مراجعة رمز التكرار

سنعود الآن إلى رمز التكرار ذي 3 بتات ونُعيد تناوله هذه المرة بصياغته من حيث عمليات باولي. سيكون هذا أول مثال لنا على رمز مُثبِّت.

مراصد باولي لرمز التكرار

تذكَّر أنه حين نطبق رمز التكرار ذا 3 بتات على الكيوبتات، يُرمَّز متجه حالة كيوبت معين $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ على النحو التالي:

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

أي حالة $\vert\psi\rangle$ بهذا الشكل هي ترميز صالح لحالة كيوبت بثلاثة كيوبتات — لكن لو كانت لدينا حالة لسنا متأكدين منها، يمكننا التحقق من صلاحية الترميز بالتحقق من المعادلتين التاليتين:

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

تنص المعادلة الأولى على أن تطبيق عمليتَي $Z$ على أيسر كيوبتين في $\vert\psi\rangle$ لا يُحدث أي تأثير، أي أن $\vert\psi\rangle$ متجه ذاتي لـ$Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ بقيمة ذاتية $1$. المعادلة الثانية مشابهة لكن عمليتَا $Z$ تُطبَّقان على أيمن كيوبتين. الفكرة هي أنه إذا نظرنا إلى $\vert\psi\rangle$ كتركيبة خطية من حالات القاعدة القياسية، فالمعادلة الأولى تعني أننا لا يمكننا إلا أن نحصل على معاملات غير صفرية لحالات القاعدة القياسية التي يكون فيها أيسر البتين تعادلاً زوجياً (أي متساويَين)، والمعادلة الثانية تعني أننا لا يمكننا إلا أن نحصل على معاملات غير صفرية لحالات القاعدة القياسية التي يكون فيها أيمن البتين تعادلاً زوجياً.

أو بعبارة مكافئة، إذا نظرنا إلى عمليتَي باولي $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ و$\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ كمراصد وقسنا كلتيهما بالدوائر المقترحة في نهاية القسم السابق، فسنكون على يقين بالحصول على نتائج قياس مقابلة لقيم ذاتية $+1$، لأن $\vert\psi\rangle$ متجه ذاتي لكلا المراصدَين بقيمة ذاتية $1$. غير أن النسخة المبسطة من الدائرة (المجمَّعة) لقياس المراصدَين باستقلالية، الموضحة هنا، ليست سوى دائرة فحص التعادل لرمز التكرار ذي 3 بتات.

المعادلتان أعلاه تعنيان إذن أن دائرة فحص التعادل تُخرج $00$، وهو الأعراض الذي يُشير إلى عدم اكتشاف أي أخطاء.

تُسمى عمليتا باولي ذواتا 3 كيوبتات $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ و$\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ مولِّدات المثبِّت لهذا الرمز، والمثبِّت هو المجموعة المولَّدة من مولِّدات المثبِّت.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

المثبِّت كيان رياضي جوهري مرتبط بهذا الرمز، وسيُناقَش دوره مع تقدم الدرس. في الوقت الراهن، لنلاحظ أنه كان بإمكاننا اختيار مولِّدات وفحوصات تعادل مختلفة، تحديداً بأخذ $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ بدلاً من أي من المولِّدَين اللذين اخترناهما، لكن المثبِّت والرمز نفسه كانا سيبقيان دون تغيير.

كشف الأخطاء

سننظر الآن في كشف الانقلاب البتي لرمز التكرار ذي 3 بتات، مع التركيز على التفاعلات والعلاقات بين عمليات باولي المعنية: مولِّدات المثبِّت والأخطاء نفسها.

لنفترض أننا رمّزنا كيوبتاً باستخدام رمز التكرار ذي 3 بتات، وحدث خطأ انقلاب بتي على الكيوبت الأيسر. يُحوِّل هذا الخطأ الحالة $\vert\psi\rangle$ وفق عملية $X$ (أو خطأ $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

يمكن كشف هذا الخطأ بإجراء فحوصات التعادل لرمز التكرار ذي 3 بتات كما نوقش في الدرس السابق، وهو ما يكافئ قياس مولِّدات المثبِّت $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ و$\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ كمراصد بصورة غير هدامة.

