصفرية للحالة المختزلة $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert),$ وعندئذٍ تكون شعاعات $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ محددة بشكل وحيد.

لاحظ أنه بمجرد اختيار إحدى المجموعتين — كمجموعة من المتجهات الذاتية للحالة المختزلة المقابلة كما وُصف للتو — تكون المجموعة الأخرى محددة، وبالتالي لا يمكن اختيارهما باستقلالية.

وعلى الرغم من أن هذا لن يرد مجدداً في هذه السلسلة، تجدر الإشارة إلى أن القيم الذاتية غير الصفرية $p_0,\ldots,p_{r-1}$ للحالة المختزلة $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ يجب أن تتطابق دائماً مع القيم الذاتية غير الصفرية للحالة المختزلة $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ لأي حالة نقية $\vert\psi\rangle$ لزوج من الأنظمة $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

بصياغة حدسية، تحمل الحالتان المختزلتان لـ $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ القدر نفسه من العشوائية حين يكون الزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ في حالة نقية. هذه الحقيقة يكشفها تحليل شميدت: في كلتا الحالتين يجب أن تتوافق القيم الذاتية للحالات المختزلة مع مربعات معاملات شميدت للحالة النقية.

التكافؤ الأحادي للتنقيات

يمكننا استخدام تحليلات شميدت لإثبات حقيقة جوهرية متعلقة بالتنقيات تُعرف بـ التكافؤ الأحادي للتنقيات.

مبرهنة

التكافؤ الأحادي للتنقيات: لنفترض أن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامان، وأن $\vert\psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ شعاعا حالة كمية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ يُنقّيان الحالة نفسها للنظام $\mathsf{X}$. بصياغة رمزية:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

لمصفوفة كثافة $\rho$ تُمثّل حالة للنظام $\mathsf{X}.$ عندئذٍ يجب أن توجد عملية أحادية $U$ على $\mathsf{Y}$ وحده تحوّل التنقية الأولى إلى الثانية:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

سنناقش بعض تبعات هذه المبرهنة مع تقدم الدرس، لكن دعونا أولاً نرى كيف تنبع من مناقشتنا السابقة لتحليلات شميدت.

افتراضنا هو أن $\vert\psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ شعاعا حالة كمية لزوج من الأنظمة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ تحققان المعادلة

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

لمصفوفة كثافة $\rho$ تُمثّل حالة للنظام $\mathsf{X}.$

نتأمل تحليلاً طيفياً لـ $\rho$:

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

هنا $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ أساس متعامد وحيدي من المتجهات الذاتية لـ $\rho.$ باتباع الخطوات السابقة، نحصل على تحليلَي شميدت لكلٍّ من $\vert\psi\rangle$ و$\vert\phi\rangle$ بالشكل التالي:

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

في هذه التعبيرات، $r$ هو رتبة $\rho$ و$\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ و$\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ مجموعتان متعامدتان وحيديتان من الشعاعات في الفضاء المقابل لـ $\mathsf{Y}.$

لأي مجموعتين متعامدتين وحيديتين في الفضاء نفسه تتفقان في عدد العناصر، توجد دائماً مصفوفة أحادية تحوّل المجموعة الأولى إلى الثانية، فيمكننا اختيار مصفوفة أحادية $U$ بحيث $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ لـ $a = 0,\ldots,r-1.$ تحديداً، لإيجاد مثل هذه المصفوفة $U$ يمكننا أولاً استخدام عملية غرام-شميدت للتعامد لتوسيع مجموعتَينا المتعامدتَين الوحيديتَين إلى أساسَين متعامدَين وحيدَين $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ و $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\},$ حيث $m$ بُعد الفضاء المقابل لـ $\mathsf{Y},$ ثم أخذ

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

نجد الآن أن

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

وهذا يُتم الإثبات.

إليك بعضاً من الأمثلة والتبعات المثيرة للاهتمام المرتبطة بالتكافؤ الأحادي للتنقيات. سنرى تبعة أخرى بالغة الأهمية لاحقاً في الدرس، في سياق الأمانة، تُعرف بـ مبرهنة أولمان.

الترميز الكثيف

في بروتوكول الترميز الكثيف، يتشارك أليس وبوب كيوبتاً متشابكاً، بمعنى أن أليس تمتلك كيوبتاً $\mathsf{A}$ وبوب يمتلك كيوبتاً $\mathsf{B},$ ومعاً يكون الزوج $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ في حالة بيل $\vert\phi^{+}\rangle.$ يصف البروتوكول كيف يمكن لأليس تحويل هذه الحالة المشتركة إلى أي من حالات بيل الأربع، $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ و$\vert\psi^-\rangle,$ بتطبيق عملية أحادية على كيوبتها $\mathsf{A}$ فحسب. بعد القيام بذلك، ترسل أليس $\mathsf{A}$ إلى بوب، ثم يُجري بوب قياساً على الزوج $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ليعرف أي حالة بيل يمتلك.

