الكشف عن الأخطاء بتكلفة منخفضة باستخدام رموز الزمكان

تقدير الاستخدام: 10 ثوانٍ على معالج Heron r3 (ملاحظة: هذا تقدير فحسب. قد يختلف وقت التشغيل الفعلي لديك.)

مقدمة

تقترح ورقة الكشف عن الأخطاء بتكلفة منخفضة باستخدام رموز الزمكان [1] لسيمون مارتيل وعلي جوادي-أبهاري، تركيبَ فحوصات زمكانية منخفضة الوزن ومتوافقة مع الاتصال المادي لدوائر Clifford، ثم الاختيار اللاحق بناءً على تلك الفحوصات لاصطياد الأعطال بتكلفة أقل بكثير من تصحيح الأخطاء الكامل، وبعدد لقطات أقل من تقنيات التخفيف المعيارية.

تقترح هذه الورقة طريقة مبتكرة للكشف عن الأخطاء في الدوائر الكمومية (وتحديدًا دوائر Clifford)، تحقق توازنًا بين تصحيح الأخطاء الكامل وتقنيات التخفيف الأخف وزنًا. تتمحور الفكرة الأساسية حول استخدام رموز الزمكان لتوليد "فحوصات" عبر الدائرة قادرة على اصطياد الأخطاء، مع تكلفة أقل بكثير من حيث البتات الكمومية والبوابات مقارنةً بتصحيح الأخطاء المتسامح مع الأعطال بالكامل. يصمم المؤلفون خوارزميات فعّالة لاختيار فحوصات منخفضة الوزن (تشمل عددًا قليلًا من البتات الكمومية)، ومتوافقة مع الاتصال المادي للجهاز، وتغطي مناطق زمنية ومكانية واسعة من الدائرة. ويُبرهنون على هذا النهج على دوائر تضم ما يصل إلى 50 بتًا كموميًا منطقيًا ونحو 2450 بوابة CZ، محققين مكاسب في الإخلاص بنسبة تصل إلى 236 ضعفًا من القيم المادية إلى المنطقية. كذلك تجدر الإشارة إلى أنه كلما زادت العمليات غير Clifford في الدوائر، تقلّص عدد الفحوصات الصالحة بصورة أسية، مما يعني أن الطريقة تعمل بأفضل صورة مع الدوائر المهيمن عليها بعمليات Clifford. وبوجه عام، قد يوفر الكشف عن الأخطاء عبر رموز الزمكان مسارًا عمليًا وأقل تكلفةً لتحسين الموثوقية على الأجهزة الكمومية في المدى القريب.

تعتمد تقنية الكشف عن الأخطاء هذه على مفهوم فحوصات Pauli المتماسكة، وتستند إلى العمل التخفيف من الأخطاء بلقطة واحدة عبر فحوصات Pauli المتماسكة [2] لفان دن بيرغ وآخرين.

وفي تطور أحدث، تُفيد الورقة القطط الكبيرة: التشابك في 120 بتًا كموميًا وما هو أبعد [3] لجوادي-أبهاري وآخرين، بإنشاء حالة Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) مؤلفة من 120 بتًا كموميًا، وهي أكبر حالة تشابك متعدد الأطراف تُحقَّق حتى الآن على منصة البتات الكمومية فائقة التوصيل. وباستخدام مُصرِّف مُدرك للأجهزة، وكشف أخطاء منخفض التكلفة، وتقنية "إلغاء الحوسبة المؤقتة" للحد من الضوضاء، حقق الباحثون إخلاصًا مقداره 0.56 ± 0.03 مع كفاءة اختيار لاحق تبلغ نحو 28%. ويُثبت هذا العمل التشابكَ الحقيقي عبر جميع البتات الكمومية الـ 120، مما يُصادق على أساليب متعددة لشهادة الإخلاص، ويُمثّل معيارًا بالغ الأهمية للأجهزة الكمومية القابلة للتوسع.

يبني هذا البرنامج التعليمي على هذه الأفكار، ويرشدك إلى تنفيذ خوارزمية الكشف عن الأخطاء أولًا على دائرة Clifford عشوائية صغيرة الحجم، ثم إلى مهمة تحضير حالة GHZ، لمساعدتك على تجربة الكشف عن الأخطاء في دوائرك الكمومية الخاصة.

المتطلبات

قبل البدء في هذا البرنامج التعليمي، تأكد من تثبيت ما يلي:

• Qiskit SDK الإصدار 2.0 أو أحدث، مع دعم التصور
• Qiskit Runtime الإصدار 0.40 أو أحدث (pip install qiskit-ibm-runtime)
• Qiskit Aer الإصدار 0.17.2 (pip install qiskit-aer)
• Qiskit Device Benchmarking (pip install "qiskit-device-benchmarking @ git+https://github.com/qiskit-community/qiskit-device-benchmarking.git")
• NumPy الإصدار 2.3.2 (pip install numpy)
• Matplotlib الإصدار 3.10.7 (pip install matplotlib)

الإعداد

# Added by doQumentation — installs packages not in the Binder environment
%pip install -q qiskit-device-benchmarking

# Standard library imports
from collections import defaultdict, deque
from functools import partial

# External libraries
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Qiskit
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Delay
from qiskit.circuit.library import RZGate, XGate
from qiskit.converters import circuit_to_dag, dag_to_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, random_clifford
from qiskit.transpiler import AnalysisPass, PassManager
from qiskit.transpiler.passes import (
    ALAPScheduleAnalysis,
    CollectAndCollapse,
    PadDelay,
    PadDynamicalDecoupling,
    RemoveBarriers,
)
from qiskit.transpiler.passes.optimization.collect_and_collapse import (
    collect_using_filter_function,
    collapse_to_operation,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.visualization import plot_histogram

