تكافؤ التمثيلات

ناقشنا حتى الآن ثلاث طرق مختلفة لتمثيل القنوات رياضياً، وهي تمثيلات ستينسبرينغ، وتمثيلات كراوس، وتمثيلات تشوي. كما لدينا تعريف القناة، الذي يشترط أن تكون القناة تحويلاً خطياً يحوّل دائماً مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة، حتى حين تُطبَّق القناة على جزء فقط من نظام مركّب. الجزء المتبقي من الدرس مكرّس لإثبات رياضي بأن التمثيلات الثلاثة متكافئة وتُعبّر بدقة عن التعريف.

نظرة عامة على البرهان

هدفنا هو إثبات تكافؤ مجموعة من أربع عبارات، وسنبدأ بصياغتها بدقة. تتبع العبارات الأربع الاصطلاحات المستخدمة طوال الدرس، وهي أن $\Phi$ تحويل خطي من المصفوفات المربعة إلى المصفوفات المربعة، وأن صفوف وأعمدة مصفوفات المدخلات وُضعت بالتوافق مع الحالات الكلاسيكية لنظام $\mathsf{X}$ (نظام المدخلات)، وأن صفوف وأعمدة مصفوفات المخرجات وُضعت بالتوافق مع الحالات الكلاسيكية لنظام $\mathsf{Y}$ (نظام المخرجات).

1. $\Phi$ قناة من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}$. أي أن $\Phi$ تحوّل دائماً مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة، حتى حين تعمل على جزء من نظام مركّب أكبر.

2. مصفوفة تشوي $J(\Phi)$ شبه محددة موجبة وتحقق الشرط $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

3. يوجد تمثيل كراوس لـ$\Phi$. أي توجد مصفوفات $A_0,\ldots,A_{N-1}$ تحقق المعادلة $\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$ لكل مدخل $\rho$، وتحقق الشرط $\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

4. يوجد تمثيل ستينسبرينغ لـ$\Phi$. أي توجد أنظمة $\mathsf{W}$ و$\mathsf{G}$ تتساوى فيهما الزوجان $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ و$(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ في عدد الحالات الكلاسيكية، إلى جانب مصفوفة أحادية $U$ تمثّل عملية أحادية من $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ إلى $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$، بحيث $\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}}\bigl( U (\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$.

تعتمد طريقة البرهان على إثبات دورة من الاستلزامات: العبارة الأولى في قائمتنا تستلزم الثانية، والثانية تستلزم الثالثة، والثالثة تستلزم الرابعة، والرابعة تستلزم الأولى. هذا يثبت أن العبارات الأربع متكافئة — أي أنها إما كلها صحيحة أو كلها خاطئة لأي اختيار معين لـ$\Phi$ — لأن الاستلزامات يمكن اتباعها بشكل تعدّي من أي عبارة إلى أي عبارة أخرى.

هذه استراتيجية شائعة عند إثبات تكافؤ مجموعة من العبارات، وحيلة مفيدة في هذا السياق هي ترتيب الاستلزامات بطريقة تجعلها أسهل ما يمكن في الإثبات. وهذا ما تم هنا بالفعل — وفي الواقع لقد صادفنا اثنين من الاستلزامات الأربعة سابقاً.

من القنوات إلى مصفوفات تشوي

بالإشارة إلى العبارات المذكورة أعلاه بأرقامها، الاستلزام الأول المراد إثباته هو 1 $\Rightarrow$ 2. ناقشنا هذا الاستلزام في سياق حالة تشوي للقناة. سنلخص هنا التفاصيل الرياضية.

افترض أن مجموعة الحالات الكلاسيكية لنظام المدخلات $\mathsf{X}$ هي $\Sigma$ وليكن $n = \vert\Sigma\vert$. خذ الوضع الذي تُطبَّق فيه $\Phi$ على نسخة ثانية من نسختين من $\mathsf{X}$ معاً في الحالة

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a \in \Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle,$$

والتي تُعطى كمصفوفة كثافة بالصيغة

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b \in \Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert.$$

يمكن كتابة النتيجة على النحو التالي

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n},$$

وبافتراض أن $\Phi$ قناة، يجب أن يكون هذا مصفوفة كثافة. كأي مصفوفة كثافة، يجب أن تكون شبه محددة موجبة، وضرب مصفوفة شبه محددة موجبة في عدد حقيقي موجب يعطي مصفوفة شبه محددة موجبة أخرى، لذا $J(\Phi) \geq 0$.