بالنسبة لجميع حالات بيل الأربع، تكون الحالة المختزلة لكيوبت بوب $\mathsf{B}$ هي الحالة المخلوطة تماماً.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

من خلال التكافؤ الأحادي للتنقيات، نستنتج فوراً أنه لكل حالة بيل يجب أن توجد عملية أحادية على كيوبت أليس $\mathsf{A}$ وحده تحوّل $\vert\phi^+\rangle$ إلى حالة بيل المختارة. وعلى الرغم من أن هذا لا يكشف تفاصيل البروتوكول الدقيقة، فإن التكافؤ الأحادي للتنقيات يستلزم مباشرةً إمكانية تحقق الترميز الكثيف.

يمكننا أيضاً الاستنتاج أن تعميمات الترميز الكثيف على أنظمة أكبر ممكنة دائماً، بشرط استبدال حالات بيل بأي أساس متعامد وحيدي من التنقيات للحالة المخلوطة تماماً.

التبعات التشفيرية

للتكافؤ الأحادي للتنقيات تبعات تتعلق بتنفيذ البدائيات التشفيرية باستخدام المعلومات الكمية. فمثلاً، يكشف التكافؤ الأحادي للتنقيات استحالة تنفيذ صورة مثالية من الالتزام بالبت باستخدام المعلومات الكمية.

يتضمن الالتزام بالبت مشاركَين، أليس وبوباً (اللذَين لا يثق أحدهما بالآخر)، ومرحلتَين.

• المرحلة الأولى هي مرحلة الالتزام، التي تلتزم فيها أليس بقيمة ثنائية $b\in\{0,1\}.$ يجب أن يكون هذا الالتزام مُلزِماً، أي لا تستطيع أليس التراجع عنه، وفي الوقت ذاته مُخفياً، أي لا يستطيع بوب معرفة القيمة التي التزمت بها أليس.
• المرحلة الثانية هي مرحلة الكشف، التي تتضح فيها القيمة التي التزمت بها أليس لبوب، الذي يجب أن يقتنع بأن القيمة المكشوفة هي فعلاً القيمة التي التُزم بها.

بعبارات عملية حدسية، يجب أن تعمل المرحلة الأولى من الالتزام بالبت كأن أليس تكتب قيمة ثنائية على ورقة، تضعها في خزنة، وتعطي الخزنة لبوب مع الاحتفاظ بالمفتاح لنفسها. التزمت أليس بالقيمة المكتوبة على الورقة لأن الخزنة في حوزة بوب (مُلزِم)، لكن لأن بوباً لا يستطيع فتح الخزنة فلا يمكنه معرفة القيمة التي التزمت بها أليس (مُخفٍ). يجب أن تعمل المرحلة الثانية كأن أليس تسلّم المفتاح لبوب كي يفتح الخزنة ويكشف القيمة التي التزمت بها.

تبيّن في نهاية المطاف أنه من المستحيل تنفيذ بروتوكول التزام مثالي بالبت عبر المعلومات الكمية وحدها، لأن ذلك يتعارض مع التكافؤ الأحادي للتنقيات. فيما يلي ملخص رفيع المستوى للحجة التي تُثبت ذلك.

نبدأ بافتراض أن أليس وبوباً يؤديان عمليات أحادية فحسب أو يُدخلان أنظمة جديدة مُهيَّأة مسبقاً أثناء تنفيذ البروتوكول. حقيقة أن كل قناة لها تمثيل ستاينسبرغ تسمح لنا بهذا الافتراض.

في نهاية مرحلة الالتزام من البروتوكول، يمتلك بوب نظاماً مركّباً يجب أن يكون في إحدى حالتين كموميتَين: $\rho_0$ إن التزمت أليس بالقيمة $0$ و$\rho_1$ إن التزمت بالقيمة $1.$ لكي يكون البروتوكول مُخفياً تماماً، يجب ألا يستطيع بوب التمييز بين هاتين الحالتين — أي يجب أن يكون $\rho_0 = \rho_1.$ (وإلا كان ثمة قياس يُميّز بين هاتين الحالتَين باحتمالية معينة.)

غير أنه لأن أليس وبوباً استخدما عمليات أحادية فحسب، يجب أن تكون حالة جميع الأنظمة المشاركة في البروتوكول بعد مرحلة الالتزام حالةً نقية. تحديداً، لنفترض أن $\vert\psi_0\rangle$ هي الحالة النقية لجميع الأنظمة المشاركة حين تلتزم أليس بـ $0,$ وأن $\vert\psi_1\rangle$ هي الحالة النقية حين تلتزم بـ $1.$ بتعريف $\mathsf{A}$ و$\mathsf{B}$ للإشارة إلى أنظمة أليس وبوب (المركّبة ربما)، يكون:

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

بالنظر إلى شرط $\rho_0 = \rho_1$ في بروتوكول مُخفٍ تماماً، نجد أن $\vert\psi_0\rangle$ و$\vert\psi_1\rangle$ تنقيتان للحالة نفسها — وبذلك، وفق التكافؤ الأحادي للتنقيات، يجب أن توجد عملية أحادية $U$ على $\mathsf{A}$ وحده بحيث:

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

يكون لأليس إذن حرية تغيير التزامها من $0$ إلى $1$ بتطبيق $U$ على $\mathsf{A},$ أو من $1$ إلى $0$ بتطبيق $U^{\dagger},$ ومن ثمَّ يفشل البروتوكول الافتراضي المنظور كلياً في أن يكون مُلزِماً.

