نظرية العتبة

الموضوع الأخير في هذا الدرس هو نظرية بالغة الأهمية تُعرف بـنظرية العتبة. في ما يلي صياغة غير رسمية نوعًا ما لهذه النظرية.

نظرية

نظرية العتبة: يمكن تنفيذ دائرة كمومية ذات حجم $N$ بدقة عالية من خلال دائرة كمومية مشوشة، شريطة أن يكون احتمال الخطأ في كل موقع في الدائرة المشوشة أقل من قيمة عتبة ثابتة وغير معدومة $p_{\text{th}} > 0.$ ويتناسب حجم الدائرة المشوشة بحسب $O(N \log^c(N))$ لثابت موجب $c.$

بعبارة بسيطة، تقول هذه النظرية إنه إذا كان لدينا أي دائرة كمومية تضم $N$ بوابة، حيث يمكن أن يكون $N$ كبيرًا بأي قدر نشاء، فبالإمكان تنفيذ تلك الدائرة بدقة عالية باستخدام دائرة كمومية مشوشة، شريطة أن يكون مستوى الضوضاء أقل من قيمة عتبة معينة مستقلة عن N. علاوة على ذلك، لا تكون التكلفة باهظة، بمعنى أن حجم الدائرة المشوشة اللازمة يكون من رتبة $N$ مضروبًا في قوة ثابتة من لوغاريتم $N$.

لا بد من تحديد نموذج الضوضاء لصياغة النظرية بشكل أكثر دقة، وهو ما لن يُتناول في هذا الدرس. يمكن إثباتها مثلًا لنموذج الضوضاء العشوائية المستقلة الذي أُشير إليه سابقًا، حيث تحدث الأخطاء بشكل مستقل في كل موقع محتمل في الدائرة باحتمال أصغر بدقة من قيمة العتبة، لكن يمكن إثباتها أيضًا لنماذج ضوضاء أكثر عمومية حيث قد توجد ارتباطات بين الأخطاء.

هذه نتيجة نظرية، وأكثر طرق إثباتها شيوعًا لا تُترجم بالضرورة إلى نهج عملي، إلا أنها تحمل أهمية عملية كبيرة. تحديدًا، تثبت أنه لا توجد عقبة أساسية أمام تنفيذ الحسابات الكمومية باستخدام مكونات مشوشة؛ فطالما أن معدل الخطأ لهذه المكونات أقل من قيمة العتبة، يمكن استخدامها لبناء دوائر كمومية موثوقة ذات حجم تعسفي. وثمة طريقة أخرى للتعبير عن أهميتها: لو أن النظرية لم تكن صحيحة، لكان من الصعب تخيّل أن تصبح الحوسبة الكمومية على نطاق واسع واقعًا.

ثمة تفاصيل تقنية كثيرة في الإثباتات الرسمية لهذه النظرية (بصياغاتها الرسمية)، ولن تُعالج هنا — لكن يمكن شرح الأفكار الجوهرية على المستوى الحدسي. لجعل هذا الشرح بسيطًا قدر الإمكان، لنتخيل أننا نستخدم كود Steane ذا $7$ كيوبتات لتصحيح الأخطاء. هذا الاختيار سيكون غير عملي لتنفيذ فيزيائي فعلي — وهو ما يظهر في قيمة عتبة $p_{\text{th}}$ ضئيلة جدًا — لكنه يفيد في إيصال الأفكار الرئيسية. وسيكون هذا الشرح متساهلًا إلى حد ما بشأن نموذج الضوضاء، بافتراض أن خطأً يضرب كل موقع في التنفيذ المتسامح مع الأخطاء باستقلالية باحتمال $p$.

الآن، إذا كان الاحتمال $p$ أكبر من مقلوب $N$، حجم الدائرة التي نريد تنفيذها، فمن المرجح جدًا أن يقع خطأ ما في مكان ما. لذا، يمكننا محاولة تشغيل تنفيذ متسامح مع الأخطاء لهذه الدائرة، وفق الوصفة الموضحة في الدرس. يمكننا حينئذ أن نطرح على أنفسنا السؤال الذي اقتُرح سابقًا: هل هذا يُحسّن الأمور أم يُسوّئها؟

إذا كان احتمال $p$ للخطأ في كل موقع كبيرًا جدًا، فلن تُجدي جهودنا نفعًا وقد تُفاقم الأمور، تمامًا كما أن كود Shor ذا $9$ كيوبتات لا يُفيد إذا كان احتمال الخطأ فوق 3.23% تقريبًا. بخاصة، أن التنفيذ المتسامح مع الأخطاء أكبر بكثير من الدائرة الأصلية، لذا ثمة مواقع أكثر بكثير يمكن أن تقع فيها الأخطاء.

لكن إذا كان $p$ صغيرًا بما يكفي، فسننجح في تقليل احتمال الخطأ في الحساب المنطقي الذي نُجريه. (في إثبات رسمي، سنحتاج إلى الحذر الشديد في هذه النقطة: الأخطاء في الحساب المنطقي لن تُوصَف بالضرورة بدقة من خلال نموذج الضوضاء الأصلي. هذا في الحقيقة يدفع نحو نماذج ضوضاء أقل تسامحًا حيث قد لا تكون الأخطاء مستقلة — لكننا سنتجاهل هذه التفصيلة من أجل هذا الشرح.)

