الصياغات الرياضية للقياسات

تبدأ الدرس بوصفَين رياضيَّين متكافئَين للقياسات:

1. يمكن وصف القياسات العامة بـمجموعات من المصفوفات، واحدة لكل نتيجة قياس، بطريقة تُعمِّم وصف القياسات الإسقاطية.
2. يمكن وصف القياسات العامة بوصفها قنوات تكون مخرجاتها دائمًا حالات كلاسيكية (ممثَّلة بمصفوفات كثافة قطرية).

سنقصر اهتمامنا على القياسات التي لها عدد منتهٍ من النتائج المحتملة. وإن كان من الممكن تعريف قياسات بعدد لا نهائي من النتائج، إلا أنها أقل شيوعًا في سياق الحوسبة ومعالجة المعلومات، كما تستلزم بعض الرياضيات الإضافية (وهي نظرية القياس) لتُصاغ بشكل سليم.

سيتمحور تركيزنا في البداية على القياسات التدميرية، حيث يكون ناتج القياس نتيجةً كلاسيكية وحدها — دون أي تحديد للحالة الكمومية للنظام المقاس بعد القياس. بشكل حدسي، يمكننا أن نتخيل أن مثل هذا القياس يدمر النظام الكمومي نفسه، أو أن النظام يُهمَل فور إجراء القياس. لاحقًا في الدرس سنوسِّع منظورنا لنتناول القياسات غير التدميرية، التي يوجد فيها نتيجة كلاسيكية وحالة كمومية للنظام المقاس بعد القياس.

القياسات كمجموعات من المصفوفات

لنفرض أن $\mathsf{X}$ نظام سيخضع للقياس، ولنفرض للبساطة أن مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ هي $\{0,\ldots, n-1\}$ لعدد صحيح موجب $n,$ بحيث تكون مصفوفات الكثافة الممثِّلة للحالات الكمومية لـ$\mathsf{X}$ مصفوفاتٍ بحجم $n\times n$. لن نحتاج فعليًا للإشارة كثيرًا إلى الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$، لكن سيكون من المفيد الإشارة إلى $n$، أي عدد الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$. كما سنفرض أن النتائج المحتملة للقياس هي الأعداد الصحيحة $0,\ldots,m-1$ لعدد صحيح موجب $m$.

لاحظ أننا نستخدم هذه التسميات للإبقاء على البساطة؛ إذ يسهل تعميم كل ما يلي على مجموعات منتهية أخرى من الحالات الكلاسيكية ونتائج القياس، بإعادة تسميتها حسب الرغبة.

القياسات الإسقاطية

تذكَّر أن القياس الإسقاطي يُوصف بمجموعة من مصفوفات الإسقاط التي مجموعها يساوي مصفوفة الهوية. بصياغة رمزية،

$$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$$

تصف قياسًا إسقاطيًا لـ$\mathsf{X}$ إذا كانت كل $\Pi_a$ مصفوفة إسقاط بحجم $n\times n$ وتحقق الشرط التالي.

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

حين يُجرى مثل هذا القياس على نظام $\mathsf{X}$ وهو في حالة يصفها متجه الحالة الكمومية $\vert\psi\rangle,$ يُحصَل على كل نتيجة $a$ باحتمال يساوي $\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$ كذلك تُحصل حالة $\mathsf{X}$ بعد القياس بتطبيع المتجه $\Pi_a\vert\psi\rangle$، لكننا نتجاهل الحالة ما بعد القياس في الوقت الحالي.

إذا وُصفت حالة $\mathsf{X}$ بمصفوفة كثافة $\rho$ بدلًا من متجه الحالة الكمومية $\vert\psi\rangle,$ فيمكننا التعبير عن احتمال الحصول على النتيجة $a$ بصيغة بديلة $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho).$

إذا كانت $\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert$ حالةً نقيةً، فإن التعبيرَين متساويان:

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$$

نستخدم هنا الخاصية الدورية للأثر في المساواة الثانية، وفي المساواة الثالثة نستخدم حقيقة أن كل $\Pi_a$ مصفوفة إسقاط، وبالتالي تحقق $\Pi_a^2 = \Pi_a.$

بشكل عام، إذا كانت $\rho$ تركيبًا محدبًا

$$\rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert$$

من حالات نقية، فإن التعبير $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$ يتطابق مع متوسط احتمال الحصول على النتيجة $a$، وذلك بفضل خطية هذا التعبير في $\rho$.

