عمليات وقياسات باولي

تلعب مصفوفات باولي دوراً محورياً في صياغة المُثبِّت. سنبدأ الدرس بمناقشة مصفوفات باولي، بما في ذلك بعض خصائصها الجبرية الأساسية، وسنناقش أيضاً كيف يمكن لمصفوفات باولي (وحاصلات ضربها التنسوري) أن تصف القياسات.

أساسيات عمليات باولي

إليك مصفوفات باولي، بما فيها مصفوفة الهوية $2\times 2$ والمصفوفات الثلاث غير الهوياتية لباولي.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

خصائص مصفوفات باولي

جميع مصفوفات باولي الأربع أحادية (unitary) وإرميتية (Hermitian) في آنٍ معاً. استخدمنا أسماء $\sigma_x$ و$\sigma_y$ و$\sigma_z$ للإشارة إلى مصفوفات باولي غير الهوياتية في وقت سابق من السلسلة، لكن من المتعارف عليه استخدام الحروف الكبيرة $X$ و$Y$ و$Z$ في سياق تصحيح الأخطاء. واصلنا هذا التقليد في الدرس السابق وسنستمر فيه في الدروس القادمة.

مصفوفات باولي المختلفة غير الهوياتية تتعاكس في التبديل (anti-commute) مع بعضها.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

علاقات التعاكس هذه بسيطة وسهلة التحقق بإجراء عمليات الضرب، لكنها بالغة الأهمية في صياغة المُثبِّت وفي غيرها. كما سنرى، الإشارات السالبة التي تظهر عند عكس ترتيب مصفوفتَي باولي غير هوياتيتَين مختلفتَين في حاصل الضرب المصفوفي تتوافق بالضبط مع اكتشاف الأخطاء في صياغة المُثبِّت.

لدينا أيضاً قواعد الضرب المدرجة هنا.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

أي أن كل مصفوفة باولي هي معكوسها الخاص (وهذا صحيح دائماً لأي مصفوفة أحادية وإرميتية في آنٍ معاً)، وضرب مصفوفتَي باولي غير هوياتيتَين مختلفتَين معاً يساوي دائماً $\pm i$ مضروباً في مصفوفة باولي غير الهوياتية المتبقية. تحديداً، $Y$ تكافئ $XZ$ حتى عامل طور، وهذا يفسر تركيزنا على أخطاء $X$ و$Z$ وتجاهلنا الظاهري لأخطاء $Y$ في تصحيح الأخطاء الكمومية؛ $X$ تمثل انقلاب البت، $Z$ تمثل انقلاب الطور، وبالتالي (حتى عامل طور كوني) $Y$ تمثل كلا الخطأين يحدثان في آنٍ معاً على نفس الكيوبت.

عمليات باولي على كيوبتات متعددة

مصفوفات باولي الأربع كلها تمثل عمليات (قد تكون أخطاء) على كيوبت واحد — وبأخذ حاصلات ضربها التنسوري نحصل على عمليات على كيوبتات متعددة. من الناحية الاصطلاحية، حين نشير إلى عملية باولي على n كيوبت، نعني حاصل الضرب التنسوري لأي $n$ مصفوفة من مصفوفات باولي، كالأمثلة المبيّنة هنا لحالة $n=9$.

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

في أغلب الأحيان، يشير مصطلح عملية باولي إلى حاصل ضرب تنسوري لمصفوفات باولي مع عامل طور، وأحياناً فقط لعوامل طور معينة كـ$\pm 1$ و$\pm i$. ثمة أسباب وجيهة للسماح بعوامل الطور هذه من الناحية الرياضية — لكن، للإبقاء على البساطة قدر الإمكان، سنستخدم مصطلح عملية باولي في هذه الدورة للإشارة إلى حاصل الضرب التنسوري لمصفوفات باولي دون إمكانية وجود عامل طور مختلف عن 1.

وزن عملية باولي على $n$ كيوبت هو عدد مصفوفات باولي غير الهوياتية في الضرب التنسوري. فمثلاً، المثال الأول أعلاه له وزن $0$، والثاني وزنه $2$، والثالث وزنه $6$. بشكل حدسي، وزن عملية باولي على $n$ كيوبت هو عدد الكيوبتات التي تؤثر عليها بشكل غير تافه. من المعتاد تصميم رموز تصحيح الأخطاء الكمومية بحيث تستطيع اكتشاف وتصحيح الأخطاء الممثَّلة بعمليات باولي طالما لم يكن وزنها مرتفعاً جداً.

عمليات باولي كمولّدات

من المفيد أحياناً اعتبار مجموعات من عمليات باولي كـمولّدات لمجموعات (بالتحديد، زمر) من العمليات، بالمعنى الجبري الذي قد تعرفه إذا كنت على دراية بنظرية الزمر. إذا لم تكن مألوفاً بنظرية الزمر، لا بأس — فهي ليست أساسية للدرس. ومع ذلك، يُوصى بشدة بالتعرف على أساسيات نظرية الزمر لمن يرغب في استكشاف تصحيح الأخطاء الكمومية بعمق أكبر.