# Qiskit Aer
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit_aer.noise import NoiseModel, ReadoutError, depolarizing_error

# Qiskit IBM Runtime
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

# Qiskit Device Benchmarking
from qiskit_device_benchmarking.utilities.gate_map import plot_gate_map

المثال الأول

لتوضيح هذه الطريقة، نبدأ ببناء دائرة Clifford بسيطة. هدفنا هو القدرة على الكشف عن وقوع أنواع معينة من الأخطاء في هذه الدائرة، حتى نتمكن من استبعاد نتائج القياس الخاطئة. في مصطلحات الكشف عن الأخطاء، يُعرف هذا أيضًا بدائرة الحمولة.

circ = random_clifford(num_qubits=2, seed=11).to_circuit()
circ.draw("mpl")

هدفنا هو إدراج فحص Pauli متماسك في دائرة الحمولة هذه. لكن قبل ذلك، نفصل هذه الدائرة إلى طبقات. سيكون هذا مفيدًا لاحقًا عند إدراج بوابات Pauli بينها.

# Separate circuit into layers
dag = circuit_to_dag(circ)
circ_layers = []
for layer in dag.layers():
    layer_as_circuit = dag_to_circuit(layer["graph"])
    circ_layers.append(layer_as_circuit)

# Create subplots
fig, (ax1, ax2, ax3, ax4, ax5) = plt.subplots(1, 5, figsize=(10, 4))

# Draw circuits on respective axes
circ_layers[0].draw(output="mpl", ax=ax1)
circ_layers[1].draw(output="mpl", ax=ax2)
circ_layers[2].draw(output="mpl", ax=ax3)
circ_layers[3].draw(output="mpl", ax=ax4)
circ_layers[4].draw(output="mpl", ax=ax5)

# Adjust layout to prevent overlap
plt.tight_layout()
plt.show()

الآن أصبحنا مستعدين لإضافة فحوصات Pauli المتماسكة إلى دائرة الحمولة. للقيام بذلك، نحتاج إلى بناء "فحص صالح" وإدراجه في الدائرة. "الفحص" في هذا السياق هو عامل قادر على الإشارة إلى ما إذا كان قد وقع خطأ في الدائرة عبر إجراء قياس على بت كمومي مساعد. يُعدّ الفحص صالحًا عندما لا تُغيّر العوامل الإضافية المدرجة في الدائرة الكمومية عملية الدائرة الأصلية منطقيًا.

هذا الفحص قادر على اكتشاف أنواع الأخطاء التي تتضاد معه، وسيؤدي الفحص إلى قياس حالة $\ket{1}$ في البت الكمومي المساعد بدلًا من $\ket{0}$ عبر آلية الركل بالطور. وبالتالي، سنتمكن من استبعاد القياسات التي أشير فيها إلى حدوث خطأ.

بوجه عام، فحوصات Pauli المتماسكة هي عوامل Pauli محكومة تُدرج في "الأسلاك" - أي المواقع الزمكانية بين البوابات. والبت الكمومي المساعد المسؤول عن الإشارة إلى الخطأ هو بت الكمومي للتحكم.

فيما يلي نبني فحصًا صالحًا لدائرة Clifford التي أنشأناها أعلاه. يمكننا إثبات أن هذا الفحص لا يغير عملية الدائرة بإظهار أنه عند نشر هذه الفحوصات إلى مقدمة الدائرة، فإنها تلغي بعضها بعضًا. يتضح هذا بسهولة لأن عامل Pauli عبر بوابة Clifford هو عامل Pauli آخر.

بوجه عام، يمكن للمرء استخدام اكتشاف إرشادي للفك كما هو موضح في [1] لتحديد الفحوصات الصالحة. لأغراض مثالنا الأولي، يمكننا أيضًا بناء فحوصات صالحة باستخدام شروط ضرب بوابات Pauli وClifford التحليلية.

# Define a valid check
pauli_1 = Pauli("ZI")
pauli_2 = Pauli("XZ")

circ_1 = circ_layers[0].compose(circ_layers[1])
circ_1.draw("mpl")

pauli_1_ev = pauli_1.evolve(circ_1, frame="h")
pauli_1_ev

Pauli('-ZI')

circ_2 = circ.copy()
circ_2.draw("mpl")

pauli_2_ev = pauli_2.evolve(circ_2, frame="h")
pauli_2_ev

Pauli('-ZI')

pauli_1_ev.dot(pauli_2_ev)

Pauli('II')

كما يتضح لنا، لدينا فحص صالح، إذ إن عوامل Pauli المدرجة تؤدي ببساطة نفس تأثير عامل الهوية على الدائرة. يمكننا الآن إدراج هذه الفحوصات في الدائرة مع بت كمومي مساعد. يبدأ هذا البت الكمومي المساعد، أو بت الفحص الكمومي، في حالة $\ket{+}$. ويتضمن الإصدارات المحكومة من عمليات Pauli الموضحة أعلاه، ويُقاس أخيرًا في الأساس $X$. أصبح بت الفحص الكمومي هذا قادرًا على التقاط الأخطاء في دائرة الحمولة دون تغييرها منطقيًا. ويعود ذلك إلى أن أنواعًا معينة من الضوضاء في دائرة الحمولة ستُعدّل حالة بت الفحص الكمومي، وسيُقاس بـ "1" بدلًا من "0" عند وقوع مثل هذا الخطأ.

