أساسيات القنوات الكمية

رياضيًا، القنوات هي تطبيقات خطية من مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات الكثافة تُحقق شروطًا معينة. في هذا الدرس سنستخدم الحروف اليونانية الكبيرة، بما فيها $\Phi$ و$\Psi$، إضافةً إلى بعض الحروف الأخرى في حالات محددة، للإشارة إلى القنوات.

لكل قناة $\Phi$ نظام إدخال ونظام إخراج، وسنستخدم عادةً الاسم $\mathsf{X}$ للإشارة إلى نظام الإدخال و$\mathsf{Y}$ للإشارة إلى نظام الإخراج. كثيرًا ما يكون نظام إخراج القناة هو نفسه نظام الإدخال، وفي هذه الحالة يمكننا استخدام الحرف $\mathsf{X}$ نفسه للإشارة إليهما معًا.

القنوات تطبيقات خطية

توصَف القنوات بتطبيقات خطية، تمامًا كالعمليات الاحتمالية في الصياغة القياسية للمعلومات الكلاسيكية والعمليات الأحادية في الصياغة المبسّطة للمعلومات الكمية.

إذا طُبّقت قناة $\Phi$ على نظام إدخال $\mathsf{X}$ في حالة توصفها مصفوفة الكثافة $\rho$، فإن نظام إخراج القناة توصفه مصفوفة الكثافة $\Phi(\rho)$. في الحالة التي يكون فيها نظام إخراج $\Phi$ هو أيضًا $\mathsf{X}$، يمكننا ببساطة النظر إلى القناة بوصفها تغييرًا في حالة $\mathsf{X}$ من $\rho$ إلى $\Phi(\rho)$. حين يكون نظام إخراج $\Phi$ نظامًا مختلفًا $\mathsf{Y}$ لا $\mathsf{X}$، ينبغي أن يُفهم أن $\mathsf{Y}$ نظام جديد يُنشأ بعملية تطبيق القناة، وأن نظام الإدخال $\mathsf{X}$ لم يعد متاحًا بعد تطبيق القناة — كأن القناة نفسها حوّلت $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}$، تاركةً إياه في الحالة $\Phi(\rho)$.

يمكن النظر إلى افتراض توصيف القنوات بتطبيقات خطية باعتباره بديهية — أي بعبارة أخرى، مسلّمة أساسية في النظرية لا شيئًا يُبرهَن عليه. غير أنه يمكننا رؤية ضرورة تصرّف القنوات بصورة خطية على التركيبات المحدبة لمدخلات مصفوفات الكثافة لكي تتسق مع نظرية الاحتمالات وما تعلمناه عن مصفوفات الكثافة.

بصورة أكثر تحديدًا، لنفترض أن لدينا قناة $\Phi$ ونطبّقها على نظام في إحدى الحالتين المُمثَّلتين بمصفوفتَي الكثافة $\rho$ و$\sigma$. إذا طبّقنا القناة على $\rho$ نحصل على مصفوفة الكثافة $\Phi(\rho)$، وإذا طبّقناها على $\sigma$ نحصل على مصفوفة الكثافة $\Phi(\sigma)$. وبالتالي، إذا اخترنا عشوائيًا حالة الإدخال لـ$\mathsf{X}$ لتكون $\rho$ باحتمالية $p$ و$\sigma$ باحتمالية $1-p$، سنحصل على حالة الإخراج $\Phi(\rho)$ باحتمالية $p$ و$\Phi(\sigma)$ باحتمالية $1-p$، ونُمثّل ذلك بمتوسط مرجّح لمصفوفات الكثافة: $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$.

من جهة أخرى، يمكننا التفكير في حالة إدخال القناة باعتبارها المتوسط المرجّح $p\rho + (1-p)\sigma$، وفي هذه الحالة يكون الإخراج $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$. الحالة واحدة بصرف النظر عن طريقة تفكيرنا فيها، لذا يجب أن يكون:

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

كلما كان لدينا تطبيق يُحقق هذا الشرط لكل اختيار لمصفوفتَي الكثافة $\rho$ و$\sigma$ وكل قيمة $p\in [0,1]$، فإن هناك دائمًا طريقة وحيدة لتوسيع ذلك التطبيق إلى كل مدخل مصفوفة (أي ليس فقط مدخلات مصفوفة الكثافة) بحيث يكون خطيًا.