مبرهنة هيوغستون-جوزا-وترز

آخر تبعة للتكافؤ الأحادي للتنقيات سنناقشها في هذا الجزء من الدرس هي المبرهنة التالية المعروفة بمبرهنة هيوغستون-جوزا-وترز. (وهذا في الواقع تعبير مبسّط قليلاً للمبرهنة المعروفة بهذا الاسم.)

مبرهنة

هيوغستون-جوزا-وترز: ليكن $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ نظامَين وليكن $\vert\phi\rangle$ شعاعَ حالة كمية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ وليكن $N$ عدداً صحيحاً موجباً اعتباطياً، وليكن $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ متجه احتمالات، وليكن $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ شعاعات حالات كمية تُمثّل حالات للنظام $\mathsf{X}$ بحيث:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

يوجد قياس (عام) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ على $\mathsf{Y}$ بحيث تكون العبارتان التاليتان صحيحتَين حين يُجرى هذا القياس على $\mathsf{Y}$ وكان الزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ في الحالة $\vert\phi\rangle:$

1. كل نتيجة قياس $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ تظهر باحتمالية $p_a$.
2. بشرط الحصول على نتيجة القياس $a,$ تصبح حالة $\mathsf{X}$ هي $\vert\psi_a\rangle.$

بصياغة حدسية، تقول هذه المبرهنة إنه طالما لدينا حالة نقية لنظامَين، فإنه لأي طريقة تصوّر للحالة المختزلة للنظام الأول كتركيب محدب من حالات نقية، يوجد قياس للنظام الثاني يجعل هذه الطريقة واقعاً فعلياً. لاحظ أن العدد $N$ لا يشترط أن يكون محدوداً بعدد الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{X}$ أو $\mathsf{Y}.$ فمثلاً، يمكن أن يكون $N = 1,000,000$ بينما $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كيوبتان.

سنُثبت هذه المبرهنة باستخدام التكافؤ الأحادي للتنقيات، بدءاً بإدخال نظام جديد $\mathsf{Z}$ مجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\{0,\ldots,N-1\}.$ نتأمل شعاعَي الحالة الكمية التاليَين للثلاثي $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$:

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

الشعاع الأول $\vert\gamma_0\rangle$ هو ببساطة شعاع الحالة الكمية المعطى $\vert\phi\rangle$ مضروباً تنسيرياً في $\vert 0\rangle$ للنظام الجديد $\mathsf{Z}.$ أما الشعاع الثاني $\vert\gamma_1\rangle,$ فهو في جوهره شعاع حالة كمية يجعل المبرهنة بديهية — على الأقل لو استُبدل $\mathsf{Y}$ بـ $\mathsf{Z}$ — لأن قياس الأساس القياسي على $\mathsf{Z}$ يُعطي وضوحاً كل نتيجة $a$ باحتمالية $p_a,$ وبشرط الحصول على هذه النتيجة تصبح حالة $\mathsf{X}$ هي $\vert\psi_a\rangle.$

بالنظر إلى الزوج $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ كنظام مركّب واحد يمكن أخذ أثره لإبقاء $\mathsf{X},$ نجد أننا حددنا تنقيتَين مختلفتَين للحالة

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

تحديداً، للأولى يكون:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

وللثانية يكون:

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

وبذلك يجب أن توجد عملية أحادية $U$ على $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ تحقق

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

وفق التكافؤ الأحادي للتنقيات.

باستخدام هذه العملية الأحادية $U,$ يمكننا تنفيذ قياس يستوفي متطلبات المبرهنة كما توضح الصورة التالية. بالكلمات: ندخل النظام الجديد $\mathsf{Z}$ مُهيَّأً في الحالة $\vert 0\rangle,$ ونُطبّق $U$ على $(\mathsf{Y},\mathsf{Z}),$ مما يحوّل حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ من $\vert\gamma_0\rangle$ إلى $\vert\gamma_1\rangle,$ ثم نقيس $\mathsf{Z}$ بقياس الأساس القياسي، وهو ما رأينا أنه يُعطي السلوك المطلوب.

المستطيل المنقط في الشكل يُمثّل تنفيذ هذا القياس، والذي يمكن وصفه كمجموعة من المصفوفات شبه المحددة موجبة $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ على النحو التالي:

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$