# New circuit with 3 qubits (2 payload + 1 ancilla for check)
circ_meas = QuantumCircuit(3)
circ_meas.h(0)
circ_meas.compose(circ_layers[0], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[1], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 2)
circ_meas.compose(circ_layers[2], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[3], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[4], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 1)
circ_meas.cx(0, 2)
circ_meas.h(0)

# Add measurement to payload qubits
c0 = ClassicalRegister(2, name="c0")
circ_meas.add_register(c0)
circ_meas.measure(1, c0[0])
circ_meas.measure(2, c0[1])

# Add measurement to check qubit
c1 = ClassicalRegister(1, name="c1")
circ_meas.add_register(c1)
circ_meas.measure(0, c1[0])

# Visualize the final circuit with the inserted checks
circ_meas.draw("mpl")

إذا قُيس بت الفحص الكمومي بـ "0"، نحتفظ بذلك القياس. أما إذا قُيس بـ "1"، فهذا يعني أن خطأً وقع في دائرة الحمولة، وعندئذٍ نستبعد ذلك القياس.

# Noiseless simulation using stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(circ_meas, shots=1000).result()
counts_noiseless = res.get_counts()
print(f"Stabilizer simulation result: {counts_noiseless}")

Stabilizer simulation result: {'0 11': 523, '0 01': 477}

# Plot the noiseless results
# Note that the first bit in the key corresponds to the check qubit
plot_histogram(counts_noiseless)

لاحظ أنه في المحاكاة المثالية، لا يكتشف بت الفحص الكمومي أي أخطاء. الآن نُدخل نموذجًا للضوضاء إلى المحاكاة ونرى كيف يلتقط بت الفحص الكمومي الأخطاء.

# Qiskit Aer noise model
noise = NoiseModel()
p2 = 0.003  # two-qubit depolarizing per CZ
p1 = 0.001  # one-qubit depolarizing per 1q Clifford
pr = 0.01  # readout bit-flip probability

# 1q depolarizing on common 1q gates
e1 = depolarizing_error(p1, 1)
for g1 in ["id", "rz", "sx", "x", "h", "s"]:
    noise.add_all_qubit_quantum_error(e1, g1)

# 2q depolarizing on CZ
e2 = depolarizing_error(p2, 2)
noise.add_all_qubit_quantum_error(e2, "cz")

# Readout error on measure
ro = ReadoutError([[1 - pr, pr], [pr, 1 - pr]])
noise.add_all_qubit_readout_error(ro)

# Qiskit Aer simulation with noise model
aer = AerSimulator(method="automatic", seed_simulator=43210)
job = aer.run(circ_meas, shots=1000, noise_model=noise)
result = job.result()
counts_noisy = result.get_counts()
print(f"Noise model simulation result: {counts_noisy}")

Noise model simulation result: {'1 01': 5, '0 11': 478, '1 11': 6, '1 00': 2, '1 10': 1, '0 01': 500, '0 00': 5, '0 10': 3}

plot_histogram(counts_noisy)

كما يتضح لنا، التقطت بعض القياسات الخطأ برفع علامة بت الفحص الكمومي إلى "1"، وهي مرئية في الأعمدة الأربعة الأخيرة. تُستبعد هذه اللقطات. ملاحظة: يمكن أن يُدخل البت الكمومي المساعد أخطاءً جديدة إلى الدائرة. وللحد من تأثير ذلك، يمكننا إدراج فحوصات متداخلة مع بتات كمومية مساعدة إضافية في الدائرة الكمومية.

مثال من العالم الحقيقي: تحضير حالة GHZ على أجهزة حقيقية

الخطوة 1: تعيين المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمومية

نُظهر الآن مهمة مهمة لخوارزميات الحوسبة الكمومية، وهي تحضير حالة GHZ. سنوضح كيفية القيام بذلك على backend حقيقي باستخدام الكشف عن الأخطاء.

# Set optional seed for reproducibility
SEED = 1

if SEED:
    np.random.seed(SEED)

تحترم خوارزمية الكشف عن الأخطاء لتحضير حالة GHZ طبولوجيا الأجهزة. نبدأ باختيار الأجهزة المطلوبة.

# This is used to run on real hardware
service = QiskitRuntimeService()

# Choose a backend to build GHZ on
backend_name = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=133
)

backend = service.backend(backend_name)
coupling_map = backend.target.build_coupling_map()

تُعرَّف حالة GHZ على $n$ بتًا كموميًا بما يلي: $\lvert \mathrm{GHZ}_n\rangle \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\lvert 0\rangle^{\otimes n} \,+\, \lvert 1\rangle^{\otimes n}\Big).$

قد يكون النهج الساذج جدًا لتحضير حالة GHZ هو اختيار بت كمومي جذر مع بوابة Hadamard ابتدائية، مما يضع البت الكمومي في حالة تراكب متساوٍ، ثم تشبيك هذا البت الكمومي بكل البتات الأخرى. لكن هذا ليس نهجًا جيدًا، لأنه يستلزم تفاعلات CNOT طويلة المدى وعميقة. في هذا البرنامج التعليمي، سنستخدم تقنيات متعددة إلى جانب الكشف عن الأخطاء لتحضير حالة GHZ بشكل موثوق على أجهزة حقيقية.

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على الأجهزة الكمومية

تعيين حالة GHZ على الأجهزة

أولًا، نبحث عن جذر لتعيين دائرة GHZ على الأجهزة. نزيل الحواف/العقد التي تتجاوز فيها أخطاء CZ وأخطاء القياس وقيم T2 الحدودَ الدنيا التالية. لن تُدرج في دائرة GHZ.