علاوة على ذلك، بافتراض أن $\Phi$ قناة، يجب أن تحفظ الأثر، وبالتالي

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert\\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

من تمثيلات تشوي إلى تمثيلات كراوس

الاستلزام الثاني، مع الإشارة مجدداً إلى العبارات في قائمتنا بأرقامها، هو 2 $\Rightarrow$ 3. للتوضيح، نحن نتجاهل العبارات الأخرى — ولا يمكننا بالتحديد افتراض أن $\Phi$ قناة. كل ما يمكننا الاستناد إليه هو أن $\Phi$ تحويل خطي يحقق تمثيله بمصفوفة تشوي $J(\Phi) \geq 0$ والشرط $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

هذا وحده كافٍ للاستنتاج بأن $\Phi$ لها تمثيل كراوس

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

يحقق الشرط

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

نبدأ بالافتراض البالغ الأهمية بأن $J(\Phi)$ شبه محددة موجبة، مما يعني إمكانية التعبير عنها على الشكل

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \tag{1}$$

لطريقة ما في اختيار المتجهات $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$. بشكل عام ستكون هناك طرق متعددة لتحقيق ذلك — وفي الواقع هذا يعكس مباشرةً الحرية الموجودة في اختيار تمثيل كراوس لـ$\Phi$.

إحدى طرق الحصول على مثل هذا التعبير هي استخدام مبرهنة الطيف أولاً للكتابة

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \lambda_k \vert \gamma_k \rangle \langle \gamma_k \vert,$$

حيث $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$ هي القيم الذاتية لـ$J(\Phi)$ (التي هي بالضرورة أعداد حقيقية غير سالبة لأن $J(\Phi)$ شبه محددة موجبة) و$\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{N-1}\rangle$ هي متجهات ذاتية وحدوية مقابلة للقيم الذاتية $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$.

لاحظ أنه رغم عدم وجود حرية في اختيار القيم الذاتية (باستثناء ترتيبها)، هناك حرية في اختيار المتجهات الذاتية، لا سيما حين تكون هناك قيم ذاتية متعددة. لذا، هذا ليس تعبيراً فريداً لـ$J(\Phi)$ — نحن نفترض فقط وجود مثل هذا التعبير. بصرف النظر عن ذلك، بما أن القيم الذاتية أعداد حقيقية غير سالبة، فإن لها جذوراً تربيعية غير سالبة، وبالتالي يمكننا اختيار

$$\vert\psi_k\rangle = \sqrt{\lambda_k} \vert \gamma_k\rangle$$

لكل $k = 0,\ldots,N-1$ للحصول على تعبير من الشكل $(1)$.

ليس ضرورياً أن يأتي التعبير $(1)$ من تحليل طيفي بهذه الطريقة، وبالتحديد لا يلزم أن تكون المتجهات $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ متعامدة بشكل عام. والجدير بالملاحظة أنه يمكننا اختيار هذه المتجهات لتكون متعامدة إذا أردنا — وعلاوة على ذلك لا نحتاج أبداً أن يكون $N$ أكبر من $nm$ (مع التذكير بأن $n$ و$m$ يشيران إلى أعداد الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ على التوالي).

بعد ذلك، يمكن تحليل كل من المتجهات $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ على النحو التالي

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle,$$

حيث المتجهات $\{ \vert \phi_{k,a}\rangle \}$ لها مداخل مقابلة للحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{Y}$ ويمكن تحديدها صراحةً من المعادلة

$$\vert \phi_{k,a}\rangle = \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}\bigr) \vert \psi_k\rangle$$

لكل $a\in\Sigma$ و$k=0,\ldots,N-1$. رغم أن $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ليست بالضرورة متجهات وحدوية، هذه هي نفس العملية التي نستخدمها لتحليل ما يحدث إذا أُجريت قياس بالأساس القياسي على النظام $\mathsf{X}$ لحالة كمومية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

ونصل الآن إلى الحيلة التي تجعل هذا الجزء من البرهان ينجح. نُعرّف مصفوفات كراوس $A_0,\ldots,A_{N-1}$ وفق المعادلة التالية.

$$A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

يمكننا التفكير في هذه الصيغة بشكل رمزي بحت: يُقلب $\vert a\rangle$ فعلياً لتشكيل $\langle a\vert$ ويُنقل إلى الجهة اليمنى، مشكّلاً مصفوفة. لأغراض التحقق من البرهان، الصيغة وحدها هي كل ما نحتاجه.