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2$$

القياسات العامة

يُستَخلص الوصف الرياضي للقياسات العامة بتخفيف تعريف القياسات الإسقاطية. تحديدًا، نسمح للمصفوفات في المجموعة الواصفة للقياس بأن تكون مصفوفات شبه محددة موجبة اعتباطية بدلًا من الإسقاطات. (الإسقاطات دائمًا شبه محددة موجبة؛ ويمكن تعريفها بديلًا بوصفها مصفوفات شبه محددة موجبة تكون قيمها الذاتية كلها إما 0 أو 1.)

بالتحديد، القياس العام لنظام $\mathsf{X}$ بنتائج $0,\ldots,m-1$ يُحدَّد بمجموعة من المصفوفات شبه المحددة الموجبة $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ التي تتوافق صفوفها وأعمدتها مع الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$، وتحقق الشرط

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

إذا قِيس النظام $\mathsf{X}$ وهو في حالة تصفها مصفوفة الكثافة $\rho,$ فإن كل نتيجة $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ تظهر باحتمال $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

كما يُتطلب طبيعيًا، يُشكِّل متجه احتمالات النتائج

$$\bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr)$$

دائمًا متجهَ احتمالات، لأي اختيار لمصفوفة الكثافة $\rho.$ الملاحظتان التاليتان تُثبتان ذلك.

1. يجب أن تكون كل قيمة $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ غير سالبة، وذلك لأن أثر حاصل ضرب أي مصفوفتين شبه محددتين موجبتين غير سالب دائمًا:

   $$Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0.$$

   إحدى طرق إثبات هذه الحقيقة هي استخدام التحليل الطيفي لـ$Q$ و$R$ مع الخاصية الدورية للأثر للتعبير عن أثر حاصل الضرب $QR$ كمجموع أعداد حقيقية غير سالبة، ومن ثَمَّ يكون غير سالب.

2. الشرط $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ مع خطية الأثر يضمن أن مجموع الاحتمالات يساوي $1.$

   $$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

مثال 1: أي قياس إسقاطي

الإسقاطات دائمًا شبه محددة موجبة، لذا فكل قياس إسقاطي هو مثال على القياس العام.

على سبيل المثال، يمكن تمثيل قياس الأساس القياسي لكيوبت بالمجموعة $\{P_0,P_1\}$ حيث

$$P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{و}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

قياس كيوبت في الحالة $\rho$ يعطينا احتمالات النتائج على النحو التالي.

$$\begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

مثال 2: قياس كيوبت غير إسقاطي

لنفترض أن $\mathsf{X}$ كيوبت، ونعرّف مصفوفتين على النحو التالي.

$$P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

كلتا المصفوفتين شبه موجبة محددة: فهما إرميتيتان، وفي كلتا الحالتين القيم الذاتية هي $1/2 \pm \sqrt{5}/6,$ وهي جميعها موجبة. كذلك لدينا $P_0 + P_1 = \mathbb{I},$ وبالتالي $\{P_0,P_1\}$ تصف قياسًا.

إذا كانت حالة $\mathsf{X}$ تُوصف بمصفوفة كثافة $\rho$ وأجرينا هذا القياس، فإن احتمال الحصول على النتيجة $0$ هو $\operatorname{Tr}(P_0 \rho)$ واحتمال الحصول على النتيجة $1$ هو $\operatorname{Tr}(P_1 \rho).$ فمثلًا، إذا كان $\rho = \vert + \rangle \langle + \vert$ فإن احتمالات النتيجتين $0$ و$1$ هي كالتالي.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

مثال 3: القياس الرباعي الوجوه

نعرّف أربعة متجهات حالة كمومية لكيوبت واحد على النحو التالي.

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned}$$

هذه الحالات الأربع تُعرف أحيانًا بالحالات الرباعية الوجوه لأنها رؤوس رباعي وجوه منتظم مرسوم داخل كرة بلوخ.

الإحداثيات الديكارتية لهذه الحالات الأربع على كرة بلوخ هي

$$(0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),$$

ويمكن التحقق من ذلك بالتعبير عن تمثيلات مصفوفة الكثافة لهذه الحالات كتركيبات خطية من مصفوفات باولي.

$$\vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$

هذه الحالات الأربع موزّعة بشكل مثالي على كرة بلوخ، كل واحدة منها على نفس المسافة من الحالات الثلاث الأخرى والزوايا بين أي اثنتين منها دائماً متساوية.

والآن لنعرّف قياساً $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ لكيوبت بأن نضع $P_a$ على النحو التالي لكل $a=0,\ldots,3.$

$$P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2}$$

يمكننا التحقق من أن هذا قياس صالح على النحو التالي.

