عائلات الرموز الأخرى

مضى أكثر من 25 عامًا منذ اكتشاف الرمز الطوري (toric code)، وشهد هذا المجال قدرًا كبيرًا من البحث في رموز تصحيح الأخطاء الكمومية، بما في ذلك اكتشاف رموز كمومية طوبولوجية أخرى مستلهَمة من الرمز الطوري، فضلًا عن رموز تستند إلى أفكار مغايرة. سيكون من المستحيل إدراج قائمة شاملة بجميع تراكيب رموز تصحيح الأخطاء الكمومية المعروفة هنا — لكننا سنُلقي نظرة سريعة على مثالَين بارزَين.

رموز السطح

في الواقع، ليس من الضروري أن يكون للرمز الطوري حدود دورية. أي يمكن قطع جزء فقط من الرمز الطوري وفرده مسطحًا على سطح ثنائي الأبعاد بدلًا من طارة (torus)، للحصول على رمز تصحيح أخطاء كمومي — شريطة تعريف منشئات المثبّت (stabilizer generators) على الحواف بصورة صحيحة. ما نحصل عليه يُسمى رمز السطح (surface code).

على سبيل المثال، إليك مخطط لرمز سطح، حيث يُقطع الشبكة بما يُسمى الحواف الخشنة في الأعلى والأسفل والحواف الناعمة على الجانبين. تُعرَّف حالات الحافة لمنشئات المثبّت بالطريقة الطبيعية، وهي أن عمليات باولي على الكيوبتات "المفقودة" تُحذف ببساطة.

تُشفِّر رموز السطح بهذا الشكل كيوبتًا واحدًا، لا اثنين كما يفعل الرمز الطوري. تُكوِّن منشئات المثبّت مجموعة توليد دنيا في هذه الحالة دون الحاجة إلى حذف واحد من كل نوع كما هو الحال مع الرمز الطوري. لكن رغم هذه الاختلافات، تُوْرَث الخصائص المهمة للرمز الطوري. على وجه الخصوص، تقابل الأخطاء غير المكتشَفة غير الضئيلة لهذا الرمز سلاسل أخطاء إما تمتد من الحافة اليسرى إلى الحافة اليمنى (لسلاسل أخطاء $X$) أو من الأعلى إلى الأسفل (لسلاسل أخطاء $Z$).

من الممكن أيضًا قطع حواف رمز السطح بشكل قطري للحصول على ما يُسمى أحيانًا رموز سطح مُدارة (rotated surface codes)، التي سُمِّيت كذلك ليس لأن الرموز نفسها مُدارة بأي معنى ذي دلالة، بل لأن المخططات مُدارة (بمقدار 45 درجة). إليك مثلًا مخطط رمز سطح مُدار بمسافة 5.

في هذا النوع من المخططات، تُشير البلاطات السوداء (بما فيها المُقوَّسة على الحواف) إلى منشئات مثبّت $X$، حيث تُطبَّق عمليات $X$ على رؤوس كل بلاطة (اثنين أو أربعة)، فيما تُمثِّل البلاطات البيضاء منشئات مثبّت $Z$. تتمتع رموز السطح المُدارة بخصائص مشابهة لرموز السطح (غير المُدارة)، لكنها أكثر اقتصادية من حيث عدد الكيوبتات المستخدمة.

رموز الألوان

رموز الألوان هي فئة أخرى مثيرة من الرموز، وتندرج هي الأخرى ضمن الفئة العامة للرموز الكمومية الطوبولوجية. سنكتفي بوصف موجز لها هنا.

إحدى طرق التفكير في رموز الألوان هي النظر إليها كتعميمات هندسية لرمز Steane ذي الـ 7-كيوبت. مع هذا في الاعتبار، لنتأمل رمز Steane ذي الـ 7-كيوبت مجددًا، ولنفترض أن الكيوبتات السبعة مُسمَّاة ومُرتَّبة وفق اتفاقية ترقيم Qiskit: $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ تذكّر أن منشئات المثبّت لهذا الرمز هي كالتالي:

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

إذا ربطنا هذه الكيوبتات السبعة برؤوس الرسم البياني التالي، وجدنا أن منشئات المثبّت تتطابق تمامًا مع الوجوه التي تُكوِّنها حواف الرسم البياني.

أي لكل وجه يوجد منشئ مثبّت $Z$ ومنشئ مثبّت $X$ يعملان بصورة غير ضئيلة على الكيوبتات الموجودة في رؤوس ذلك الوجه. يمتلك رمز Steane ذو الـ 7-كيوبت إذن محليةً هندسية، مما يعني من حيث المبدأ أنه ليس ضروريًا تحريك الكيوبتات عبر مسافات كبيرة لقياس منشئات المثبّت. حقيقة أن منشئات المثبّت $Z$ و $X$ تعمل دائمًا بصورة غير ضئيلة على نفس المجموعات من الكيوبتات تحديدًا هي أيضًا ميزة ترتبط بأسباب تتعلق بالحوسبة الكمومية المتسامحة مع الأخطاء، وهو موضوع الدرس القادم.

رموز الألوان هي رموز تصحيح أخطاء كمومية (رموز CSS بدقة أكبر) تُعمِّم هذا النمط الأساسي، غير أن الرسوم البيانية الكامنة قد تكون مختلفة. على سبيل المثال، إليك رسم بياني بـ 19 رأسًا يعمل بشكل صحيح. يُعرِّف رمزًا يُشفِّر كيوبتًا واحدًا في 19 كيوبت وله مسافة 5 (أي أنه رمز مثبّت من النوع $[[19,1,5]]$).

يمكن تطبيق هذا على رسوم بيانية أخرى كثيرة، بما فيها عائلات من الرسوم البيانية التي تنمو في الحجم ولها هياكل مثيرة للاهتمام.

سُمِّيت رموز الألوان بهذا الاسم لأن أحد الشروط المطلوبة على الرسوم البيانية التي تُعرِّفها هو إمكانية تلوين وجوهها بثلاثة ألوان، بمعنى أن يُعيَّن لكل وجه أحد ثلاثة ألوان بحيث لا يتشارك وجهان من اللون نفسه في حافة مشتركة (كما هو موضح في المخطط السابق). الألوان نفسها لا أهمية لها في تعريف الرمز ذاته — إذ يوجد دائمًا منشئا مثبّت $Z$ و $X$ لكل وجه بصرف النظر عن لونه — لكن الألوان مهمة لتحليل كيفية عمل هذه الرموز.

رموز أخرى

تصحيح الأخطاء الكمومية مجال بحثي نشط يتطور بسرعة. من يرغب في التعمق أكثر قد يجد فائدة في الرجوع إلى Error Correction Zoo، الذي يُدرج أمثلة وتصنيفات عديدة لرموز تصحيح الأخطاء الكمومية.

مثال: الرمز الغليظ (Gross code)

الرمز الغليظ (gross code) هو رمز مثبّت من النوع $[[144,12,12]]$ اكتُشف مؤخرًا. يشبه الرمز الطوري، إلا أن كل منشئ مثبّت يعمل بصورة غير ضئيلة على كيوبتين إضافيتين أبعد قليلًا عن البلاطة أو الرأس الخاص بذلك المنشئ (لذا يكون وزن كل منشئ مثبّت 6). ميزة هذا الرمز أنه يستطيع تشفير 12 كيوبتًا، مقارنةً باثنين فقط في الرمز الطوري.