نظرية العتبة

الموضوع الأخير للنقاش في هذا الدرس هو مبرهنة مهمة جدًا تُعرف باسم مبرهنة العتبة. إليك بيانًا غير رسمي إلى حد ما لهذه المبرهنة.

مبرهنة

مبرهنة العتبة: يمكن تنفيذ دائرة كمومية ذات حجم $N$ بدقة عالية بواسطة دائرة كمومية مشوشة، بشرط أن يكون احتمال الخطأ عند كل موضع في الدائرة المشوشة أقل من قيمة عتبة ثابتة غير صفرية $p_{\text{th}} > 0$. يتوسع حجم الدائرة المشوشة كـ $O(N \log^c(N))$ لثابت موجب $c$.

بعبارات بسيطة، تنص المبرهنة على أنه إذا كان لدينا أي دائرة كمومية بها $N$ بوابة، حيث يمكن أن يكون $N$ كبيرًا كما نريد، فمن الممكن تنفيذ تلك الدائرة بدقة عالية باستخدام دائرة كمومية مشوشة، بشرط أن يكون مستوى الضجيج أقل من قيمة عتبة معينة مستقلة عن N. علاوة على ذلك، ليس من المكلف جدًا القيام بذلك، بمعنى أن حجم الدائرة المشوشة المطلوبة يكون من رتبة $N$ مضروبًا في قوة ثابتة معينة من لوغاريتم $N$.

لصياغة المبرهنة بشكل أكثر رسمية، يلزم أن نكون محددين بشأن نموذج الضجيج، وهو ما لن نفعله في هذا الدرس. يمكن، على سبيل المثال، إثباتها لنموذج الضجيج العشوائي المستقل الذي ذُكر سابقًا، حيث تحدث الأخطاء بشكل مستقل عند كل موضع ممكن في الدائرة باحتمال أصغر بشكل صارم من قيمة العتبة، لكن يمكن أيضًا إثباتها لنماذج ضجيج أكثر عمومية حيث يمكن أن توجد ارتباطات بين الأخطاء.

هذه نتيجة نظرية، والطريقة الأكثر شيوعًا لإثباتها لا تُترجم بالضرورة إلى نهج عملي، لكنها مع ذلك ذات أهمية عملية كبيرة. على وجه الخصوص، تُثبت أنه لا يوجد حاجز أساسي أمام إجراء الحوسبة الكمومية باستخدام مكونات مشوشة؛ فطالما أن معدل الخطأ لهذه المكونات أقل من قيمة العتبة، يمكن استخدامها لبناء دوائر كمومية موثوقة بأي حجم. طريقة أخرى للتعبير عن أهميتها هي ملاحظة أنه لو لم تكن المبرهنة صحيحة، لكان من الصعب تخيل أن تصبح الحوسبة الكمومية واسعة النطاق حقيقة يومًا ما.

هناك تفاصيل تقنية كثيرة تتعلق بالإثباتات الرسمية (للبيانات الرسمية) لهذه المبرهنة، ولن يتم تناول تلك التفاصيل هنا - لكن يمكن مع ذلك شرح الأفكار الأساسية على مستوى بديهي. لجعل هذا الشرح بسيطًا قدر الإمكان، لنتخيل أننا نستخدم رمز Steane ذا الـ$7$ Qubits لتصحيح الأخطاء. سيكون هذا خيارًا غير عملي لتنفيذ فيزيائي فعلي - كما ينعكس ذلك في قيمة عتبة $p_{\text{th}}$ ضئيلة للغاية - لكنه يعمل بشكل جيد لإيصال الأفكار الرئيسية. سيكون هذا الشرح أيضًا متساهلًا إلى حد ما بشأن نموذج الضجيج، مع افتراض أن الخطأ يصيب كل موضع في تنفيذ متسامح مع الأخطاء بشكل مستقل باحتمال $p$.

الآن، إذا كان الاحتمال $p$ أكبر من مقلوب $N$، حجم الدائرة التي نريد تنفيذها، فمن المرجح جدًا أن يقع خطأ ما في مكان ما. لذا، يمكننا محاولة تشغيل تنفيذ متسامح مع الأخطاء لهذه الدائرة، وفق الوصفة الموضحة في الدرس. يمكننا حينئذ أن نطرح على أنفسنا السؤال الذي اقتُرح سابقًا: هل هذا يُحسّن الأمور أم يزيدها سوءًا؟

إذا كان احتمال $p$ للخطأ في كل موقع كبيرًا جدًا، فلن تُجدي جهودنا نفعًا وقد تُفاقم الأمور، تمامًا كما أن رمز Shor ذا $9$ كيوبتات لا يُفيد إذا كان احتمال الخطأ فوق 3.23% تقريبًا. وبالأخص، فإن التنفيذ المتسامح مع الأخطاء أكبر بكثير من الدائرة الأصلية، لذا ثمة مواقع أكثر بكثير يمكن أن تقع فيها الأخطاء.

لكن إذا كان $p$ صغيرًا بما فيه الكفاية، فسننجح في تقليل احتمال الخطأ للحوسبة المنطقية التي نقوم بها. (في إثبات رسمي، سيتعين علينا أن نكون حذرين جدًا عند هذه النقطة: الأخطاء في الحوسبة المنطقية لن تُوصف بالضرورة بدقة بواسطة نموذج الضجيج الأصلي. هذا، في الواقع، يُحفّز على استخدام نماذج ضجيج أقل تسامحًا حيث قد لا تكون الأخطاء مستقلة — لكننا سنتغاضى عن هذا التفصيل من أجل هذا الشرح.)