القنوات تُحوّل مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة

طبيعيًا، بالإضافة إلى كونها تطبيقات خطية، يجب على القنوات أن تُحوّل مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة. إذا طُبّقت قناة $\Phi$ على نظام إدخال وهو في حالة توصفها مصفوفة كثافة $\rho$، نحصل على نظام حالته توصفها $\Phi(\rho)$، التي يجب أن تكون مصفوفة كثافة صالحة لنتمكن من تفسيرها كحالة.

لكن من الأهمية البالغة أن نأخذ في الاعتبار حالةً أعم، حيث تُحوّل القناة $\Phi$ النظام $\mathsf{X}$ إلى النظام $\mathsf{Y}$ في وجود نظام إضافي $\mathsf{Z}$ لا يحدث له شيء. أي أنه إذا بدأنا بالزوج من الأنظمة $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ في حالة توصفها مصفوفة كثافة ما، ثم طبّقنا $\Phi$ على $\mathsf{X}$ فحسب، محوّلين إياه إلى $\mathsf{Y}$، يجب أن نحصل على مصفوفة كثافة تصف حالة الزوج $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$.

يمكننا وصف كيفية تحويل قناة $\Phi$، بنظام إدخال $\mathsf{X}$ ونظام إخراج $\mathsf{Y}$، لحالة الزوج $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ إلى حالة $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ حين لا يُفعل شيء لـ$\mathsf{Z}$، رياضيًا. للتبسيط، سنفترض أن مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{Z}$ هي $\{0,\ldots,m-1\}$. هذا يُتيح لنا كتابة أي مصفوفة كثافة $\rho$، تُمثّل حالة $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$، بالشكل التالي:

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

في الطرف الأيمن من هذه المعادلة لدينا مصفوفة كتلية، يمكن النظر إليها كمصفوفة من المصفوفات مع إزالة الأقواس الداخلية. هذا يُعطينا مصفوفة اعتيادية يمكن وصفها بديلًا باستخدام تدوين ديراك كما في التعبير الأوسط. كل مصفوفة $\rho_{a,b}$ لها صفوف وأعمدة تقابل الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$، ويمكن تحديد هذه المصفوفات بصيغة بسيطة:

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

لاحظ أن هذه ليست مصفوفات كثافة بوجه عام — الأمر كذلك فقط حين تُرتَّب معًا لتشكّل $\rho$.

المعادلة التالية تصف حالة $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ الناتجة عن تطبيق $\Phi$ على $\mathsf{X}$:

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

لاحظ أنه لتقييم هذا التعبير لاختيار محدد لـ$\Phi$ و$\rho$، يجب أن نفهم كيف تعمل $\Phi$ كتطبيق خطي على المدخلات غير المصفوفية للكثافة، إذ لن تكون كل $\rho_{a,b}$ مصفوفة كثافة بحد ذاتها. التعبير متسق مع $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho)$، حيث $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ تُشير إلى قناة الهوية على النظام $\mathsf{Z}$. هذا يفترض أننا وسّعنا مفهوم الضرب التنسوري ليشمل التطبيقات الخطية من المصفوفات إلى المصفوفات، وهو أمر مباشر — لكنه ليس ضروريًا جوهريًا للدرس ولن نشرحه أكثر.

تأكيدًا لما ذُكر أعلاه، لكي يكون التطبيق الخطي $\Phi$ قناةً صالحة يجب أنه لكل اختيار لـ$\mathsf{Z}$ ولكل مصفوفة كثافة $\rho$ للزوج $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$، نحصل دائمًا على مصفوفة كثافة عند تطبيق $\Phi$ على $\mathsf{X}$. رياضيًا، الخصائص التي يجب أن يمتلكها التطبيق ليكون قناةً هي أن يكون محافظًا على الأثر — لتكون المصفوفة الناتجة من تطبيق القناة ذات أثر يساوي واحدًا — وكذلك موجبًا تمامًا — لتكون المصفوفة الناتجة شبه محددة موجبًا. هاتان الخاصيتان مهمتان يمكن دراستهما بشكل مستقل، لكن دراستهما بمعزل عن بعض ليست حاسمة لأغراض هذا الدرس.