ثمة علاقة بسيطة وبديهية بين المتجه $\vert\psi_k\rangle$ والمصفوفة $A_k$، وهي أننا بـمتجهة $A_k$ نحصل على $\vert\psi_k\rangle$. متجهة $A_k$ تعني أننا نرص الأعمدة فوق بعضها (مع العمود الأيسر في الأعلى وصولاً إلى الأيمن في الأسفل)، لتكوين متجه. مثلاً، إذا كانت $\mathsf{X}$ و$\mathsf{Y}$ كلتاهما كيوبتات، ولاختيار معين لـ$k$ كان

$$\begin{aligned} \vert\psi_k\rangle & = \alpha_{00} \vert 0\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{01} \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle + \alpha_{10} \vert 1\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{11} \vert 1\rangle \otimes \vert 1\rangle\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} \\[1mm] \alpha_{01} \\[1mm] \alpha_{10} \\[1mm] \alpha_{11} \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

فإن

$$\begin{aligned} A_k & = \alpha_{00} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \alpha_{01} \vert 1\rangle\langle 0\vert + \alpha_{10} \vert 0\rangle\langle 1\vert + \alpha_{11} \vert 1\rangle\langle 1\vert\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{10}\\[1mm] \alpha_{01} & \alpha_{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

(تحذير: أحياناً تُعرَّف متجهة مصفوفة بطريقة مختلفة قليلاً، وهي أن صفوف المصفوفة تُنقل وتُرص فوق بعضها لتشكيل متجه عمودي.)

سنتحقق أولاً من أن مصفوفات كراوس هذه تصف بشكل صحيح التحويل $\Phi$، ثم نتحقق من الشرط المطلوب الآخر. لإبقاء الأمور واضحة، لنعرّف تحويلاً جديداً $\Psi$ كالآتي.

$$\Psi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

هدفنا إذن هو التحقق من أن $\Psi = \Phi$.

الطريقة هي مقارنة تمثيلات تشوي لهذين التحويلين. تمثيلات تشوي أمينة، لذا $\Psi = \Phi$ إذا وفقط إذا $J(\Phi) = J(\Psi)$. في هذه المرحلة يمكننا ببساطة حساب $J(\Psi)$ باستخدام التعبيرين

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle \quad\text{و}\quad A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

مع خاصية الثنائية الخطية للضرب التنسوري للتبسيط.

$$\begin{aligned} J(\Psi) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \vert a\rangle \langle b \vert A_k^{\dagger}\\[2mm] & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a} \rangle\biggr) \biggl(\sum_{b\in\Sigma} \langle b\vert \otimes \langle \phi_{k,b} \vert\biggr)\\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \\[2mm] & = J(\Phi) \end{aligned}$$

إذن مصفوفات كراوس تصف $\Phi$ بشكل صحيح.

يبقى التحقق من الشرط المطلوب على $A_0,\ldots,A_{N-1}$، والذي يتبيّن أنه مكافئ للافتراض $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ (الذي لم نستخدمه بعد). ما سنبيّنه هو هذه العلاقة:

$$\Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr)^{T} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) \tag{2}$$

(حيث نشير إلى الناقل للمصفوفة على الجانب الأيسر).

بالبدء من اليسار، يمكننا أولاً ملاحظة أن

$$\begin{aligned} \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T & = \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert b \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle a \vert\Biggr)^T\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

تتبع المساواة الأخيرة من حقيقة أن الناقل عملية خطية تحوّل $\vert b\rangle\langle a \vert$ إلى $\vert a\rangle\langle b \vert$.

