مبرهنة نايمارك

مبرهنة نايمارك حقيقة أساسية تتعلق بالقياسات. تنص على أنه يمكن تنفيذ كل قياس عام بطريقة بسيطة تُشبه تمثيلات ستاينسبرينغ للقنوات:

1. أولاً يُدمَج النظام المراد قياسه مع نظام مساحة عمل مُهيَّأ، مكوِّناً نظاماً مركّباً.
2. ثم تُجرى عملية أحادية على النظام المركّب.
3. أخيراً، يُقاس نظام مساحة العمل بالنسبة إلى قياس الأساس القياسي، مُنتِجاً نتيجة القياس العام الأصلي.

نص المبرهنة والبرهان

ليكن $\mathsf{X}$ نظاماً ولتكن $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ مجموعة من المصفوفات شبه الموجبة تحقق

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

أي أنها تصف قياساً لـ$\mathsf{X}$. وليكن أيضاً $\mathsf{Y}$ نظاماً مجموعته الكلاسيكية للحالات هي $\{0,\ldots,m-1\}$، وهي مجموعة النتائج الممكنة لهذا القياس.

تنص مبرهنة نايمارك على وجود عملية أحادية $U$ على النظام المركّب $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ بحيث يُنتج التنفيذ المقترح بالشكل الآتي نتائج قياس تتوافق مع القياس المعطى $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$، بمعنى أن احتمالات النتائج الممكنة المختلفة تتطابق تماماً.

للتوضيح، النظام $\mathsf{X}$ يبدأ في حالة اعتباطية $\rho$ بينما يُهيَّأ $\mathsf{Y}$ في حالة $\vert 0\rangle$. تُطبَّق العملية الأحادية $U$ على $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ثم يُقاس النظام $\mathsf{Y}$ بقياس أساس قياسي، مُنتِجاً نتيجة $a\in\{0,\ldots,m-1\}$.

يُوضَح النظام $\mathsf{X}$ كجزء من مخرج الدائرة، لكن في الوقت الحالي لن نُعنى بحالة $\mathsf{X}$ بعد تطبيق $U$، ويمكن تخيّل أنه يُحذف بالأثر الجزئي. سنهتم بحالة $\mathsf{X}$ بعد تطبيق $U$ لاحقاً في الدرس.

تنفيذ قياس بهذه الطريقة يُذكِّر بوضوح بتمثيل ستاينسبرينغ لقناة، والأسس الرياضية متشابهة أيضاً. الفرق هنا هو أن نظام مساحة العمل يُقاس بدلاً من أن يُؤخذ أثره الجزئي كما هو الحال في تمثيل ستاينسبرينغ.

حقيقة أنه يمكن تنفيذ كل قياس بهذه الطريقة سهلة الإثبات إلى حد ما، لكننا سنحتاج أولاً إلى حقيقة تتعلق بالمصفوفات شبه الموجبة.

حقيقة

لنفترض أن $P$ مصفوفة شبه موجبة $n \times n$. يوجد مصفوفة شبه موجبة $n\times n$ فريدة $Q$ تحقق $Q^2 = P.$ تُسمى هذه المصفوفة شبه الموجبة الفريدة الجذر التربيعي لـ$P$ ويُرمز لها بـ$\sqrt{P}.$

إحدى طرق إيجاد الجذر التربيعي لمصفوفة شبه موجبة هي حساب التحليل الطيفي أولاً.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

لأن $P$ شبه موجبة، يجب أن تكون قيمها الذاتية أعداداً حقيقية غير سالبة، وباستبدالها بجذورها التربيعية نحصل على تعبير لجذر $P$ التربيعي.

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

بهذا المفهوم في متناول أيدينا، أصبحنا مستعدين لإثبات مبرهنة نايمارك. بافتراض أن $\mathsf{X}$ له $n$ حالة كلاسيكية، يمكن تمثيل العملية الأحادية $U$ على الزوج $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ بمصفوفة $nm\times nm$، يمكننا النظر إليها كمصفوفة كتلية $m\times m$ تكوتلها $n\times n$. المفتاح في الإثبات هو أن نأخذ $U$ لتكون أي مصفوفة أحادية تطابق النمط الآتي.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

لإمكانية ملء الكتل المُعلَّمة بعلامة استفهام بحيث تكون $U$ أحادية، الشرط الضروري والكافي هو أن تكون أول $n$ أعمدة، المكوَّنة من الكتل $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}}$، متعامدة ومعيارية. يمكننا بعد ذلك استخدام عملية تعامد جرام-شميدت لملء الأعمدة المتبقية، تماماً كما صادفنا في الدرس السابق.