def bad_cz(target, threshold=0.01):
    """Return list of edges whose CZ error is worse than threshold."""
    undirected_edges = []
    for edge in backend.target.build_coupling_map().get_edges():
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges
    cz_errors = {}
    for edge in edges:
        cz_errors[edge] = target["cz"][edge].error
    worst_edges = sorted(cz_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    return [list(edge) for edge, error in worst_edges if error > threshold]

def bad_readout(target, threshold=0.01):
    """Return list of nodes whose measurement error is worse than threshold."""
    meas_errors = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        meas_errors[node] = target["measure"][(node,)].error
    worst_nodes = sorted(
        meas_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True
    )
    return [node for node, error in worst_nodes if error > threshold]

def bad_coherence(target, threshold=60):
    """Return list of nodes whose T2 value is lower than threshold."""
    t2s = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        t2 = target.qubit_properties[node].t2
        t2s[node] = t2 * 1e6 if t2 else 0
    worst_nodes = sorted(t2s.items(), key=lambda x: x[1])
    return [node for node, val in worst_nodes if val < threshold]

THRESH_CZ = 0.025  # exclude from BFS those edges whose CZ error is worse than this threshold
THRESH_MEAS = 0.15  # exclude from BFS those nodes whose measurement error is worse than this threshold
THRESH_T2 = 10  # exclude from BFS those nodes whose T2 value is lower than this threshold

bad_edges = bad_cz(backend.target, threshold=THRESH_CZ)
bad_nodes_readout = bad_readout(backend.target, threshold=THRESH_MEAS)
dead_qubits = bad_readout(backend.target, threshold=0.4)
bad_nodes_coherence = bad_coherence(backend.target, threshold=THRESH_T2)
bad_nodes = list(set(bad_nodes_readout) | set(bad_nodes_coherence))
print(f"{len(bad_edges)} bad edges: \n{bad_edges}")
print(f"{len(bad_nodes)} bad nodes: \n{bad_nodes}")

17 bad edges:
[[30, 31], [112, 113], [113, 114], [113, 119], [120, 121], [130, 131], [145, 146], [146, 147], [111, 112], [55, 59], [64, 65], [131, 138], [131, 132], [119, 133], [129, 130], [47, 57], [29, 38]]
5 bad nodes:
[1, 113, 131, 146, 120]

باستخدام الدالة أدناه، نبني دائرة GHZ على الأجهزة المختارة بدءًا من الجذر وباستخدام البحث بالاتساع الأول (BFS).

def parallel_ghz(root, num_qubits, backend, bad_edges, skip):
    """
    Build a GHZ state of size `num_qubits` on the given `backend`,
    starting from `root`, expanding in BFS order.

    At each BFS layer, every active qubit adds at most one new neighbor
    (so that two-qubit operations can run in parallel with no qubit conflicts).

    It grows the entanglement tree outward layer-by-layer.
    """

    # -------------------------------------------------------------
    # (1) Filter usable connections from the backend coupling map
    # -------------------------------------------------------------
    # The coupling map lists all directed hardware connections as (control, target).
    # We remove edges that are:
    #   - listed in `bad_edges` (or their reversed form)
    #   - involve a qubit in the `skip` list
    cmap = backend.configuration().coupling_map
    edges = [
        e
        for e in cmap
        if e not in bad_edges
        and [e[1], e[0]] not in bad_edges
        and e[0] not in skip
        and e[1] not in skip
    ]