لنفترض أن $P_1, \ldots, P_r$ هي عمليات باولي على $n$ كيوبت. حين نشير إلى المجموعة المولَّدة بـ$P_1, \ldots, P_r$، نعني مجموعة جميع المصفوفات التي يمكن الحصول عليها بضرب هذه المصفوفات معاً، بأي تركيب وبأي ترتيب نختاره، مع إمكانية تكرار كل منها عدداً من المرات. الرمز المستخدم للإشارة إلى هذه المجموعة هو $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

على سبيل المثال، المجموعة المولَّدة بمصفوفات باولي الثلاث غير الهوياتية هي كالآتي.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

يمكن استنتاج ذلك عبر قواعد الضرب المذكورة سابقاً. هناك 16 مصفوفة مختلفة في هذه المجموعة، التي تُعرف عادةً بـزمرة باولي.

كمثال ثانٍ، إذا حذفنا $Y$، نحصل على نصف زمرة باولي.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

وإليك مثال أخير (في الوقت الحالي)، وهذه المرة لدينا $n=2$.

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

في هذه الحالة نحصل على أربعة عناصر فقط، بسبب أن $X\otimes X$ و$Z\otimes Z$ يتبادلان:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

قياسات باولي

مصفوفات باولي، وعمليات باولي على $n$ كيوبت بشكل أعم، أحادية (unitary)، لذا فهي تصف عمليات أحادية على الكيوبتات. لكنها أيضاً مصفوفات إرميتية، ولهذا السبب تصف قياسات، كما سيُشرح الآن.

القياسات من المصفوفات الإرميتية

لنأخذ أولاً مصفوفة إرميتية اعتباطية $A.$ حين نشير إلى $A$ كـقياس، فنحن نربطه بقياس إسقاطي محدد بصورة فريدة. بعبارة أبسط، النتائج الممكنة هي القيم الذاتية المتمايزة لـ$A$، والإسقاطات التي تحدد القياس هي تلك التي تسقط على الفضاءات التي تمتدها المتجهات الذاتية المقابلة لـ$A$. إذاً، نتائج مثل هذا القياس هي أعداد حقيقية — لكن لأن المصفوفات لها فقط عدد منتهٍ من القيم الذاتية، ستكون هناك فقط عدد منتهٍ من نتائج القياس المختلفة لاختيار معطى لـ$A$.

بمزيد من التفصيل، بموجب مبرهنة الطيف، يمكن كتابة

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

لقيم ذاتية حقيقية متمايزة $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ وإسقاطات $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ تحقق

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

مثل هذا التعبير لمصفوفة فريد حتى ترتيب القيم الذاتية. طريقة أخرى لقول ذلك هي أنه إذا اشترطنا أن القيم الذاتية مرتبة تنازلياً $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m$، فثمة طريقة وحيدة لكتابة $A$ بالصورة أعلاه.

بناءً على هذا التعبير، القياس الذي نربطه بالقياس $A$ هو القياس الإسقاطي الموصوف بالإسقاطات $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$، والقيم الذاتية $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ تُفهم كنتائج القياس المقابلة لهذه الإسقاطات.

القياسات من عمليات باولي

لنرَ كيف تبدو القياسات من هذا النوع لعمليات باولي، بدءاً بمصفوفات باولي الثلاث غير الهوياتية. هذه المصفوفات لها تحليلات طيفية على النحو الآتي.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

القياسات المعرَّفة بـ$X$ و$Y$ و$Z$، باعتبارها قياسات، هي إذاً القياسات الإسقاطية المعرَّفة بمجموعات الإسقاطات الآتية على التوالي.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

في الحالات الثلاث، النتيجتان الممكنتان للقياس هما القيمتان الذاتيتان $+1$ و$-1$. تُسمى مثل هذه القياسات عادةً قياسات $X$ وقياسات $Y$ وقياسات $Z$. واجهنا هذه القياسات في درس "القياسات العامة" من "الصياغة العامة لمعلومات الكم"، حيث برزت في سياق التصوير الطيفي لحالة الكم.

بطبيعة الحال، قياس $Z$ هو في جوهره قياس بالأساس القياسي وقياس $X$ هو قياس بالنسبة إلى أساس زائد/ناقص للكيوبت — لكن كما تُوصف هذه القياسات هنا، نأخذ القيمتين الذاتيتين $+1$ و$-1$ كنتائج القياس الفعلية.

