تكافؤ التمثيلات

ناقشنا حتى الآن ثلاث طرق مختلفة لتمثيل القنوات رياضياً، وهي تمثيلات ستينسبرينغ، وتمثيلات كراوس، وتمثيلات تشوي. كما لدينا تعريف القناة، الذي يشترط أن تكون القناة تحويلاً خطياً يحوّل دائماً مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة، حتى حين تُطبَّق القناة على جزء فقط من نظام مركّب. الجزء المتبقي من الدرس مكرّس لإثبات رياضي بأن التمثيلات الثلاثة متكافئة وتُعبّر بدقة عن التعريف.

نظرة عامة على البرهان

هدفنا هو إثبات تكافؤ مجموعة من أربع عبارات، وسنبدأ بصياغتها بدقة. تتبع العبارات الأربع الاصطلاحات المستخدمة طوال الدرس، وهي أن $\Phi$ تحويل خطي من المصفوفات المربعة إلى المصفوفات المربعة، وأن صفوف وأعمدة مصفوفات المدخلات وُضعت بالتوافق مع الحالات الكلاسيكية لنظام $\mathsf{X}$ (نظام المدخلات)، وأن صفوف وأعمدة مصفوفات المخرجات وُضعت بالتوافق مع الحالات الكلاسيكية لنظام $\mathsf{Y}$ (نظام المخرجات).

1. $\Phi$ قناة من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}$. أي أن $\Phi$ تحوّل دائماً مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة، حتى حين تعمل على جزء من نظام مركّب أكبر.

2. مصفوفة تشوي $J(\Phi)$ شبه محددة موجبة وتحقق الشرط $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

3. يوجد تمثيل كراوس لـ$\Phi$. أي توجد مصفوفات $A_0,\ldots,A_{N-1}$ تحقق المعادلة $\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$ لكل مدخل $\rho$، وتحقق الشرط $\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

4. يوجد تمثيل ستينسبرينغ لـ$\Phi$. أي توجد أنظمة $\mathsf{W}$ و$\mathsf{G}$ تتساوى فيهما الزوجان $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ و$(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ في عدد الحالات الكلاسيكية، إلى جانب مصفوفة أحادية $U$ تمثّل عملية أحادية من $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ إلى $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$، بحيث $\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}}\bigl( U (\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$.

تعتمد طريقة البرهان على إثبات دورة من الاستلزامات: العبارة الأولى في قائمتنا تستلزم الثانية، والثانية تستلزم الثالثة، والثالثة تستلزم الرابعة، والرابعة تستلزم الأولى. هذا يثبت أن العبارات الأربع متكافئة — أي أنها إما كلها صحيحة أو كلها خاطئة لأي اختيار معين لـ$\Phi$ — لأن الاستلزامات يمكن اتباعها بشكل تعدّي من أي عبارة إلى أي عبارة أخرى.

هذه استراتيجية شائعة عند إثبات تكافؤ مجموعة من العبارات، وحيلة مفيدة في هذا السياق هي ترتيب الاستلزامات بطريقة تجعلها أسهل ما يمكن في الإثبات. وهذا ما تم هنا بالفعل — وفي الواقع لقد صادفنا اثنين من الاستلزامات الأربعة سابقاً.

من القنوات إلى مصفوفات تشوي

بالإشارة إلى العبارات المذكورة أعلاه بأرقامها، الاستلزام الأول المراد إثباته هو 1 $\Rightarrow$ 2. ناقشنا هذا الاستلزام في سياق حالة تشوي للقناة. سنلخص هنا التفاصيل الرياضية.

افترض أن مجموعة الحالات الكلاسيكية لنظام المدخلات $\mathsf{X}$ هي $\Sigma$ وليكن $n = \vert\Sigma\vert$. خذ الوضع الذي تُطبَّق فيه $\Phi$ على نسخة ثانية من نسختين من $\mathsf{X}$ معاً في الحالة

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a \in \Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle,$$

والتي تُعطى كمصفوفة كثافة بالصيغة

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b \in \Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert.$$

يمكن كتابة النتيجة على النحو التالي

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n},$$

وبافتراض أن $\Phi$ قناة، يجب أن يكون هذا مصفوفة كثافة. كأي مصفوفة كثافة، يجب أن تكون شبه محددة موجبة، وضرب مصفوفة شبه محددة موجبة في عدد حقيقي موجب يعطي مصفوفة شبه محددة موجبة أخرى، لذا $J(\Phi) \geq 0$.