ثمة في الواقع تطبيقات خطية تُخرج دائمًا مصفوفة كثافة عند إعطائها مصفوفة كثافة كإدخال، لكنها تُخفق في تحويل مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة للأنظمة المركبة، وهكذا نستبعد بعض التطبيقات الخطية من فئة القنوات. (التطبيق الخطي المُعطى بنقل المصفوفة هو أبسط مثال على ذلك.)

لدينا صيغة مماثلة لإحدى الصيغ السابقة في حال تبديل موضع النظامَين $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Z}$، بحيث تُطبَّق $\Phi$ على النظام على اليسار لا اليمين:

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

هذا يفترض أن $\rho$ حالة للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ لا $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$. هنا لا يصلح وصف المصفوفة الكتلية لأن مصفوفات $\rho_{a,b}$ لا تقع في صفوف وأعمدة متتالية من $\rho$، لكنها نفس البنية الرياضية الأساسية.

أي تطبيق خطي يُحقق شرط تحويل مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة دائمًا، حتى حين يُطبَّق على جزء واحد فقط من أنظمة مركبة، يُمثّل قناةً صالحة. وبالتالي، بالمعنى المجرد، مفهوم القناة تحدده مفهوم مصفوفة الكثافة، إضافةً إلى افتراض أن القنوات تتصرف بصورة خطية. بهذا المعنى، القنوات تشبه العمليات الأحادية في الصياغة المبسّطة للمعلومات الكمية، وهي بالضبط التطبيقات الخطية التي تُحوّل دائمًا متجهات الحالة الكمية إلى متجهات حالة كمية لنظام معين؛ كما تشبه العمليات الاحتمالية (المُمثَّلة بالمصفوفات العشوائية) في الصياغة القياسية للمعلومات الكلاسيكية، وهي بالضبط التطبيقات الخطية التي تُحوّل دائمًا متجهات الاحتمالات إلى متجهات احتمالات.

العمليات الأحادية كقنوات

لنفترض أن $\mathsf{X}$ نظام وأن $U$ مصفوفة أحادية تُمثّل عملية على $\mathsf{X}$. تُعرَّف القناة $\Phi$ التي تصف هذه العملية على مصفوفات الكثافة كما يلي لكل مصفوفة كثافة $\rho$ تُمثّل حالة كمية لـ$\mathsf{X}$:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

يُشار إلى هذا الإجراء، حيث نضرب في $U$ من اليسار وفي $U^{\dagger}$ من اليمين، عادةً بـالاقتران بالمصفوفة $U$.

هذا الوصف يتسق مع حقيقة أن مصفوفة الكثافة التي تُمثّل متجه حالة كمية معطى $\vert\psi\rangle$ هي $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$. تحديدًا، إذا طُبّقت العملية الأحادية $U$ على $\vert\psi\rangle$، فإن حالة الإخراج تُمثَّل بالمتجه $U\vert\psi\rangle$، وبالتالي مصفوفة الكثافة التي تصف هذه الحالة تساوي:

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

بمجرد أن نعرف أن العملية $U$، بوصفها قناة، لها الإجراء $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ على الحالات النقية، يمكننا الاستنتاج بالخطية أنها يجب أن تعمل كما تنص عليه المعادلة $(1)$ أعلاه لأي مصفوفة كثافة $\rho$.

القناة المحددة التي نحصل عليها حين نأخذ $U = \mathbb{I}$ هي قناة الهوية $\;\operatorname{Id}$، التي يمكننا إضافة منخفض لها (كـ$\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ كما صادفنا) حين نريد الإشارة صراحةً إلى النظام الذي تتصرف عليه. مخرجها يساوي دائمًا مدخلها: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho$. قد لا يبدو هذا قناةً مثيرة للاهتمام، لكنها في الواقع قناة مهمة جدًا — ومن المناسب أن يكون هذا مثالنا الأول. قناة الهوية هي القناة المثالية في بعض السياقات، إذ تُمثّل ذاكرة مثالية أو نقلًا مثاليًا خاليًا من الضوضاء للمعلومات من مرسِل إلى مستقبِل.