بالانتقال إلى الجانب الأيمن من معادلتنا، لدينا

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k \vert = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert$$

وبالتالي

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert \bigr)\, \vert a\rangle \langle b \vert\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

حصلنا على النتيجة نفسها، وبالتالي تم التحقق من المعادلة $(2)$. يتبع من ذلك، بافتراض $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$، أن

$$\Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

وبالتالي، بما أن مصفوفة الهوية ناقلها هي هي، يكون الشرط المطلوب متحققاً.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

من تمثيلات كراوس إلى تمثيلات ستينسبرينغ

لنفترض الآن أن لدينا تمثيل كراوس لتحويل

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

يحقق

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

هدفنا هو إيجاد تمثيل ستينسبرينغ لـ$\Phi$.

ما نريد فعله أولاً هو اختيار نظام المهملات $\mathsf{G}$ بحيث تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية $\{0,\ldots,N-1\}$. لكن حتى يكون للزوجين $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ و$(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ نفس الحجم، يجب أن يكون $n$ يقسم $m N$، مما يسمح لنا بأن يكون لـ$\mathsf{W}$ حالات كلاسيكية $\{0,\ldots,d-1\}$ حيث $d = mN/n$.

لاختيار اعتباطي لـ$n$ و$m$ و$N$، قد لا يكون $mN/n$ عدداً صحيحاً، لذا لسنا أحراراً فعلاً في اختيار $\mathsf{G}$ بحيث تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية $\{0,\ldots,N-1\}$. لكن يمكننا دائماً زيادة $N$ بشكل اعتباطي في تمثيل كراوس باختيار $A_k = 0$ لأي عدد إضافي من قيم $k$ كما نشاء.

وهكذا، إذا افترضنا ضمنياً أن $mN/n$ عدد صحيح، وهو مكافئ لكون $N$ مضاعفاً لـ$m/\operatorname{gcd}(n,m)$، فنحن أحرار في اختيار $\mathsf{G}$ بحيث تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية $\{0,\ldots,N-1\}$. بالتحديد، إذا كان $N = nm$، فيمكن أن يكون لـ$\mathsf{W}$ حالات كلاسيكية $m^2$.

يبقى اختيار $U$، وسنفعل ذلك بمطابقة النمط التالي.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{N-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

للتوضيح، هذا النمط يقترح مصفوفة كتلية، حيث كل كتلة (بما فيها $A_{0},\ldots,A_{N-1}$ والكتل المعلّمة بعلامة الاستفهام) لها $m$ صف و$n$ عمود. هناك $N$ صفاً من الكتل، مما يعني وجود $d = mN/n$ عموداً من الكتل.

بصياغة أكثر رياضية، سنعرّف $U$ كالآتي

$$\begin{aligned} U & = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{d-1} \vert k \rangle \langle j \vert \otimes M_{k,j} \\[4mm] & = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} & \cdots & M_{0,d-1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} & \cdots & M_{1,d-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] M_{N-1,0} & M_{N-1,1} & \cdots & M_{N-1,d-1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

حيث كل مصفوفة $M_{k,j}$ لها $m$ صف و$n$ عمود، وتحديداً سنأخذ $M_{k,0} = A_k$ لـ$k = 0,\ldots,N-1$.

يجب أن تكون هذه مصفوفة أحادية، ويجب اختيار الكتل المعلّمة بعلامة الاستفهام، أي $M_{k,j}$ لـ$j>0$، مع مراعاة ذلك — لكن باستثناء السماح لـ$U$ بالأحادية، لن تكون للكتل المعلّمة بعلامة الاستفهام أي صلة بالبرهان.

لنتجاهل مؤقتاً القلق من أحادية $U$ ونركّز على التعبير

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

الذي يصف حالة المخرجات لـ$\mathsf{Y}$ لحالة المدخلات $\rho$ لـ$\mathsf{X}$ في تمثيل ستينسبرينغ لدينا. يمكننا كتابة ذلك بديلاً

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{W}}) \rho (\langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{W}}) U^{\dagger},$$

ومن اختيارنا لـ$U$ نرى أن

$$U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{W}}) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k.$$

نجد إذن أن

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \vert k\rangle\langle j\vert \otimes A_k \rho A_j^{\dagger},$$

وبالتالي

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger}\bigr) & = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert k\rangle\langle j\vert\bigr) \, A_k \rho A_j^{\dagger} \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger} \\ & = \Phi(\rho). \end{aligned}$$

لدينا إذن تمثيل صحيح للتحويل $\Phi$، ويبقى التحقق من إمكانية اختيار $U$ لتكون أحادية.