يمكن التعبير عن أول $n$ أعمدة لـ$U$ كمتجهات بالطريقة الآتية، حيث $c = 0,\ldots,n-1$ يشير إلى رقم العمود بدءاً من $0$.

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

يمكننا حساب الضرب الداخلي بين أي اثنين منها كالآتي.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

هذا يُثبت أن هذه الأعمدة متعامدة ومعيارية فعلاً، لذا يمكننا ملء الأعمدة المتبقية لـ$U$ بطريقة تضمن أن تكون المصفوفة الكاملة أحادية.

يتبقى التحقق من أن احتمالات نتائج القياس للمحاكاة متوافقة مع القياس الأصلي. لحالة ابتدائية معطاة $\rho$ للنظام $\mathsf{X}$، يُنتج القياس الموصوف بالمجموعة $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ كل نتيجة $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ باحتمال $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$.

للحصول على احتمالات نتائج المحاكاة، لنُطلق أولاً اسم $\sigma$ على حالة $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ بعد تطبيق $U$. يمكن التعبير عن هذه الحالة كالآتي.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

بالتكافؤ، بصيغة المصفوفة الكتلية، لدينا المعادلة الآتية.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

لاحظ أن مدخلات $U$ الواقعة في الكتل المُعلَّمة بعلامة استفهام لا تؤثر على النتيجة بفضل أننا نقرن مصفوفة بالصورة $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — لذا فإن مدخلات علامات الاستفهام تُضرب دائماً في مدخلات صفرية لـ$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ عند حساب حاصل الضرب المصفوفي.

الآن يمكننا تحليل ما يحدث حين يُجرى قياس بالأساس القياسي على $\mathsf{Y}$. احتمالات النتائج الممكنة يُعطيها المدخلات القطرية للحالة المختزلة $\sigma_{\mathsf{Y}}$ للنظام $\mathsf{Y}$.

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

تحديداً، باستخدام الخاصية الدورية للأثر، نجد أن احتمال الحصول على نتيجة معطاة $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ هو كالآتي.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

هذا يتوافق مع القياس الأصلي، مُثبِتاً صحة المحاكاة.

القياسات غير التدميرية

حتى الآن في الدرس، اهتممنا بالقياسات التدميرية، حيث يتكوّن الناتج من نتيجة القياس الكلاسيكية وحدها ولا تحديد لحالة الكم بعد القياس للنظام الذي قِيس.

القياسات غير التدميرية، من ناحية أخرى، تفعل هذا بالضبط. تحديداً، تصف القياسات غير التدميرية ليس فقط احتمالات نتائج القياس الكلاسيكي، بل أيضاً حالة النظام الذي قِيس بشرط كل نتيجة قياس ممكنة. لاحظ أن مصطلح غير تدميري يشير إلى النظام الذي يُقاس وليس بالضرورة إلى حالته، التي قد تتغير بشكل ملحوظ نتيجة القياس.

بوجه عام، لقياس تدميري معطى، سيكون هناك قياسات غير تدميرية متعددة (في الواقع لا نهائية) متوافقة مع القياس التدميري المعطى، بمعنى أن احتمالات نتائج القياس الكلاسيكي تتطابق تماماً مع القياس التدميري. لذا لا توجد طريقة فريدة لتعريف حالة الكم بعد القياس لنظام ما لقياس معطى.

في الواقع، يمكن تعميم القياسات غير التدميرية بشكل أكبر، بحيث تُنتج نتيجة قياس كلاسيكية مع مخرج حالة كمومية لنظام ليس بالضرورة نفس نظام المدخل.

مفهوم القياس غير التدميري هو تجريد مثير للاهتمام ومفيد. ومع ذلك، ينبغي إدراك أن القياسات غير التدميرية يمكن دائماً وصفها كتراكيب من قنوات وقياسات تدميرية — لذا ثمة معنى تكون فيه فكرة القياس التدميري هي الأكثر جوهرية.