كل قناة مُعرَّفة بعملية أحادية بهذه الطريقة هي قناة صالحة بالفعل: الاقتران بمصفوفة $U$ يُعطينا تطبيقًا خطيًا؛ وإذا كانت $\rho$ مصفوفة كثافة للنظام $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ وكانت $U$ أحادية، فإن الناتج الذي يمكن التعبير عنه بـ:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

هو أيضًا مصفوفة كثافة. تحديدًا، هذه المصفوفة يجب أن تكون شبه محددة موجبًا، إذ إذا كان $\rho = M^{\dagger} M$ فإن:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

لـ$K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})$، ويجب أن يكون لها أثر يساوي الوحدة بالخاصية الدورية للأثر:

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

التركيبات المحدبة للقنوات

لنفترض أن لدينا قناتين $\Phi_0$ و$\Phi_1$ تشتركان في نفس نظام الإدخال ونفس نظام الإخراج. لأي عدد حقيقي $p\in[0,1]$، يمكننا اختيار تطبيق $\Phi_0$ باحتمالية $p$ و $\Phi_1$ باحتمالية $1-p$، مما يُعطينا قناةً جديدة يمكن كتابتها بـ$p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1$. طريقة عمل هذه القناة على مصفوفة كثافة معطاة تُحدد بالمعادلة البسيطة التالية:

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

بصورة أعم، إذا كان لدينا قنوات $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ ومتجه احتمالات $(p_0,\ldots, p_{m-1})$، يمكننا تحقيق متوسط لهذه القنوات للحصول على قناة جديدة:

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

هذه تركيبة محدبة من القنوات، ونحصل دائمًا على قناة صالحة من خلال هذه العملية. طريقة بسيطة للتعبير عن هذا رياضيًا هي أنه لاختيار معين لنظامَي الإدخال والإخراج، مجموعة جميع القنوات هي مجموعة محدبة.

كمثال، يمكننا اختيار تطبيق إحدى مجموعة من العمليات الأحادية على نظام معين. نحصل على ما يُعرف بقناة أحادية مختلطة، وهي قناة يمكن التعبير عنها بالشكل التالي:

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

القنوات الأحادية المختلطة التي تكون فيها جميع العمليات الأحادية مصفوفات باولي (أو حاصل ضربها التنسوري) تُسمى قنوات باولي، وكثيرًا ما نصادفها في الحوسبة الكمية.

أمثلة على قنوات الكيوبت

الآن سننظر في بعض الأمثلة المحددة للقنوات التي ليست أحادية. في جميع هذه الأمثلة، نظاما الإدخال والإخراج كلاهما كيوبتات منفردة، أي أن هذه أمثلة على قنوات الكيوبت.

قناة إعادة ضبط الكيوبت

هذه القناة تفعل شيئًا بسيطًا جدًا: تُعيد ضبط كيوبت إلى الحالة $\vert 0\rangle$. كتطبيق خطي يمكن التعبير عن هذه القناة كما يلي لكل مصفوفة كثافة كيوبت $\rho$:

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

رغم أن أثر كل مصفوفة كثافة $\rho$ يساوي $1$، فإن كتابة القناة بهذه الطريقة يُوضّح أنها تطبيق خطي يمكن تطبيقه على أي مصفوفة $2\times 2$، لا فقط على مصفوفة كثافة. كما لاحظنا، نحتاج إلى فهم كيف تعمل القنوات كتطبيقات خطية على مدخلات غير مصفوفية للكثافة لوصف ما يحدث حين تُطبَّق على جزء واحد فقط من نظام مركب.

فمثلًا، لنفترض أن $\mathsf{A}$ و$\mathsf{B}$ كيوبتان ومعًا الزوج $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ في حالة بيل $\vert \phi^+\rangle$. كمصفوفة كثافة، هذه الحالة معطاة بـ:

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

باستخدام تدوين ديراك يمكننا التعبير عن هذه الحالة بديلًا على النحو التالي:

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

بتطبيق قناة إعادة ضبط الكيوبت على $\mathsf{A}$ وعدم فعل شيء لـ$\mathsf{B}$ نحصل على الحالة التالية:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

قد يكون من المغري القول إن إعادة ضبط $\mathsf{A}$ أثّرت في $\mathsf{B}$، مُحوِّلةً إياه إلى حالة مختلطة تمامًا — لكن بمعنى ما الأمر عكس ذلك. قبل إعادة ضبط $\mathsf{A}$، كانت الحالة المختزلة لـ$\mathsf{B}$ هي الحالة المختلطة تمامًا، ولا يتغير ذلك نتيجة إعادة ضبط $\mathsf{A}$.