بتفصيل أكثر، لكي يحدث خطأ منطقي في الدائرة الأصلية، لا بد أن يقع خطآن على الأقل في كتلة الكود نفسها في التنفيذ المتسامح مع الأخطاء، نظرًا لأن كود Steane يمكنه تصحيح أي خطأ منفرد في كتلة الكود. مع مراعاة أن هناك طرقًا عديدة لوقوع خطأين أو أكثر في كتلة الكود نفسها، يمكن الاستدلال بأن احتمال الخطأ المنطقي في كل موقع من الدائرة الأصلية محدود بـ$C p^2$ لعدد حقيقي موجب ثابت $C$ يعتمد على الكود والأدوات المستخدمة، لكنه لا يعتمد بشكل حاسم على $N$، حجم الدائرة الأصلية. إذا كان $p$ أصغر من $1/C$، وهو الرقم الذي يمكننا اعتباره قيمة العتبة $p_{\text{th}}$، فهذا يعني انخفاضًا في معدل الخطأ.

لكن هذا المعدل الجديد للأخطاء قد يكون لا يزال مرتفعًا جدًا لضمان عمل الدائرة بأكملها بشكل صحيح. الشيء الطبيعي في هذه المرحلة هو اختيار كود أفضل وأدوات أفضل لتخفيض معدل الخطأ إلى مستوى يجعل التنفيذ يعمل على الأرجح. من الناحية النظرية، طريقة بسيطة للاستدلال على إمكانية ذلك هي التسلسل. بمعنى آخر، يمكننا التفكير في التنفيذ المتسامح مع الأخطاء للدائرة الأصلية كأنه أي دائرة كمومية أخرى، ثم تنفيذ هذه الدائرة الجديدة بطريقة متسامحة مع الأخطاء، باستخدام المخطط نفسه. يمكننا بعد ذلك تكرار ذلك مرارًا وتكرارًا، بقدر ما نحتاج لتقليل معدل الخطأ إلى مستوى يسمح للحساب الأصلي بالعمل.

للحصول على فكرة تقريبية عن كيفية انخفاض معدل الخطأ عبر هذه الطريقة، لنأخذ بضع تكرارات. لاحظ أن التحليل الدقيق سيحتاج إلى مراعاة تفاصيل تقنية مختلفة نتجاهلها هنا.

نبدأ باحتمال الخطأ $p$ في مواقع الدائرة الأصلية. بافتراض $p < p_{\text{th}} = 1/C$، يمكن تقييد معدل الخطأ المنطقي بـ$Cp^2 = (Cp) p$ بعد التكرار الأول. بمعاملة التنفيذ المتسامح مع الأخطاء كأي دائرة أخرى، وتنفيذه بطريقة متسامحة مع الأخطاء، نحصل على تقدير لمعدل الخطأ المنطقي:

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

تكرار آخر يقلل الحد أكثر، إلى:

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

الاستمرار بهذا النهج لمجموع $k$ تكرارات يعطي معدل خطأ منطقي (للدائرة الأصلية) محدودًا بـ:

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

وهو ضعف الأس في $k$.

هذا يعني أننا لا نحتاج إلى كثير من التكرارات لجعل معدل الخطأ صغيرًا للغاية. في الوقت ذاته، تتزايد الدوائر في الحجم مع كل مستوى من مستويات التسلسل، لكن الحجم يزداد بـأس واحد فقط بعدد المستويات $k$. ذلك لأن مع كل مستوى من مستويات التسامح مع الأخطاء، يزداد الحجم بعامل لا يتجاوز الحجم الأقصى للأدوات المستخدمة. حين تُجمع كل هذه العناصر، ويُختار عدد مناسب لمستويات التسلسل، نحصل على نظرية العتبة.

إذن، ما هي قيمة العتبة في الواقع؟ تعتمد الإجابة على الكود والأدوات المستخدمة. بالنسبة لكود Steane مع تقطير حالة السحر، تكون ضئيلة جدًا ويُستبعد على الأرجح تحقيقها عمليًا. لكن باستخدام الأكواد السطحية وأحدث الأدوات، قُدّرت العتبة بما يتراوح بين 0.1% و1%.

مع اكتشاف أكواد وطرق جديدة، من المعقول توقع ارتفاع قيمة العتبة، بينما سينخفض مستوى الضوضاء في المكونات الفيزيائية الفعلية في الوقت نفسه. الوصول إلى النقطة التي يمكن فيها تنفيذ الحسابات الكمومية على نطاق واسع بصورة متسامحة مع الأخطاء لن يكون سهلًا، ولن يحدث بين عشية وضحاها. لكن هذه النظرية، إلى جانب التقدم في الأكواد الكمومية والأجهزة الكمومية، تمنحنا التفاؤل بينما نواصل المضي قُدمًا نحو الهدف النهائي المتمثل في بناء حاسوب كمومي كبير الحجم ومتسامح مع الأخطاء.

استطلاع ما بعد الدورة

تهانينا على إتمام هذه الدورة! يُرجى تخصيص لحظة لمساعدتنا في تحسين دورتنا من خلال ملء الاستطلاع السريع التالي. ستُستخدم ملاحظاتك لتحسين محتوانا وتجربة المستخدم. شكرًا!