1. كل $P_a$ موجب شبه معرّف بشكل واضح، إذ هو حالة نقية مقسومة على النصف. أي أن كل واحدة منها مصفوفة إرميتية تملك قيمة ذاتية واحدة تساوي $1/2$ وباقي القيم الذاتية صفر.
2. مجموع هذه المصفوفات هو مصفوفة الهوية: $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}.$ التعبير عن هذه المصفوفات كتركيبات خطية لمصفوفات باولي يجعل التحقق من ذلك مباشراً.

القياسات كقنوات

الطريقة الثانية لوصف القياسات بالمصطلحات الرياضية هي تمثيلها كقنوات.

يمكن النظر إلى المعلومات الكلاسيكية كحالة خاصة من المعلومات الكمومية، بقدر ما يمكننا تحديد الحالات الاحتمالية بمصفوفات الكثافة القطرية. لذا، بالمصطلحات التشغيلية، يمكننا التفكير في القياسات كقنوات تكون مدخلاتها مصفوفات تصف حالات النظام المُقاس ومخرجاتها مصفوفات كثافة قطرية تصف التوزيع الناتج لنتائج القياس.

سنرى قريباً أن أي قناة تملك هذه الخاصية يمكن دائماً كتابتها في شكل بسيط وقانوني يرتبط مباشرة بوصف القياسات كمجموعات من المصفوفات موجبة شبه معرّفة. وبالمقابل، بالنسبة لأي قياس عام معطى كمجموعة من المصفوفات، هناك دائماً قناة صالحة تملك خاصية المخرج القطري تصف القياس المعطى كما أُشير في الفقرة السابقة. بجمع هذه الملاحظات معاً، نجد أن الوصفَين للقياسات العامة متكافئان.

قبل المضي قدماً، دعنا نكون أكثر دقة في تحديد القياس وكيفية النظر إليه كقناة والافتراضات التي نتبنّاها.

كما سبق، سنفترض أن $\mathsf{X}$ هو النظام المُراد قياسه، وأن النتائج الممكنة للقياس هي الأعداد الصحيحة $0,\ldots,m-1$ لعدد صحيح موجب $m.$ نجعل $\mathsf{Y}$ هو النظام الذي يخزّن نتائج القياس، لذا مجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\{0,\ldots,m-1\},$ ونمثّل القياس كقناة اسمها $\Phi$ من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}.$ افتراضنا هو أن $\mathsf{Y}$ كلاسيكي — أي بصرف النظر عن الحالة التي نبدأ بها لـ$\mathsf{X}$، فإن حالة $\mathsf{Y}$ التي نحصل عليها تُمثَّل بمصفوفة كثافة قطرية.

يمكننا التعبير رياضياً عن أن مخرج $\Phi$ دائماً قطري بالطريقة التالية. نعرّف أولاً قناة إزالة التماسك الكاملة $\Delta_m$ على $\mathsf{Y}.$

$$\Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert$$

هذه القناة مماثلة لقناة إزالة التماسك الكاملة للكيوبت $\Delta$ من الدرس السابق. كتحويل خطي، تجعل جميع المدخلات خارج القطر الرئيسي للمصفوفة صفراً وتبقي القطر كما هو.

والآن، طريقة بسيطة للتعبير عن أن مصفوفة كثافة معطاة $\sigma$ قطرية هي من خلال المعادلة $\sigma = \Delta_m(\sigma).$ بالكلمات، جعل جميع العناصر خارج القطر الرئيسي لمصفوفة الكثافة صفراً لا يؤثر فيها إذا وفقط إذا كانت العناصر خارج القطر كلها صفراً أصلاً. القناة $\Phi$ إذن تحقق افتراضنا — أن $\mathsf{Y}$ كلاسيكي — إذا وفقط إذا كان

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

لكل مصفوفة كثافة $\rho$ تمثّل حالة $\mathsf{X}.$

تكافؤ الصياغتين

من القنوات إلى المصفوفات

لنفترض أن لدينا قناة من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}$ تملك الخاصية

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

لكل مصفوفة كثافة $\rho.$ يمكن التعبير عن هذا بشكل بديل على النحو التالي.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1}$$

كأي قناة أخرى، يمكننا التعبير عن $\Phi$ بصورة كراوس لطريقة ما في اختيار مصفوفات كراوس $A_0,\ldots,A_{N-1}.$

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

هذا يعطينا تعبيراً بديلاً للمدخلات القطرية لـ$\Phi(\rho)\!:$

$$\begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned}$$

حيث

$$P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k.$$

وهكذا، لهذه المصفوفات $P_0,\ldots,P_{m-1}$ ذاتها يمكننا التعبير عن القناة $\Phi$ على النحو التالي.