خذ الأعمدة الـ$n$ الأولى من $U$ حين تُختار وفق النمط أعلاه. بأخذ هذه الأعمدة وحدها، لدينا مصفوفة كتلية

$$\begin{pmatrix} A_0\\[1mm] A_1\\[1mm] \vdots\\[1mm] A_{N-1} \end{pmatrix}.$$

هناك $n$ عمود، واحد لكل حالة كلاسيكية لـ$\mathsf{X}$، وكمتجهات لنسمّ الأعمدة $\vert \gamma_a \rangle$ لكل $a\in\Sigma$. إليك صيغة لهذه المتجهات يمكن مطابقتها مع تمثيل المصفوفة الكتلية أعلاه.

$$\vert \gamma_a\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k \vert a \rangle$$

الآن لنحسب الضرب الداخلي بين أي متجهين من هذه المتجهات، أي لأي اختيار لـ$a,b\in\Sigma$.

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \langle k \vert j \rangle \, \langle a \vert A_k^{\dagger} A_j \vert b\rangle = \langle a \vert \Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr) \vert b\rangle$$

بافتراض

$$\sum_{k = 0}^{m-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

نستنتج أن المتجهات العمودية الـ$n$ $\{\vert\gamma_a\rangle\,:\,a\in\Sigma\}$ تشكّل مجموعة متعامدة وحدوية:

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

لكل $a,b\in\Sigma$.

هذا يعني أنه يمكن ملء الأعمدة المتبقية من $U$ لتصبح مصفوفة أحادية. بالتحديد، يمكن استخدام عملية التعامد عبر طريقة غرام-شميدت لاختيار الأعمدة المتبقية. شيء مشابه تم في درس الدوائر الكمومية من "أساسيات المعلومات الكمومية" في سياق مسألة تمييز الحالات.

من تمثيلات ستينسبرينغ إلى التعريف

الاستلزام الأخير هو 4 $\Rightarrow$ 1. أي نفترض أن لدينا عملية أحادية تحوّل زوجاً من الأنظمة $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ إلى الزوج $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$، وهدفنا هو الاستنتاج بأن التحويل

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

قناة صالحة. من شكله، يتضح أن $\Phi$ خطية، ويبقى التحقق من أنها تحوّل دائماً مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة. هذا واضح نسبياً وقد ناقشنا النقاط الرئيسية له سابقاً.

تحديداً، إذا بدأنا بمصفوفة كثافة $\sigma$ لنظام مركّب $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$، ثم أضفنا نظام فضاء عمل إضافياً $\mathsf{W}$، سنحصل بالتأكيد على مصفوفة كثافة. بإعادة ترتيب الأنظمة $(\mathsf{W},\mathsf{Z},\mathsf{X})$ لأغراض الملاءمة، يمكننا كتابة هذه الحالة كـ

$$\vert 0\rangle\langle 0\vert_{\mathsf{W}} \otimes \sigma.$$

ثم نطبّق العملية الأحادية $U$، وكما ناقشنا سابقاً هي قناة صالحة، وبالتالي تحوّل مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة. أخيراً، الأثر الجزئي لمصفوفة كثافة هو مصفوفة كثافة أخرى.

طريقة أخرى للنظر في الأمر هي ملاحظة أن كلاً من هذه الأشياء قناة صالحة:

1. إدخال نظام فضاء عمل مُهيَّأ.
2. تنفيذ عملية أحادية.
3. أخذ أثر نظام جزئياً.

وأخيراً، أي تركيب من القنوات هو قناة أخرى — وهذا مباشر من التعريف، لكنه أيضاً حقيقة تستحق الملاحظة في حد ذاتها.

هذا يُتمّ برهان الاستلزام الأخير، وبالتالي أثبتنا تكافؤ العبارات الأربع المذكورة في بداية القسم.