قناة إزالة الترابط الطوري الكاملة

إليك مثال لقناة كيوبت تُسمى $\Delta$، موصوفة بإجراءها على المصفوفات $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

بالكلمات، تُلغي $\Delta$ المدخلات خارج القطر في مصفوفة $2\times 2$. يمكن تعميم هذا المثال لأي نظام عوضًا عن الكيوبتات: مهما كان مدخل مصفوفة الكثافة، تُلغي القناة جميع المدخلات خارج القطر وتترك القطر كما هو.

تُسمى هذه القناة بـقناة إزالة الترابط الطوري الكاملة، ويمكن النظر إليها باعتبارها تُمثّل شكلًا متطرفًا للعملية المعروفة بـإزالة الترابط — التي تُفسد جوهريًا التراكبات الكمية وتحوّلها إلى حالات احتمالية كلاسيكية.

طريقة أخرى للتفكير في هذه القناة هي أنها تصف قياسًا بالأساس القياسي على كيوبت، حيث يُقاس كيوبت الإدخال ثم يُهمَل، ويكون الإخراج مصفوفة كثافة تصف نتيجة القياس. بديلًا، لكن بصورة مكافئة، يمكن تصوّر أن نتيجة القياس تُهمَل، تاركةً الكيوبت في حالته بعد القياس.

لننظر مجددًا في إي-بت، ونرى ما يحدث حين تُطبَّق $\Delta$ على إحدى الكيوبتين فحسب. تحديدًا، لدينا كيوبتان $\mathsf{A}$ و$\mathsf{B}$ بحيث يكون $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ في الحالة $\vert\phi^+\rangle$، وهذه المرة سنطبّق القناة على الكيوبت الثانية. إليك الحالة التي نحصل عليها:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

يمكننا أيضًا التعبير عن هذه المعادلة باستخدام المصفوفات الكتلية:

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

يمكننا أيضًا النظر في قناة كيوبت تُزيل الترابط الطوري بشكل طفيف فقط، على عكس إزالته الكاملة، وهو شكل أقل تطرفًا لإزالة الترابط مما تُمثّله قناة إزالة الترابط الطوري الكاملة. تحديدًا، لنفترض أن $\varepsilon \in (0,1)$ عدد حقيقي صغير لكن غير صفري. يمكننا تعريف قناة:

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

التي تُحوّل مصفوفة كثافة كيوبت معطاة $\rho$ كما يلي:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

أي أنه لا يحدث شيء باحتمالية $1-\varepsilon$، وباحتمالية $\varepsilon$ يُزال الترابط الطوري من الكيوبت. بحيث من الناحية المصفوفية، يُعبَّر عن هذا الإجراء على النحو التالي، حيث تُترك مدخلات القطر كما هي وتُضرب المدخلات خارج القطر في $1-\varepsilon$:

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

قناة الاستقطاب الكامل

إليك مثال آخر على قناة كيوبت نسميها $\Omega$:

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

هنا $\mathbb{I}$ تُشير إلى مصفوفة الهوية $2\times 2$. بالكلمات، لأي مدخل من مصفوفة الكثافة $\rho$، تُخرج القناة $\Omega$ الحالة المختلطة تمامًا. لا يمكن أن تكون القناة أكثر ضوضاءً من هذا! تُسمى هذه القناة بـقناة الاستقطاب الكامل، وكقناة إزالة الترابط الطوري الكاملة، يمكن تعميمها لأي أنظمة بدلًا من الكيوبتات.

يمكننا أيضًا النظر في متغير أقل تطرفًا من هذه القناة حيث يحدث الاستقطاب باحتمالية $\varepsilon$، على غرار ما رأيناه لقناة إزالة الترابط الطوري:

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$