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert$$

هذا التعبير متوافق مع وصفنا للقياسات العامة من حيث المصفوفات، إذ نرى كل نتيجة قياس تظهر باحتمال $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

الآن لنلاحظ أن الخاصيتين المطلوبتين في مجموعة المصفوفات $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ لوصف قياس عام محققتان بالفعل. الخاصية الأولى هي أنها جميعاً مصفوفات موجبة شبه معرّفة. إحدى طرق رؤية ذلك هي ملاحظة أنه لكل متجه $\vert \psi\rangle$ يملك مدخلات تتوافق مع الحالة الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ لدينا

$$\langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0.$$

الخاصية الثانية هي أنه لو جمعنا هذه المصفوفات نحصل على مصفوفة الهوية.

$$\begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned}$$

المساواة الأخيرة تنبثق من حقيقة أن $\Phi$ هي قناة، لذا يجب أن تحقق مصفوفات كراوس الخاصة بها هذا الشرط.

المصفوفات إلى القنوات

الآن لنتحقق من أنه لأي مجموعة $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ من المصفوفات شبه الموجبة المُعرَّفة التي تحقق $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ فإن التطبيق المُعرَّف بـ

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert$$

هو فعلاً قناة صالحة من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}.$

إحدى الطرق للقيام بذلك هي حساب تمثيل تشوي لهذا التطبيق.

$$\begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned}$$

منقول كل $P_a$ يظهر في المساواة الثالثة لأن

$$\langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle.$$

هذا يتيح ظهور العبارتين $\vert b \rangle \langle b \vert$ و $\vert c \rangle \langle c \vert$، اللتين تتبسطان إلى مصفوفة الهوية عند الجمع على $b$ و $c$ على التوالي.

بافتراض أن $P_0,\ldots,P_{m-1}$ مصفوفات شبه موجبة مُعرَّفة، فكذلك تكون $P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}.$ وتحديدًا، منقول أي مصفوفة إرميتية هو أيضًا مصفوفة إرميتية، والقيم الذاتية لأي مصفوفة مربعة ومنقولها دائمًا متطابقة. ومن هنا نستنتج أن $J(\Phi)$ هي مصفوفة شبه موجبة مُعرَّفة. تتبع نظام الإخراج $\mathsf{Y}$ (وهو النظام على اليمين) ينتج

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

وبهذا نستنتج أن $\Phi$ هي قناة.

القياسات الجزئية

لنفترض أن لدينا أنظمة متعددة في حالة كمومية مشتركة، وتم إجراء قياس عام على أحد الأنظمة. ينتج عن ذلك أحد نتائج القياس، مُختارًا عشوائيًا وفق احتمالات تحددها القياس وحالة النظام قبيل القياس. حالة الأنظمة المتبقية ستعتمد بشكل عام على نتيجة القياس التي تم الحصول عليها.

لنفحص كيف يعمل هذا لزوج من الأنظمة $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ حين يُقاس النظام $\mathsf{X}$. (نسمي النظام الموجود على اليمين $\mathsf{Z}$ لأننا سنستخدم $\mathsf{Y}$ للدلالة على النظام الذي يمثل الإخراج الكلاسيكي للقياس حين ننظر إليه كقناة.) يمكننا بعدها تعميم الأمر بسهولة على الحالة التي تُعكس فيها الأنظمة، وكذلك على ثلاثة أنظمة أو أكثر.

لنفترض أن حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ قبل القياس توصفها مصفوفة كثافة $\rho,$ يمكننا كتابتها كما يلي.

$$\rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c}$$

في هذه العبارة نفترض أن الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{X}$ هي $0,\ldots,n-1.$

سنفترض أن القياس نفسه يوصفه مجموعة المصفوفات $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}.$ يمكن وصف هذا القياس بديلًا كقناة $\Phi$ من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y},$ حيث $\mathsf{Y}$ هو نظام جديد مجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\{0,\ldots,m-1\}.$ وتحديدًا، يمكن التعبير عن فعل هذه القناة كما يلي.

$$\Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert$$

احتمالات النتائج

نحن نقيس نظام $\mathsf{X}$، لذا فالاحتمالات التي تظهر بها النتائج المختلفة تعتمد فقط على $\rho_{\mathsf{X}}$، الحالة المُختزلة لـ $\mathsf{X}.$ وتحديدًا، احتمال ظهور كل نتيجة $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ يمكن التعبير عنه بثلاث طرق مكافئة.