يمكن اتباع نفس الطريقة لعمليات باولي على $n\geq 2$ كيوبت، لكن يجب التأكيد على أنه ستكون هناك فقط نتيجتان ممكنتان للقياسات الموصوفة بهذه الطريقة: $+1$ و$-1$، وهما القيمتان الذاتيتان الوحيدتان الممكنتان لعمليات باولي. الإسقاطان المقابلان إذاً سيكون لهما رتبة أعلى من 1 في هذه الحالة. بصورة أدق، لكل عملية باولي على $n$ كيوبت غير هوياتية، يتشعّب فضاء الحالة ذو الأبعاد $2^n$ دائماً إلى فضاءين فرعيين من المتجهات الذاتية ذوَي أبعاد متساوية، لذا سيكون للإسقاطَين اللذَين يحددان القياس المرتبط رتبة $2^{n-1}$ في كليهما.

القياس الموصوف بعملية باولي على $n$ كيوبت، باعتبارها قياساً، ليس إذاً نفس الشيء كالقياس بالنسبة إلى أساس متعامد معياري من المتجهات الذاتية لتلك العملية، وليس نفس قياس كل مصفوفة من مصفوفات باولي المقابلة بشكل مستقل، كقياسات، على $n$ كيوبت. كلا البديلَين سيستلزم $2^n$ نتيجة قياس ممكنة، لكن هنا لدينا فقط النتيجتان الممكنتان $+1$ و$-1$.

على سبيل المثال، لنأخذ عملية باولي على كيوبتَين $Z\otimes Z$ كقياس. يمكننا بفاعلية أخذ الضرب التنسوري للتحليلات الطيفية للحصول على تحليل لحاصل الضرب التنسوري.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

أي أن $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ مع

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

وهكذا هذان هما الإسقاطان اللذان يحددان القياس. فمثلاً، إذا أجرينا قياساً غير تدميري لحالة بيل $\vert\phi^+\rangle$ باستخدام هذا القياس، فسنحصل بيقين على النتيجة $+1$، وستبقى الحالة دون تغيير نتيجة القياس. تحديداً، لن تنهار الحالة إلى $\vert 00\rangle$ أو $\vert 11\rangle$.

التنفيذ غير التدميري عبر تقدير الطور

لأي عملية باولي على $n$ كيوبت، يمكننا إجراء القياس المرتبط بذلك القياس بشكل غير تدميري باستخدام تقدير الطور.

إليك دائرة مستندة إلى تقدير الطور تعمل لأي مصفوفة باولي $P$، حيث يُجرى القياس على الكيوبت العلوي. النتيجتان $0$ و$1$ للقياس بالأساس القياسي في الدائرة تقابلان القيمتين الذاتيتين $+1$ و$-1$، تماماً كما هو الحال عادةً في تقدير الطور مع كيوبت تحكم واحد. (لاحظ أن كيوبت التحكم في الأسفل في هذا الرسم التخطيطي، بينما في درس "تقدير الطور والتحليل إلى عوامل" من "أساسيات خوارزميات الكم" كانت كيوبتات التحكم مرسومة في الأعلى.)

طريقة مشابهة تعمل لعمليات باولي على كيوبتات متعددة. على سبيل المثال، الرسم التالي للدائرة يوضح قياساً غير تدميري لقياس باولي على $3$ كيوبتات $P_2\otimes P_1\otimes P_0$، لأي اختيار لـ$P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}$.

هذا النهج يتعمم إلى قياسات باولي على $n$ كيوبت، لأي $n$، بالطريقة الطبيعية. بالطبع، نحتاج فقط إلى تضمين بوابات تحكم أحادية للعوامل التنسورية غير الهوياتية لقياسات باولي عند تنفيذ مثل هذه القياسات؛ فبوابات التحكم الهوياتية هي ببساطة بوابات هوياتية ويمكن حذفها. وهذا يعني أن قياسات باولي ذات الوزن المنخفض تحتاج إلى دوائر أصغر لتنفيذها بهذه الطريقة.

لاحظ أنه، بصرف النظر عن $n$، تحتوي دوائر تقدير الطور هذه على كيوبت تحكم واحد فقط، وهذا يتوافق مع حقيقة أن هناك فقط نتيجتَي قياس ممكنتَين لهذه القياسات. استخدام كيوبتات تحكم أكثر لن يكشف عن معلومات إضافية لأن هذه القياسات مثالية بالفعل باستخدام كيوبت تحكم واحد. (إحدى طرق رؤية ذلك هي مباشرةً من الإجراء العام لتقدير الطور: الافتراض $U^2 = \mathbb{I}$ يجعل أي كيوبتات تحكم إضافية بعد الأولى عديمة الفائدة.)

إليك مثال محدد لتنفيذ غير تدميري لقياس $Z\otimes Z$، ذو صلة بوصف رمز التكرار ثلاثي البتات كرمز مُثبِّت الذي سنراه قريباً.

في هذه الحالة، ولحاصلات الضرب التنسوري لأكثر من قياسَين $Z$ بشكل عام، يمكن تبسيط الدائرة.

وهكذا، هذا القياس يكافئ قياس التكافؤ (أو XOR) غير التدميري للحالات الأساسية القياسية لكيوبتَين.