    # -------------------------------------------------------------
    # (2) Build an undirected adjacency list for traversal
    # -------------------------------------------------------------
    # Even though coupling_map edges are directed, BFS expansion just needs
    # connectivity information (so we treat edges as undirected for search).
    adj = defaultdict(list)
    for u, v in edges:


```python
    for u, v in edges:
        adj[u].append(v)
        adj[v].append(u)

    # -------------------------------------------------------------
    # (3) Initialize the quantum circuit and BFS state
    # -------------------------------------------------------------
    n = backend.configuration().num_qubits
    qc = QuantumCircuit(
        n
    )  # create a circuit with same number of qubits as hardware
    visited = [
        root
    ]  # record the order qubits are added to the GHZ chain/tree
    queue = deque([root])  # BFS queue (start from root)
    explored = defaultdict(
        set
    )  # to track which neighbors each node has already explored
    layers = []  # list of per-layer (control, target) gate tuples
    qc.h(root)  # GHZ states start with a Hadamard on the root qubit

    # -------------------------------------------------------------
    # (4) BFS expansion: build the GHZ tree one layer at a time
    # -------------------------------------------------------------
    # Loop until we've added the desired number of qubits to the GHZ
    while queue and len(visited) < num_qubits:
        layer = []  # collect new (control, target) pairs for this layer
        current = list(
            queue
        )  # snapshot current frontier (so queue mutations don't affect iteration)
        busy = (
            set()
        )  # track qubits already used in this layer (to avoid conflicts)

        for node in current:
            queue.popleft()

            # find one unvisited neighbor of this node not already explored
            unvisited_neighbors = [
                nb
                for nb in adj[node]
                if nb not in visited and nb not in explored[node]
            ]

            if unvisited_neighbors:
                nb = unvisited_neighbors[
                    0
                ]  # pick the first available neighbor
                visited.append(nb)  # mark it as part of the GHZ structure
                queue.append(
                    node
                )  # re-enqueue current node (can keep growing)
                queue.append(nb)  # enqueue the newly added qubit
                explored[node].add(nb)  # mark that edge as explored
                layer.append(
                    (node, nb)
                )  # schedule a CNOT between node and neighbor
                busy.update([node, nb])  # reserve both qubits for this layer

                # stop early if we've reached the desired number of qubits
                if len(visited) == num_qubits:
                    break
            # else: node has no unused unvisited neighbors left → skip

        if layer:
            # add all pairs (node, nb) scheduled this round to layers
            layers.append(layer)
        else:
            # nothing new discovered this pass → done
            break

    # -------------------------------------------------------------
    # (5) Emit all layers into the quantum circuit
    # -------------------------------------------------------------
    # For each layer:
    #   - apply a CX gate for every (control, target) pair
    #   - insert a barrier so transpiler keeps layer structure
    for layer in layers:
        for q1, q2 in layer:
            qc.cx(q1, q2)
        qc.barrier()

    # -------------------------------------------------------------
    # (6) Return outputs
    # -------------------------------------------------------------
    # qc: the built quantum circuit
    # visited: order of qubits added
    # layers: list of parallelizable two-qubit operations per step
    return qc, visited, layers

نقوم الآن بالبحث المتكرر عن أفضل جذر، وهو المنطلق الذي سينبثق منه دائرة GHZ.

ROOT = None  # root for BFS search
GHZ_SIZE = 100  # number of (data) qubits in the GHZ state
SKIP = []  # nodes to intentionally skip so that we have a better chance for finding checks

# Search for the best root (yielding the shallowest GHZ)
if ROOT is None:
    best_root = -1
    base_depth = 100
    for root in range(backend.num_qubits):
        qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
            root, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP
        )
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
        if depth < base_depth:
            best_root = root
            base_depth = depth
    ROOT = best_root

نقوم الآن ببناء دائرة GHZ انطلاقاً من عقدة محددة — وهي الجذر الأمثل — بحثاً عن أقصر عمق ممكن باستخدام البحث بالاتساع أولاً (breadth-first search).

# Build a GHZ starting at the best root
qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
    ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP + bad_nodes
)
base_depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
base_count = qc.size(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
print(f"base depth: {base_depth}, base count: {base_count}")
print(f"ROOT: {ROOT}")
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

base depth: 17, base count: 99
ROOT: 50

ثمة اعتبار أخير ينبغي مراعاته قبل إدراج الفحوصات الصحيحة، يتعلق بمفهوم "التغطية" (coverage)، وهو مقياس لعدد الأسلاك في الدائرة الكمومية التي يستطيع الفحص تغطيتها. فكلما ارتفعت التغطية، أمكن رصد الأخطاء على نطاق أوسع من الدائرة. وباستخدام هذا المقياس، يمكننا الاختيار من بين الفحوصات الصالحة التي تحقق أعلى تغطية ممكنة للدائرة. بمعنى آخر، سنستعين بالدالة weighted_coverage لتقييم الفحوصات المختلفة لدائرة GHZ.

def weighted_coverage(layers, parities, w_idle=0.2, w_gate=0.8):
    """
    Compute weighted fraction (idle + gate) of wires that are
    covered by at least one parity to all active wires.
    """
    wires = active_wires(layers)  # defined below
    covered_by_any = {n_layer: set() for n_layer in range(len(layers))}
    for parity in parities:
        trace = z_trace_backward(layers, parity)  # defined below
        for n_layer, qs in trace.items():
            covered_by_any[n_layer] |= qs
    covered_weight = 0
    total_weight = 0
    for n_layer in range(len(layers)):
        idle = wires[n_layer]["idle"]
        gate = wires[n_layer]["gate"]
        total_weight += w_idle * len(idle) + w_gate * len(gate)
        covered_idle = covered_by_any[n_layer] & idle
        covered_gate = covered_by_any[n_layer] & gate
        covered_weight += w_idle * len(covered_idle) + w_gate * len(
            covered_gate
        )
