تمييز الحالة الكمومية والتوموغرافيا

في الجزء الأخير من الدرس، سنتناول باختصار مهمتين مرتبطتين بالقياسات: تمييز الحالة الكمومية وتوموغرافيا الحالة الكمومية.

1. تمييز الحالة الكمومية

   في تمييز الحالة الكمومية، لدينا مجموعة معروفة من الحالات الكمومية $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$، مع احتمالات $p_0,\ldots,p_{m-1}$ مرتبطة بهذه الحالات. طريقة موجزة للتعبير عن ذلك هي القول إن لدينا مجموعة

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   من الحالات الكمومية.

   يُختار عدد $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ بشكل عشوائي وفق الاحتمالات $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ ويُهيَّأ النظام $\mathsf{X}$ في الحالة $\rho_a$. الهدف هو تحديد قيمة $a$ التي اختيرت عن طريق قياس $\mathsf{X}$ وحده.

   إذن، لدينا عدد محدود من البدائل مع توزيع مسبق — وهو معرفتنا باحتمالية اختيار كل $a$ — والهدف هو تحديد أي البدائل حدث فعلًا. قد يكون ذلك سهلًا لبعض خيارات الحالات والاحتمالات، وقد لا يكون ممكنًا لأخرى دون بعض احتمالية الخطأ.

2. توموغرافيا الحالة الكمومية

   في توموغرافيا الحالة الكمومية، لدينا حالة كمومية مجهولة لنظام — لذا خلافًا لتمييز الحالة الكمومية، لا يوجد عادةً مسبق ولا معلومات عن البدائل الممكنة.

   لكن هذه المرة، لا تُتاح نسخة واحدة من الحالة بل نسخ مستقلة عديدة. أي أن $N$ نظامًا متطابقًا $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ يُهيَّأ كل منها بصورة مستقلة في الحالة $\rho$ لعدد (ربما كبير) $N$. الهدف هو إيجاد تقريب للحالة المجهولة على هيئة مصفوفة كثافة عن طريق قياس الأنظمة.

التمييز بين حالتين

أبسط حالة في تمييز الحالة الكمومية هي وجود حالتين، $\rho_0$ و$\rho_1$، ينبغي التمييز بينهما.

تخيَّل موقفًا يُختار فيه بت $a$ بشكل عشوائي: $a = 0$ باحتمالية $p$ و$a = 1$ باحتمالية $1 - p$. يُهيَّأ النظام $\mathsf{X}$ في الحالة $\rho_a$، أي $\rho_0$ أو $\rho_1$ اعتمادًا على قيمة $a$، ويُسلَّم إلينا. هدفنا هو تخمين قيمة $a$ بشكل صحيح عن طريق قياس $\mathsf{X}$. بدقة أكبر، سنسعى إلى تعظيم احتمالية صحة تخميننا.

قياس أمثل

تبدأ الطريقة المثلى لحل هذه المسألة بالتحليل الطيفي للفرق الموزون بين $\rho_0$ و$\rho_1$، حيث الأوزان هي الاحتمالات المقابلة.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

لاحظ أن لدينا إشارة طرح لا جمع في هذا التعبير: هذا فرق موزون لا مجموع موزون.

يمكننا تعظيم احتمالية التخمين الصحيح باختيار قياس إسقاطي $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ كما يلي. أولًا لنُقسِّم عناصر $\{0,\ldots,n-1\}$ إلى مجموعتين منفصلتين $S_0$ و$S_1$ بحسب ما إذا كانت القيمة الذاتية المقابلة في الفرق الموزون غير سالبة أو سالبة.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

يمكننا حينئذ اختيار قياس إسقاطي كما يلي.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{و}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(في الواقع، لا يهم في أي من $S_0$ أو $S_1$ ندرج قيم $k$ التي يكون $\lambda_k = 0$ فيها. هنا نختار بشكل تعسفي إدراج هذه القيم في $S_0$.)

هذا هو القياس الأمثل في الموقف المطروح، إذ يُقلِّل احتمالية التحديد الخاطئ للحالة المختارة إلى أدنى حد.

احتمالية الصحة

الآن سنحدد احتمالية الصحة للقياس $\{\Pi_0,\Pi_1\}$.

للبدء، لسنا بحاجة فعلًا إلى الاهتمام بالاختيار المحدد لـ$\Pi_0$ و$\Pi_1$، وإن كان قد يكون مفيدًا الاحتفاظ به في الذهن. لأي قياس $\{P_0,P_1\}$ (ليس بالضرورة إسقاطيًا) يمكن كتابة احتمالية الصحة على النحو التالي.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

باستخدام حقيقة أن $\{P_0,P_1\}$ قياس، لذا $P_1 = \mathbb{I} - P_0$، يمكن إعادة كتابة هذا التعبير على النحو التالي.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

من ناحية أخرى، كان يمكننا تعويض $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ بدلًا من ذلك. لن يغير ذلك القيمة لكنه يمنحنا تعبيرًا بديلًا.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

التعبيران لهما القيمة ذاتها، لذا يمكننا أخذ متوسطهما للحصول على تعبير آخر لهذه القيمة. (أخذ المتوسط هو مجرد حيلة لتبسيط التعبير الناتج.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