من مبرهنة نايمارك

لنأخذ بعين الاعتبار محاكاة قياس عام كما في مبرهنة نايمارك. طريقة بسيطة للحصول على قياس غير تدميري من هذه المحاكاة يكشفها الشكل السابق، حيث النظام $\mathsf{X}$ لا يُؤثَّر عليه بل هو جزء من الناتج. هذا يُنتج كلاً من نتيجة القياس الكلاسيكي $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ وحالة كم بعد القياس للنظام $\mathsf{X}$.

لنصف هذه الحالات بالمصطلحات الرياضية. نفترض أن الحالة الابتدائية للنظام $\mathsf{X}$ هي $\rho$، بحيث أنه بعد تهيئة النظام $\mathsf{Y}$ وتطبيق $U$، يكون $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ في الحالة

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

احتمالات ظهور النتائج الكلاسيكية المختلفة هي نفسها كما كانت — لا يمكنها أن تتغير نتيجة قرارنا بتجاهل أو عدم تجاهل $\mathsf{X}$. أي أننا نحصل على كل $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ باحتمال $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$.

بشرط الحصول على نتيجة قياس معينة $a$، تُعطى الحالة الناتجة للنظام $\mathsf{X}$ بهذا التعبير.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

إحدى طرق رؤية ذلك هي تمثيل قياس بالأساس القياسي للنظام $\mathsf{Y}$ بالقناة تامة الإزالة للتماسك $\Delta_m$، حيث يصف مخرج القناة نتائج القياس الكلاسيكي كمصفوفات كثافة (قطرية). تعبير الحالة التي نحصل عليها هو كالآتي.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

يمكننا بعد ذلك كتابة هذه الحالة كتركيب محدّب لحالات حاصل ضرب،

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

وهو ما يتوافق مع التعبير الذي حصلنا عليه لحالة $\mathsf{X}$ بشرط كل نتيجة قياس ممكنة.

من تمثيل كراوس

ثمة اختيارات بديلة لـ$U$ في سياق مبرهنة نايمارك تُنتج نفس احتمالات نتائج القياس لكن تُعطي حالات ناتجة مختلفة تماماً للنظام $\mathsf{X}$.

على سبيل المثال، خيار واحد هو استبدال $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ بـ$U$، حيث $V$ أي عملية أحادية على $\mathsf{X}$. تطبيق $V$ على $\mathsf{X}$ يتبادل مع قياس $\mathsf{Y}$ لذا لا تتغير احتمالات النتائج الكلاسيكية، لكن الآن حالة $\mathsf{X}$ بشرط النتيجة $a$ تصبح

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

بصورة أعم، يمكننا استبدال $U$ بالمصفوفة الأحادية

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

لأي اختيار من العمليات الأحادية $V_0,\ldots,V_{m-1}$ على $\mathsf{X}$. مجدداً، احتمالات النتائج الكلاسيكية لا تتغير، لكن الآن حالة $\mathsf{X}$ بشرط النتيجة $a$ تصبح

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

طريقة مكافئة للتعبير عن هذه الحرية مرتبطة بتمثيلات كراوس. أي يمكننا وصف قياس غير تدميري من $m$ نتيجة لنظام له $n$ حالة كلاسيكية باختيار مصفوفات كراوس $n\times n$ يُعبَّر عنها بـ$A_0,\ldots,A_{m-1}$ تحقق الشرط المعتاد لمصفوفات كراوس.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

بافتراض أن الحالة الابتدائية للنظام $\mathsf{X}$ هي $\rho$، تكون نتيجة القياس الكلاسيكي $a$ باحتمال

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

وبشرط أن تكون النتيجة $a$ تصبح حالة $\mathsf{X}$

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

لاحظ أن هذا يكافئ اختيار العملية الأحادية $U$ في مبرهنة نايمارك كالآتي.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

في الدرس السابق، لاحظنا أن الأعمدة المكوَّنة من الكتل $A_0,\ldots,A_{m-1}$ متعامدة بالضرورة، بفضل الشرط $(1)$.

التعميمات

ثمة طرق أكثر عمومية لصياغة القياسات غير التدميرية من الطرق التي ناقشناها. مفهوم الآلة الكمومية (الذي لن يُوصف هنا) يمثل إحدى طرق تحقيق ذلك.