    return covered_weight / total_weight if total_weight > 0 else 0

def active_wires(layers):
    """
    Returns per-layer dict with two sets:
    - 'idle': activated wires that are idle in this layer
    - 'gate': activated wires that are control/target of a CNOT at this layer
    """
    first_activation = {}
    for n_layer, layer in enumerate(layers):
        for c, t in layer:
            first_activation.setdefault(c, n_layer)
            first_activation.setdefault(t, n_layer)
    result = {}
    for n_layer in range(len(layers)):
        active = {
            q
            for q, n_layer0 in first_activation.items()
            if n_layer >= n_layer0
        }
        gate = {q for c, t in layers[n_layer] for q in (c, t)}
        idle = active - gate
        result[n_layer] = {"idle": idle, "gate": gate}
    return result

def z_trace_backward(layers, initial_Zs):
    """
    Backward propagate Zs with parity cancellation.
    Returns {layer: set of qubits with odd parity Z at that layer}.
    """
    wires = active_wires(layers)
    support = set(initial_Zs)
    trace = {}
    for n_layer in range(len(layers) - 1, -1, -1):
        active = wires[n_layer]["idle"] | wires[n_layer]["gate"]
        trace[n_layer] = support & active
        # propagate backwards
        new_support = set()
        for q in support:
            hit = False
            for c, t in layers[n_layer]:
                if q == t:  # Z on target: copy to control
                    new_support ^= {t, c}  # toggle both
                    hit = True
                    break
                elif q == c:  # Z on control: passes through
                    new_support ^= {c}
                    hit = True
                    break
            if not hit:  # unaffected
                new_support ^= {q}
        support = new_support
    return trace

يمكننا الآن إدراج الفحوصات في دائرة GHZ. إن إيجاد فحوصات صالحة أمر ميسور جداً بالنسبة لحالة GHZ، إذ إن أي معامل باولي ثنائي الكيوبت $Z_i Z_j$ يعمل على أي كيوبتين $i,j$ من دائرة GHZ يشكّل دعماً صالحاً وبالتالي فحصاً صحيحاً.

تجدر الإشارة أيضاً إلى أن الفحوصات في هذه الحالة هي معاملات $Z$ خاضعة للتحكم (controlled-$Z$) مجاورة لبوابات Hadamard من اليسار واليمين على كيوبت المساعد (ancilla qubit)، وهو ما يكافئ بوابة CNOT مطبقة على كيوبت المساعد. يقوم الكود أدناه بإدراج هذه الفحوصات في الدائرة.

# --- Tunables controlling the search space / scoring ---
MAX_SKIPS = 10  # at most how many qubits to skip (in addition to the bad ones and the ones forced to skip above)
SHUFFLES = 200  # how many times to try removing nodes for checks
MAX_DEPTH_INCREASE = 10  # how far from the base GHZ depth to go to include checks (increase this for more checks at expense of depth)

W_IDLE = 0.2  # weight of errors to consider during idle timesteps
W_GATE = 0.8  # weight of errors to consider during gates

# Remove random nodes from the GHZ and build from the root again to increase checks
degree_two_nodes = [
    i
    for i in ghz_qubits
    if all(n in ghz_qubits for n in coupling_map.neighbors(i))
    and len(coupling_map.neighbors(i)) >= 2
]

# --- Best-so-far tracking for the randomized search ---
num_checks = 0
best_covered_fraction = -1
best_qc = qc
best_checks = []
best_parities = []
best_layers = []

# Outer loop: vary how many GHZ nodes we try skipping (0..MAX_SKIPS-1)
for num_skips in range(MAX_SKIPS):
    # Inner loop: try SHUFFLES random choices of 'num_skips' nodes to skip
    for _ in range(SHUFFLES):
        # Construct the skip set:
        #   - pre-existing forced SKIP
        #   - plus a random sample of 'degree_two_nodes' of size 'num_skips'
        skip = SKIP + list(np.random.choice(degree_two_nodes, num_skips))

        # Rebuild the GHZ using the current skip set and bad_nodes
        qc, ghz_qubits, layers = parallel_ghz(
            ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, skip + bad_nodes
        )

        # Measure circuit cost as 2-qubit-gate depth only
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)

        # If we failed to reach the target GHZ size, discard this attempt
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue

        # --- Build "checks" around the GHZ we just constructed ---
        # A check qubit is a non-GHZ, non-dead qubit that has ≥2 neighbors inside the GHZ
        # and all those incident edges are usable (i.e., not in bad_edges).
        checks = []
        parities = []
        for i in range(backend.num_qubits):
            neighbors = [
                n for n in coupling_map.neighbors(i) if n in ghz_qubits
            ]

            if (
                i not in ghz_qubits
                and i not in dead_qubits
                and len(neighbors) >= 2
                and not any(
                    [
                        [neighbor, i] in bad_edges
                        or [i, neighbor] in bad_edges
                        for neighbor in neighbors
                    ]
                )
            ):
                # Record this qubit as a check qubit
                checks.append(i)
                parities.append((neighbors[0], neighbors[1]))
                # Physically couple the check qubit 'i' to the two GHZ neighbors via CNOTs
                # (This is the actual "check" attachment in the circuit.)
                qc.cx(neighbors[0], i)
                qc.cx(neighbors[1], i)

        # Score this design using the weighted coverage metric over the GHZ build layers
        covered_fraction = weighted_coverage(
            layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
        )

        # Keep it only if:
        #   - coverage improves over the best so far, AND
        #   - the 2q depth budget isn't blown by more than MAX_DEPTH_INCREASE
        if (
            covered_fraction > best_covered_fraction
            and depth <= base_depth + MAX_DEPTH_INCREASE
        ):
            best_covered_fraction = covered_fraction
            best_qc = qc
            best_ghz_qubits = ghz_qubits
            best_checks = checks
            best_parities = parities
            best_layers = layers

يمكننا الآن طباعة الكيوبتات المستخدمة في دائرة GHZ وكيوبتات الفحص.

# --- After search, report the best design found ---
qc = best_qc
checks = best_checks
parities = best_parities
layers = best_layers
ghz_qubits = best_ghz_qubits
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

print(f"GHZ qubits: {ghz_qubits} {len(ghz_qubits)}")
print(f"Check qubits: {checks} {len(checks)}")

covered_fraction = weighted_coverage(
    layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
)
print(
    "Covered fraction (no idle): ",
    weighted_coverage(
        layers=layers, parities=parities, w_idle=0.0, w_gate=1.0
    ),
)