الآن يمكننا أن نرى لماذا من المنطقي اختيار الإسقاطات $\Pi_0$ و$\Pi_1$ (كما حُدِّد أعلاه) من أجل $P_0$ و$P_1$ على التوالي — لأن ذلك يُمكِّننا من جعل الأثر في التعبير الأخير أكبر ما يمكن. بالتحديد،

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

إذن حين نأخذ الأثر، نحصل على مجموع القيم المطلقة للقيم الذاتية — وهو ما يُعرف بـمعيار الأثر للفرق الموزون.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

وبالتالي، احتمالية أن يؤدي القياس $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ إلى تمييز صحيح لـ$\rho_0$ و$\rho_1$، المعطاة باحتمالية $p$ و$1-p$ على التوالي، هي كما يلي.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

حقيقة أن هذه هي الاحتمالية المثلى للتمييز الصحيح لـ$\rho_0$ و$\rho_1$ بالاحتمالات $p$ و$1-p$، تُشار إليها عادةً بـمبرهنة هيلستروم-هوليفو (أو أحيانًا مبرهنة هيلستروم فقط).

التمييز بين ثلاث حالات أو أكثر

في تمييز الحالة الكمومية حين توجد ثلاث حالات أو أكثر، لا يوجد حل مغلق معروف للقياس الأمثل، وإن كان بالإمكان صياغة المسألة كمسألة برمجة شبه محددة (SDP) — مما يتيح تقريبات عددية فعَّالة للقياسات المثلى بمساعدة الحاسوب.

يمكن أيضًا التحقق من (أو نفي) أمثلية قياس معيَّن في مهمة تمييز الحالة عبر شرط يُعرف بـشرط هوليفو-يون-كينيدي-لاكس. بالتحديد، من أجل مهمة تمييز الحالة المعرَّفة بالمجموعة

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

يكون القياس $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ أمثل إذا وفقط إذا كانت المصفوفة

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

شبه محددة الإيجابية لكل $a\in\{0,\ldots,m-1\}$.

على سبيل المثال، تأمَّل مهمة تمييز الحالة الكمومية حيث تُختار إحدى الحالات الرباعية السطوحية $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ بشكل منتظم عشوائي. القياس الرباعي السطوحي $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ ينجح باحتمالية

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

هذا هو الأمثل وفقًا لشرط هوليفو-يون-كينيدي-لاكس، كما يكشف الحساب أن

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

for $a = 0,1,2,3$.

توموغرافيا الحالة الكمومية

أخيرًا، سنتناول باختصار مسألة توموغرافيا الحالة الكمومية. في هذه المسألة، يُمنح لنا عدد كبير $N$ من النسخ المستقلة لحالة كمومية مجهولة $\rho$، والهدف هو إعادة بناء تقريب $\tilde{\rho}$ لـ$\rho$. للتوضيح، هذا يعني أننا نريد إيجاد وصف كلاسيكي لمصفوفة كثافة $\tilde{\rho}$ أقرب ما يكون إلى $\rho$.

يمكننا وصف الإعداد بصيغة بديلة على النحو التالي. تُختار مصفوفة كثافة مجهولة $\rho$، ويُمنح لنا الوصول إلى $N$ نظامًا كموميًا $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$، كل منها مُهيَّأ بصورة مستقلة في الحالة $\rho$. وبالتالي، حالة النظام المركَّب $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ هي

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ مرة)}$$

الهدف هو إجراء قياسات على الأنظمة $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ وبناءً على نتائج تلك القياسات، حساب مصفوفة كثافة $\tilde{\rho}$ تُقرِّب $\rho$ بشكل جيد. هذه مسألة رائعة وثمة أبحاث جارية عليها.

يمكن النظر في أنواع مختلفة من الاستراتيجيات لمعالجة المسألة. على سبيل المثال، يمكن تصوُّر استراتيجية يُقاس فيها كل نظام من $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ بشكل منفصل تباعًا، منتِجًا سلسلة من نتائج القياسات. يمكن اتخاذ خيارات محددة مختلفة لأي القياسات تُجرى، بما يشمل الاختيارات التكيُّفية وغير التكيُّفية. بمعنى آخر، قد يعتمد اختيار القياس الذي يُجرى على نظام معيَّن أو لا يعتمد على نتائج القياسات السابقة. بناءً على سلسلة نتائج القياسات، يُستنتج تخمين $\tilde{\rho}$ للحالة $\rho$ — وهنا أيضًا توجد منهجيات مختلفة للقيام بذلك.

نهج بديل هو إجراء قياس مشترك واحد للمجموعة بأكملها، حيث ننظر إلى $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ كنظام واحد ونختار قياسًا واحدًا مخرجه تخمين $\tilde{\rho}$ للحالة $\rho$. قد يؤدي ذلك إلى تقدير أفضل مما هو ممكن بقياسات منفصلة للأنظمة الفردية، وإن كان القياس المشترك لجميع الأنظمة معًا أصعب تطبيقًا على الأرجح.