بمزيد من التفصيل، لكي يحدث خطأ منطقي في الدائرة الأصلية، يجب أن يقع خطآن على الأقل في نفس كتلة الرمز في التنفيذ المتسامح مع الأخطاء، بالنظر إلى أن رمز Steane يمكنه تصحيح أي خطأ واحد في كتلة رمز. مع الأخذ بعين الاعتبار أن هناك طرقًا مختلفة عديدة لحدوث خطأين أو أكثر في نفس كتلة الرمز، يمكن القول بأن احتمال حدوث خطأ منطقي عند كل موضع في الدائرة الأصلية هو على الأكثر $C p^2$ لبعض الأعداد الحقيقية الموجبة الثابتة $C$ التي تعتمد على الرمز والأدوات المستخدمة، لكن بشكل حاسم لا تعتمد على $N$، حجم الدائرة الأصلية. إذا كان $p$ أصغر من $1/C$، وهو الرقم الذي يمكننا اعتباره قيمة العتبة $p_{\text{th}}$، فإن هذا يترجم إلى انخفاض في الخطأ.

لكن قد يظل معدل الخطأ الجديد هذا مرتفعًا جدًا بحيث لا يسمح للدائرة بالكامل بالعمل بشكل صحيح. الشيء الطبيعي الذي يجب فعله عند هذه النقطة هو اختيار رمز أفضل وأدوات أفضل لدفع معدل الخطأ إلى مستوى يجعل التنفيذ من المرجح أن يعمل. من الناحية النظرية، إحدى الطرق البسيطة للقول بأن هذا ممكن هي التسلسل (concatenate). بمعنى آخر، يمكننا التفكير في التنفيذ المتسامح مع الأخطاء للدائرة الأصلية كما لو كانت أي دائرة كمومية أخرى، ثم تنفيذ هذه الدائرة الجديدة بشكل متسامح مع الأخطاء، باستخدام نفس النظام. يمكننا بعد ذلك تكرار هذا مرارًا وتكرارًا، بقدر ما نحتاج لخفض معدل الخطأ إلى مستوى يسمح للحوسبة الأصلية بالعمل.

للحصول على فكرة تقريبية عن كيفية انخفاض معدل الخطأ من خلال هذه الطريقة، لنتأمل كيف تعمل لعدد قليل من التكرارات. لاحظ أن التحليل الدقيق سيحتاج إلى مراعاة تفاصيل تقنية متنوعة نتجاهلها هنا.

نبدأ باحتمال الخطأ $p$ للمواضع في الدائرة الأصلية. بافتراض أن $p < p_{\text{th}} = 1/C$، يمكن تقييد معدل الخطأ المنطقي بـ $Cp^2 = (Cp) p$ بعد التكرار الأول. من خلال معاملة التنفيذ المتسامح مع الأخطاء كأي دائرة أخرى، وتنفيذه بشكل متسامح مع الأخطاء، نحصل على حد لمعدل الخطأ المنطقي هو

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

يقلل تكرار آخر من حد الخطأ أكثر، إلى

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

الاستمرار بهذه الطريقة لعدد إجمالي من $k$ تكرارات يؤدي إلى معدل خطأ منطقي (للدائرة الأصلية) محدود بـ

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

وهو أسي مضاعف في $k$.

هذا يعني أننا لا نحتاج إلى الكثير من التكرارات لجعل معدل الخطأ صغيرًا للغاية. في هذه الأثناء، تنمو الدوائر في الحجم مع كل مستوى من التسلسل، لكن الحجم يزداد فقط بشكل أسي مفرد في عدد المستويات $k$. هذا لأن، مع كل مستوى من التسامح مع الأخطاء، ينمو الحجم بحد أقصى بمعامل يحدده الحجم الأقصى للأدوات المستخدمة. عندما يتم تجميع كل ذلك معًا، ويُتخذ اختيار مناسب لعدد مستويات التسلسل، نحصل على مبرهنة العتبة.

إذن، ما هي قيمة العتبة في الواقع؟ تعتمد الإجابة على الرمز والأدوات المستخدمة. بالنسبة لرمز Steane مع تقطير الحالات السحرية، تكون ضئيلة جدًا ويُستبعد على الأرجح تحقيقها عمليًا. لكن باستخدام الرموز السطحية وأحدث الأدوات، قُدّرت العتبة بما يتراوح بين 0.1% و1%.

مع اكتشاف أكواد وأساليب جديدة، من المعقول أن نتوقع ازدياد قيمة العتبة، بينما ينخفض في الوقت نفسه مستوى الضجيج في المكونات الفيزيائية الفعلية. الوصول إلى النقطة التي يمكن عندها تنفيذ الحوسبة الكمومية واسعة النطاق بشكل متسامح مع الأخطاء لن يكون سهلاً، ولن يحدث بين عشية وضحاها. لكن هذه المبرهنة، إلى جانب التقدم في الأكواد الكمومية وأجهزة الكم، تمنحنا التفاؤل ونحن نواصل المضي قدمًا لتحقيق الهدف النهائي المتمثل في بناء حاسوب كمومي واسع النطاق ومتسامح مع الأخطاء.

استطلاع ما بعد الدورة

تهانينا على إتمام هذه الدورة! يُرجى تخصيص لحظة لمساعدتنا في تحسين دورتنا من خلال ملء الاستطلاع السريع التالي. ستُستخدم ملاحظاتك لتحسين محتوانا وتجربة المستخدم. شكرًا!