GHZ qubits: [50, 49, 51, 38, 52, 48, 58, 53, 47, 71, 39, 46, 70, 54, 33, 45, 72, 69, 55, 32, 37, 73, 68, 34, 31, 44, 25, 74, 78, 67, 18, 24, 79, 75, 89, 57, 11, 23, 93, 59, 88, 66, 10, 22, 92, 90, 87, 65, 12, 9, 21, 94, 91, 86, 77, 13, 8, 20, 95, 98, 97, 14, 7, 36, 99, 111, 107, 15, 6, 41, 115, 110, 106, 19, 17, 5, 40, 114, 109, 108, 105, 27, 4, 42, 118, 104, 28, 3, 129, 117, 103, 29, 2, 128, 125, 96, 30, 127, 124, 102] 100
Check qubits: [16, 26, 35, 43, 85, 126] 6
Covered fraction (no idle):  0.4595959595959596

يمكننا أيضاً طباعة بعض إحصائيات الخطأ.

def circuit_errors(target, circ, error_type="cz"):
    """
    Pull per-resource error numbers from a Qiskit Target
    for ONLY the qubits/edges actually used by `circ`.

    Args:
        target: qiskit.transpiler.Target (e.g., backend.target)
        circ:   qiskit.QuantumCircuit
        error_type: one of {"cz", "meas", "t1", "t2"}:
            - "cz"   -> 2q CZ gate error on the circuit's used edges
            - "meas" -> measurement error on the circuit's used qubits
            - "t1"   -> T1 (converted to microseconds) on used qubits
            - "t2"   -> T2 (converted to microseconds) on used qubits

    Returns:
        list[float] of the requested quantity for the active edges/qubits.
    """

    # Get all 2-qubit edges that appear in the circuit (as undirected pairs).
    active_edges = active_gates(circ)  # e.g., {(0,1), (2,3), ...}

    # Intersect those with the device coupling map (so we only query valid edges).
    # Note: target.build_coupling_map().get_edges() yields directed pairs.
    edges = [
        edge
        for edge in target.build_coupling_map().get_edges()
        if tuple(sorted(edge)) in active_edges
    ]

    # Deduplicate direction: keep only one orientation of each edge.
    undirected_edges = []
    for edge in edges:
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges  # (not used later—see note below)

    # Accumulators for different error/physics quantities
    cz_errors, meas_errors, t1_errors, t2_errors = [], [], [], []

    # For every active (undirected) edge in the circuit, fetch its CZ error.
    # NOTE: Uses active_gates(circ) again (undirected tuples). This assumes
    # `target['cz']` accepts undirected indexing; many Targets store both directions.
    for edge in active_gates(circ):
        cz_errors.append(target["cz"][edge].error)

    # For every active qubit, fetch measure error and T1/T2 (converted to µs).
    for qubit in active_qubits(circ):
        meas_errors.append(target["measure"][(qubit,)].error)
        t1_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t1 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds
        t2_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t2 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds

        )  # seconds -> microseconds
        t2_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t2 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds

    # Select which set to return.
    if error_type == "cz":
        return cz_errors
    elif error_type == "meas":
        return meas_errors
    elif error_type == "t1":
        return t1_errors
    else:
        return t2_errors

def active_qubits(circ):
    """
    Return a list of qubit indices that participate in at least one
    non-delay, non-barrier instruction in `circ`.
    """
    active_qubits = set()
    for inst in circ.data:
        # Skip scheduling artifacts that don't act on state
        if (
            inst.operation.name != "delay"
            and inst.operation.name != "barrier"
        ):
            for qubit in inst.qubits:
                q = circ.find_bit(
                    qubit
                ).index  # map Qubit object -> integer index
                active_qubits.add(q)
    return list(active_qubits)

def active_gates(circ):
    """
    Return a set of undirected 2-qubit edges (i, j) that appear in `circ`.
    """
    used_2q_gates = set()
    for inst in circ:
        if inst.operation.num_qubits == 2:
            qs = inst.qubits
            # map Qubit objects -> indices, then sort to make the edge undirected
            qs = sorted([circ.find_bit(q).index for q in qs])
            used_2q_gates.add(tuple(sorted(qs)))
    return used_2q_gates

# ---- Print summary statistics ----
cz_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="cz")
meas_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="meas")
t1_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t1")
t2_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t2")

np.set_printoptions(linewidth=np.inf)
print(
    f"cz errors: \n mean: {np.round(np.mean(cz_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(cz_errors), 3)}"
)
print(
    f"meas errors: \n mean: {np.round(np.mean(meas_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(meas_errors), 3)}"
)
print(
    f"t1 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t1_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t1_errors), 1)}"
)
print(
    f"t2 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t2_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t2_errors), 1)}"
)

cz errors:
 mean: 0.002, max: 0.012
meas errors:
 mean: 0.014, max: 0.121
t1 errors:
 mean: 267.9, min: 23.6
t2 errors:
 mean: 155.9, min: 13.9

كما في السابق، يمكننا محاكاة الدائرة أولاً في غياب الضوضاء للتحقق من صحة دائرة تحضير حالة GHZ.

# --- Simulate to ensure correctness ---

qc_meas = qc.copy()

# Add measurements to the GHZ qubits
c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
qc_meas.add_register(c1)
for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
    qc_meas.measure(q, c)

# Add measurements to the check qubits
if len(checks) > 0:
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc_meas.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc_meas.measure(q, c)

# Simulate the circuit with stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(qc_meas, shots=1000).result()
counts = res.get_counts()
print("Stabilizer simulation result:")
print(counts)

# Rename keys to "0 0" and "0 1" for easier plotting
# First len(checks) bits are check bits, rest are GHZ bits
keys = list(counts.keys())
for key in keys:
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[(len(checks) + 1) :]
    if set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"0"}:
        counts["0 0"] = counts.pop(key)
    elif set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"1"}:
        counts["0 1"] = counts.pop(key)
    else:
        continue

plot_histogram(counts)

Stabilizer simulation result:
{'000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111': 525, '000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000': 475}