لنبدأ بمولِّد المثبِّت الأول. تأثرت الحالة $\vert\psi\rangle$ بخطأ $X$ على الكيوبت الأيسر، وهدفنا فهم كيف يتأثر قياس مولِّد المثبِّت هذا كمرصد بهذا الخطأ. بما أن $X$ و$Z$ لا يتبادلان التبديل، في حين تتبادل كل مصفوفة التبديلَ مع مصفوفة الهوية، فإن $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ لا يتبادل التبديل مع $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$. في الوقت ذاته، بما أن $\vert\psi\rangle$ ترميز صالح لكيوبت، فإن $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ يعمل بشكل تافه على $\vert\psi\rangle$.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

إذن، $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ متجه ذاتي لـ$Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ بقيمة ذاتية $-1$. عند إجراء القياس المرتبط بالمرصد $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ على الحالة $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$، فإن النتيجة ستكون بالتأكيد النتيجة المرتبطة بالقيمة الذاتية $-1$.

يمكن تطبيق الحجة ذاتها على مولِّد المثبِّت الثاني، لكن هذه المرة الخطأ يتبادل التبديل مع مولِّد المثبِّت بدلاً من عدم التبادل، فتكون نتيجة هذا القياس مرتبطة بالقيمة الذاتية $+1$.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

ما نجده عند دراسة هذه المعادلات هو أنه بصرف النظر عن حالتنا الأصلية $\vert\psi\rangle$، فإن الحالة الفاسدة متجه ذاتي لكلا مولِّدَي المثبِّت، وتُحدَّد قيمتها الذاتية إذا كانت $+1$ أو $-1$ بناءً على ما إذا كان الخطأ يتبادل التبديل أو لا يتبادله مع كل مولِّد مثبِّت. بالنسبة للأخطاء المُمثَّلة بعمليات باولي، ستكون دائماً إما هذا أو ذاك، لأن أي عمليتَي باولي إما تتبادلان التبديل أو لا. في الوقت ذاته، الحالة الفعلية $\vert\psi\rangle$ لا تلعب دوراً مهماً سوى حقيقة أن مولِّدات المثبِّت تعمل بصورة تافهة على هذه الحالة.

لهذا السبب، لا نحتاج فعلاً للاهتمام بالحالة المُرمَّزة المحددة التي نعمل عليها. كل ما يهم هو ما إذا كان الخطأ يتبادل التبديل أو لا يتبادله مع كل مولِّد مثبِّت. وتحديداً، هذه هي المعادلات ذات الصلة بهذا الخطأ بعينه في هذا الرمز:

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

إليك جدولاً يحتوي على صف لكل مولِّد مثبِّت وعمود لكل خطأ. الإدخال في الجدول إما $+1$ أو $-1$ حسب ما إذا كان الخطأ ومولِّد المثبِّت يتبادلان التبديل أو لا. يتضمن الجدول أعمدة للأخطاء المقابلة لانقلاب بتي واحد فقط، فضلاً عن عدم وجود خطأ إطلاقاً الذي يوصف بمصفوفة الهوية بضرب تنسوري ثلاث مرات مع نفسها. يمكننا إضافة أعمدة لأخطاء أخرى، لكن تركيزنا الآن سيكون على هذه الأخطاء فقط.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

لكل خطأ في الجدول، يكشف العمود المقابل له كيف يُحوِّل ذلك الخطأ أي ترميز إلى متجه ذاتي بقيمة $+1$ أو $-1$ لكل مولِّد مثبِّت. بعبارة مكافئة، تصف الأعمدة الأعراض التي نحصل عليها من فحوصات التعادل، والتي تكافئ قياسات غير هدامة لمولِّدات المثبِّت كمراصد. بالطبع، يحتوي الجدول على إدخالات $+1$ و$-1$ بدلاً من $0$ و$1$ — ومن الشائع التفكير في الأعراض كسلسلة ثنائية بدلاً من عمود من إدخالات $+1$ و$-1$ — لكن يمكننا بالمثل التفكير في هذه المتجهات ذات إدخالات $+1$ و$-1$ كأعراض لربطها مباشرةً بالقيم الذاتية لمولِّدات المثبِّت. بشكل عام، تُخبرنا الأعراض بشيء ما عن الخطأ الذي وقع، وإذا علمنا أن أحد الأخطاء الأربعة المدرجة في الجدول قد حدث، يشير العرَض إلى أيها.