$$\operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr)$$

العبارة الأولى تمثل بشكل طبيعي احتمال الحصول على النتيجة $a$ بناءً على ما نعرفه بالفعل عن قياسات النظام المنفرد. للحصول على العبارة الثانية نستخدم ببساطة التعريف $\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho).$

للحصول على العبارة الثالثة يلزم مزيد من التفكير — ويُشجَّع المتعلمون على إقناع أنفسهم بصحتها. إليك تلميحًا: التكافؤ بين العبارتين الثانية والثالثة لا يعتمد على كون $\rho$ مصفوفة كثافة أو على كون كل $P_a$ شبه موجبة مُعرَّفة. حاول إثباتها أولًا لحاصل الضرب التنسوري من الشكل $\rho = M\otimes N$ ثم استنتج صحتها بشكل عام بالخطية.

رغم أن التكافؤ بين العبارتين الأولى والثالثة في المعادلة السابقة قد لا يكون فوريًا، إلا أنه منطقي. انطلاقًا من قياس على $\mathsf{X}$، نحن نُعرِّف فعليًا قياسًا لـ $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$، حيث نتجاهل $\mathsf{Z}$ ونقيس $\mathsf{X}$ فحسب. كأي قياس، يمكن وصف هذا القياس الجديد بمجموعة من المصفوفات، وليس من المستغرب أن يوصف بالمجموعة

$$\{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}.$$

الحالات المشروطة بنتائج القياس

لو أردنا تحديد ليس فقط احتمالات النتائج المختلفة بل أيضاً الحالة الناتجة لـ$\mathsf{Z}$ بالشرط على كل نتيجة قياس، يمكننا الرجوع إلى وصف القناة للقياس. بالتحديد، لنفحص الحالة التي نحصل عليها عند تطبيق $\Phi$ على $\mathsf{X}$ مع إبقاء $\mathsf{Z}$ كما هو.

$$\begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned}$$

لاحظ أن هذه مصفوفة كثافة بحكم كون $\Phi$ قناةً، وبالتالي كل مصفوفة $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ تكون موجبة شبه محددة بالضرورة.

خطوة أخيرة تحوّل هذا التعبير إلى صيغة تكشف ما نبحث عنه.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}$$

هذا مثال على حالة كلاسيكية-كمية،

$$\sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a,$$

كما رأينا في درس مصفوفات الكثافة. لكل نتيجة قياس $a\in\{0,\ldots,m-1\},$ يكون باحتمال

$$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

أن $\mathsf{Y}$ في الحالة الكلاسيكية $\vert a \rangle \langle a \vert$ وأن $\mathsf{Z}$ في الحالة

$$\sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2}$$

أي أن هذه هي مصفوفة الكثافة التي نحصل عليها بتطبيع

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

بقسمتها على أثرها. (من الناحية الرسمية، الحالة $\sigma_a$ لا تُعرَّف إلا عندما يكون الاحتمال $p(a)$ غير صفري؛ حين يكون $p(a) = 0$ فهذه الحالة لا أهمية لها، إذ تشير إلى حدث منفصل يقع باحتمال صفر.)

بطبيعة الحال، احتمالات النتائج تتوافق مع ملاحظاتنا السابقة.

خلاصة القول، هذا ما يحدث عند إجراء القياس $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ على $\mathsf{X}$ حين يكون $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ في الحالة $\rho.$

1. كل نتيجة $a$ تظهر باحتمال $p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho).$
2. بالشرط على الحصول على النتيجة $a,$ تُمثَّل حالة $\mathsf{Z}$ حينئذٍ بمصفوفة الكثافة $\sigma_a$ الواردة في المعادلة $(2),$ والتي تُستَخرج بتطبيع $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho).$

التعميم

يمكننا تكييف هذا الوصف ليناسب حالات أخرى، كأن يكون ترتيب الأنظمة معكوساً أو حين يكون هناك ثلاثة أنظمة أو أكثر. الفكرة واضحة من الناحية المفاهيمية، وإن كان كتابة الصيغ قد يصبح مرهقاً أحياناً.

بشكل عام، إذا كان لدينا $r$ من الأنظمة $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r,$ وكانت حالة النظام المركّب $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)$ هي $\rho,$ وأُجري القياس $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ على $\mathsf{X}_k$، فإن التالي يحدث.

1. كل نتيجة $a$ تظهر باحتمال

   $$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr).$$

2. بالشرط على الحصول على النتيجة $a,$ تُمثَّل حالة $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)$ حينئذٍ بمصفوفة الكثافة التالية.

   $$\frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}$$