توموغرافيا الكيوبت باستخدام قياسات باولي

سنتناول الآن توموغرافيا الحالة الكمومية في الحالة البسيطة التي تكون فيها $\rho$ مصفوفة كثافة كيوبت. نفترض أننا مُعطَون كيوبتات $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ كل منها في الحالة $\rho$ بصورة مستقلة، وهدفنا حساب تقريب $\tilde{\rho}$ قريب من $\rho$.

استراتيجيتنا هي تقسيم الكيوبتات $N$ وهي $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ إلى ثلاث مجموعات متقاربة الحجم، واحدة لكل من مصفوفات باولي الثلاث $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ و$\sigma_z$. يُقاس كل كيوبت بصورة مستقلة على النحو التالي.

1. لكل كيوبت في المجموعة المرتبطة بـ$\sigma_x$ نجري قياس $\sigma_x$. هذا يعني قياس الكيوبت بالنسبة للأساس $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\}$، وهو أساس متعامد معياري من متجهات ذاتية لـ$\sigma_x$، ونتائج القياس المقابلة هي القيم الذاتية المرتبطة بالمتجهين الذاتيين: $+1$ للحالة $\vert + \rangle$ و$-1$ للحالة $\vert -\rangle$. بأخذ متوسط النتائج على جميع الحالات في المجموعة المرتبطة بـ$\sigma_x$، نحصل على تقريب لقيمة التوقع

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. لكل كيوبت في المجموعة المرتبطة بـ$\sigma_y$ نجري قياس $\sigma_y$. هذا القياس مشابه لقياس $\sigma_x$، غير أن أساس القياس هو $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$، وهو المتجهات الذاتية لـ$\sigma_y$. بأخذ متوسط النتائج على جميع الحالات في المجموعة المرتبطة بـ$\sigma_y$، نحصل على تقريب لقيمة التوقع

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. لكل كيوبت في المجموعة المرتبطة بـ$\sigma_z$ نجري قياس $\sigma_z$. هنا أساس القياس هو الأساس القياسي $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\}$، وهو المتجهات الذاتية لـ$\sigma_z$. بأخذ متوسط النتائج على جميع الحالات في المجموعة المرتبطة بـ$\sigma_z$، نحصل على تقريب لقيمة التوقع

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

بمجرد حصولنا على التقريبات

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

بأخذ متوسط نتائج القياسات لكل مجموعة، يمكننا تقريب $\rho$ بـ

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

في الحد عندما يؤول $N$ إلى اللانهاية، يتقارب هذا التقريب احتماليًا (تقاربًا في الاحتمال) إلى مصفوفة الكثافة الحقيقية $\rho$ بموجب قانون الأعداد الكبيرة، ويمكن استخدام حدود إحصائية معروفة (كـمتراجحة هوفدينغ) لتقييد احتمالية انحراف التقريب $\tilde{\rho}$ عن $\rho$ بمقادير متنوعة.

غير أن شيئًا مهمًا ينبغي الإشارة إليه: المصفوفة $\tilde{\rho}$ التي نحصل عليها بهذه الطريقة قد لا تكون مصفوفة كثافة. بالتحديد، رغم أن أثرها سيساوي دائمًا $1$، فقد تفشل في كونها شبه محددة الإيجابية. ثمة استراتيجيات معروفة مختلفة "لتدوير" مثل هذا التقريب $\tilde{\rho}$ (أي إسقاطه) إلى مصفوفة كثافة، إحداها حساب التحليل الطيفي واستبدال أي قيم ذاتية سالبة بـ$0$ ثم إعادة التطبيع (بقسمة المصفوفة الناتجة على أثرها).

توموغرافيا الكيوبت باستخدام القياس الرباعي السطوحي

خيار آخر لإجراء توموغرافيا الكيوبت هو قياس كل كيوبت $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ باستخدام القياس الرباعي السطوحي $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ المذكور سابقًا. أي

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

من أجل

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

كل نتيجة تُحصَّل عليها عدد معيَّن من المرات، سنرمز إليه بـ$n_a$ لكل $a\in\{0,1,2,3\}$، بحيث $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N$. نسبة هذه الأعداد إلى $N$ تُقدِّم تقديرًا للاحتمالية المرتبطة بكل نتيجة ممكنة:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

أخيرًا، سنستخدم الصيغة الرائعة التالية:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

لإثبات هذه الصيغة، يمكننا استخدام المعادلة التالية للقيم المطلقة المربَّعة للجداءات الداخلية للحالات الرباعية السطوحية، والتي يمكن التحقق منها بحسابات مباشرة.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

المصفوفات الأربع

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

مستقلة خطيًا، لذا يكفي إثبات صحة الصيغة حين $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ من أجل $b = 0,1,2,3$. بالتحديد،

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

وبالتالي

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

نصل إلى تقريب لـ$\rho$:

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

سيكون هذا التقريب دائمًا مصفوفة إرميتية ذات أثر يساوي واحدًا، لكنه قد يفشل في كونه شبه محدد الإيجابية. في هذه الحالة، يجب "تدوير" التقريب إلى مصفوفة كثافة، بصورة مشابهة للاستراتيجية المستخدمة في قياسات باولي.