كما هو متوقع، تُقاس qubits الفحص جميعها بالقيمة صفر، وقد نجحنا في تحضير حالة GHZ.

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

أصبحنا الآن مستعدين لتشغيل الدائرة على عتاد حقيقي وإثبات كيف يمكن لبروتوكول الكشف عن الأخطاء أن يرصد الأخطاء في تحضير حالة GHZ.

BAD_QUBITS = []  # specify any additional bad qubits to avoid (this is specific to the chosen backend)
SHOTS = 10000  # number of shots

نُعرِّف دالة مساعدة لإضافة القياسات إلى دائرة GHZ.

def add_measurements(qc, ghz_qubits, checks):
    # --- Measure each set of qubits into different classical registers to facilitate post-processing ---

    # Add measurements to the GHZ qubits
    c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
    qc.add_register(c1)
    for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
        qc.measure(q, c)

    # Add measurements to the check qubits
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc.measure(q, c)

    return qc

قبل التنفيذ، نرسم تخطيط qubits الخاصة بـ GHZ وqubits الفحص على العتاد المختار.

# Plot the layout of GHZ and check qubits on the device
plot_gate_map(
    backend,
    label_qubits=True,
    line_width=20,
    line_color=[
        "black"
        if edge[0] in ghz_qubits + checks and edge[1] in ghz_qubits + checks
        else "lightgrey"
        for edge in backend.coupling_map.graph.edge_list()
    ],
    qubit_color=[
        "blue"
        if i in ghz_qubits
        else "salmon"
        if i in checks
        else "lightgrey"
        for i in range(0, backend.num_qubits)
    ],
)
plt.show()

qc.draw("mpl", idle_wires=False, fold=-1)

نُضيف القياسات الآن.

qc = add_measurements(qc, ghz_qubits, checks)

تعمل خط أنابيب الجدولة أدناه على تثبيت التوقيت، وإزالة الحواجز، وتبسيط التأخيرات، وحقن الـ dynamical decoupling، مع الحفاظ على أوقات العمليات الأصلية.

# The scheduling consists of first inserting delays while barriers are still there
# Then removing the barriers and consolidating the delays, so that the operations do not move in time
# Lastly we replace delays with dynamical decoupling
collect_function = partial(
    collect_using_filter_function,
    filter_function=(lambda node: node.op.name == "delay"),
    split_blocks=True,
    min_block_size=2,
    split_layers=False,
    collect_from_back=False,
    max_block_width=None,
)

collapse_function = partial(
    collapse_to_operation,
    collapse_function=(
        lambda circ: Delay(sum(inst.operation.duration for inst in circ))
    ),
)

class Unschedule(AnalysisPass):
    """Removes a property from the passmanager property set so that the circuit looks unscheduled, so we can schedule it again."""

    def run(self, dag):
        del self.property_set["node_start_time"]

def build_passmanager(backend, dd_qubits=None):
    pm = generate_preset_pass_manager(
        target=backend.target,
        layout_method="trivial",
        optimization_level=2,
        routing_method="none",
    )

    pm.scheduling = PassManager(
        [
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDelay(target=backend.target),
            RemoveBarriers(),
            Unschedule(),
            CollectAndCollapse(
                collect_function=collect_function,
                collapse_function=collapse_function,
            ),
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDynamicalDecoupling(
                dd_sequence=[XGate(), RZGate(-np.pi), XGate(), RZGate(np.pi)],
                spacing=[1 / 4, 1 / 2, 0, 0, 1 / 4],
                target=backend.target,
                qubits=dd_qubits,
            ),
        ]
    )

    return pm

يمكننا الآن استخدام مدير التمريرات المخصص لتحويل الدائرة إلى الصيغة المناسبة للعتاد المختار.

# Transpile the circuits for the backend
pm = build_passmanager(backend, ghz_qubits)

# Instruction set architecture (ISA) level circuit after scheduling and DD insertion
 isa_circuit = pm.run(qc)

# Draw after scheduling and DD insertion
# timeline_drawer(isa_circuit, show_idle=False, time_range=(0, 1000), target=backend.target)

 isa_circuit.draw("mpl", fold=-1, idle_wires=False)

نُرسل المهمة بعد ذلك باستخدام Qiskit Runtime Sampler primitive.

# Select the sampler options
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = SHOTS
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = False
sampler.options.execution.rep_delay = 0.00025

# Submit the job
print("Submitting sampler job")
ghz_job = sampler.run([isa_circuit])

print(ghz_job.job_id())

d493f17nmdfs73abf9qg

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة بالتنسيق الكلاسيكي المطلوب

يمكننا الآن استرداد وتحليل النتائج من مهمة Sampler.

# Retrieve the job results
job_result = ghz_job.result()

# Get the counts from GHZ and check qubit measurements
ghz_counts = job_result[0].data.c1.get_counts()
checks_counts = job_result[0].data.c2.get_counts()

# Post-process to get unflagged GHZ counts (i.e., check bits are all '0')
joined_counts = job_result[0].join_data().get_counts()
unflagged_counts = {}
for key, count in joined_counts.items():
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[len(checks) :]
    if set(check_bits) == {"0"}:
        unflagged_counts[ghz_bits] = count

# Get top 20 outcomes by frequency from the unflagged counts
top_counts = dict(
    sorted(unflagged_counts.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)[:20]
)

# Rename keys for better visualization
top_counts_renamed = {}
i = 0
for key, count in top_counts.items():
    if set(key) == {"0"}:
        top_counts_renamed["all 0s"] = count
    elif set(key) == {"1"}:
        top_counts_renamed["all 1s"] = count
    else:
        top_counts_renamed[f"other_{i}"] = count
        i += 1

plot_histogram(top_counts_renamed, figsize=(12, 7))

في الرسم البياني أعلاه، رسمنا 20 قياساً لسلاسل البت من qubits الخاصة بـ GHZ التي لم تُعلَّم بواسطة qubits الفحص. كما هو متوقع، تحتل سلاسل البت المكونة من أصفار كاملة وأحاد كاملة أعلى التكرارات. لاحظ أن بعض سلاسل البت الخاطئة ذات أوزان الأخطاء المنخفضة لم يُلتقَط بها الكشف عن الأخطاء. ولا تزال أعلى التكرارات موجودة في سلاسل البت المتوقعة.

المناقشة

في هذا البرنامج التعليمي، أوضحنا كيفية تنفيذ تقنية كشف عن الأخطاء منخفضة التكلفة باستخدام spacetime codes، وأثبتنا تطبيقها العملي في تحضير حالات GHZ على العتاد الحقيقي. ارجع إلى [3] لاستكشاف التفاصيل التقنية لتحضير حالة GHZ بمزيد من العمق. إضافةً إلى الكشف عن الأخطاء، يستخدم المؤلفون تقنية تخفيف أخطاء القراءة مع M3 وTREX، ويُطبِّقون تقنيات الـ temporary uncomputation لتحضير حالات GHZ عالية الدقة.

المراجع

• [1] Martiel, S., & Javadi-Abhari, A. (2025). Low-overhead error detection with spacetime codes. arXiv preprint arXiv:2504.15725.
• [2] van den Berg, E., Bravyi, S., Gambetta, J. M., Jurcevic, P., Maslov, D., & Temme, K. (2023). Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks. Physical Review Research, 5(3), 033193.