الأعراض

ترميزات رمز التكرار ذي 3 بتات حالات ذات 3 كيوبتات، وبالتالي متجهات وحدوية في فضاء متجهات مركّبة ذي 8 أبعاد. الأعراض الأربعة الممكنة تُقسِّم فعلياً هذا الفضاء ذا 8 أبعاد إلى أربعة فضاءات جزئية ذات بعدين، بحيث تؤدي متجهات الحالات الكمومية في كل فضاء جزئي دائماً إلى العرَض ذاته. يوضح المخطط التالي تحديداً كيف يُقسَّم الفضاء ذو 8 أبعاد بواسطة مولِّدَي المثبِّت.

يُقسِّم كل مولِّد مثبِّت الفضاء إلى فضاءين جزئيين متساويَي البعد، هما فضاء المتجهات الذاتية بالقيمة $+1$ وفضاء المتجهات الذاتية بالقيمة $-1$ لذلك المرصد. على سبيل المثال، المتجهات الذاتية بالقيمة $+1$ لـ$Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ هي التركيبات الخطية لحالات القاعدة القياسية التي يكون فيها أيسر البتين تعادلاً زوجياً، والمتجهات الذاتية بالقيمة $-1$ هي التركيبات الخطية التي يكون فيها أيسر البتين تعادلاً فردياً. الوضع مشابه لمولِّد المثبِّت الآخر، إلا أن ما يهم هنا أيمن البتين لا أيسرهما.

الفضاءات الجزئية الأربعة ذات البعدين المقابلة للأعراض الأربعة الممكنة سهلة الوصف في هذه الحالة نظراً لبساطة الرمز الشديدة. تحديداً، الفضاء الجزئي المقابل للعرَض $(+1,+1)$ هو الفضاء المولَّد بـ$\vert 000\rangle$ و$\vert 111\rangle$، وهو فضاء الترميزات الصالحة (المعروف أيضاً بـفضاء الرمز)، وبشكل عام تُولَّد الفضاءات من القاعدة القياسية الموضحة في المربعات المقابلة.

تُقسِّم الأعراض أيضاً جميع عمليات باولي ذات 3 كيوبتات إلى 4 مجموعات متساوية الحجم، وفقاً للعرَض الذي ستسببه تلك العملية (كخطأ). على سبيل المثال، أي عملية باولي تتبادل التبديل مع كلا مولِّدَي المثبِّت تؤدي إلى العرَض $(+1,+1)$، ومن بين عمليات باولي ذات 3 كيوبتات الـ64 الممكنة، يوجد بالضبط 16 منها في هذه الفئة (بما في ذلك $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z$ و$Z\otimes Z\otimes Z$ و$X\otimes X\otimes X$ مثلاً)، وكذلك الحال للأعراض الثلاثة الأخرى.

كلا الخاصيتين — أن الأعراض تُقسِّم كلاً من فضاء الحالات الذي تعيش فيه الترميزات وجميع عمليات باولي على هذا الفضاء إلى مجموعات متساوية الحجم — صحيحتان بشكل عام لرموز المثبِّت، التي سنُعرِّفها بدقة في القسم التالي.

رغم أنه في هذه المرحلة مجرد إضافة جانبية، يستحق الذكر أن عمليات باولي التي تتبادل التبديل مع كلا مولِّدَي المثبِّت، أو بعبارة أخرى عمليات باولي التي تؤدي إلى العرَض $(+1,+1)$، لكنها ليست هي ذاتها متناسبة مع عناصر المثبِّت، تتصرف مثل عمليات باولي أحادية الكيوبت على الكيوبت المُرمَّز (أي الكيوبت المنطقي) في هذا الرمز. على سبيل المثال، $X\otimes X \otimes X$ تتبادل التبديل مع كلا مولِّدَي المثبِّت، لكنها ليست متناسبة مع أي عنصر في المثبِّت، وفعلاً تأثير هذه العملية على ترميز ما مكافئ لبوابة $X$ على الكيوبت المنطقي المُرمَّز.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

وهذه أيضاً ظاهرة تتعمم على جميع رموز المثبِّت.