علاوة على ذلك، بافتراض أن $\Phi$ قناة، يجب أن تحفظ الأثر، وبالتالي

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert\\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

من تمثيلات تشوي إلى تمثيلات كراوس

الاستلزام الثاني، مع الإشارة مجدداً إلى العبارات في قائمتنا بأرقامها، هو 2 $\Rightarrow$ 3. للتوضيح، نحن نتجاهل العبارات الأخرى — ولا يمكننا بالتحديد افتراض أن $\Phi$ قناة. كل ما يمكننا الاستناد إليه هو أن $\Phi$ تحويل خطي يحقق تمثيله بمصفوفة تشوي $J(\Phi) \geq 0$ والشرط $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

هذا وحده كافٍ للاستنتاج بأن $\Phi$ لها تمثيل كراوس

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

يحقق الشرط

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

نبدأ بالافتراض البالغ الأهمية بأن $J(\Phi)$ شبه محددة موجبة، مما يعني إمكانية التعبير عنها على الشكل

نبدأ بالافتراض المهم للغاية أن $J(\Phi)$ شبه معرَّفة موجبة، مما يعني أنه من الممكن التعبير عنها بالصيغة

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \tag{1}$$

لطريقة ما في اختيار المتجهات $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$. بصفة عامة ستكون هناك طرق متعددة للقيام بذلك — وهذا في الواقع يعكس مباشرة الحرية التي نمتلكها في اختيار تمثيل كراوس لـ $\Phi$.

إحدى طرق الحصول على مثل هذا التعبير هي استخدام نظرية الطيف أولًا للكتابة

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \lambda_k \vert \gamma_k \rangle \langle \gamma_k \vert,$$

حيث $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$ هي القيم الذاتية لـ $J(\Phi)$ (وهي بالضرورة أعداد حقيقية غير سالبة لأن $J(\Phi)$ شبه معرَّفة موجبة) و $\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{N-1}\rangle$ هي متجهات ذاتية وحدوية مقابلة للقيم الذاتية $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$.

لاحظ أنه رغم عدم وجود حرية في اختيار القيم الذاتية (باستثناء كيفية ترتيبها)، توجد حرية في اختيار المتجهات الذاتية، خاصة عندما تكون هناك قيم ذاتية بتعددية أكبر من واحد. إذن، هذا ليس تعبيرًا فريدًا لـ $J(\Phi)$ — نحن فقط نفترض أن لدينا مثل هذا التعبير. على أي حال، ولأن القيم الذاتية أعداد حقيقية غير سالبة، فإن لها جذورًا تربيعية غير سالبة، وبالتالي يمكننا اختيار

$$\vert\psi_k\rangle = \sqrt{\lambda_k} \vert \gamma_k\rangle$$

لكل $k = 0,\ldots,N-1$ للحصول على تعبير من الصيغة $(1)$.

ومع ذلك، ليس ضروريًا أن يأتي التعبير $(1)$ من تحليل طيفي بهذه الطريقة، وعلى وجه الخصوص لا يلزم أن تكون المتجهات $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ متعامدة بصفة عامة. ومن الجدير بالملاحظة، مع ذلك، أنه يمكننا اختيار هذه المتجهات لتكون متعامدة إن أردنا — علاوة على ذلك لسنا بحاجة أبدًا لأن يكون $N$ أكبر من $nm$ (بتذكّر أن $n$ و $m$ تشيران إلى عدد الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ على التوالي).

بعد ذلك، يمكن تحليل كل من المتجهات $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ بشكل أكبر إلى

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle,$$

حيث المتجهات $\{ \vert \phi_{k,a}\rangle \}$ لها مدخلات مقابلة للحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{Y}$ ويمكن تحديدها صراحة بالمعادلة

$$\vert \phi_{k,a}\rangle = \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}\bigr) \vert \psi_k\rangle$$

لكل $a\in\Sigma$ و $k=0,\ldots,N-1$. بالرغم من أن $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ليست بالضرورة متجهات وحدوية، فإن هذه هي نفس العملية التي نستخدمها لتحليل ما سيحدث لو أُجري قياس بالأساس القياسي على النظام $\mathsf{X}$ بالنظر إلى متجه حالة كمومية للزوج $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

والآن نصل إلى الحيلة التي تجعل هذا الجزء من البرهان ناجحًا. نُعرِّف مصفوفات كراوس $A_0,\ldots,A_{N-1}$ وفقًا للمعادلة التالية.

$$A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

يمكننا التفكير في هذه الصيغة بشكل رمزي بحت: $\vert a\rangle$ يُقلب فعليًا ليصبح $\langle a\vert$ وينتقل إلى الجانب الأيمن، مكوّنًا مصفوفة. لأغراض التحقق من البرهان، هذه الصيغة هي كل ما نحتاجه.

توجد، مع ذلك، علاقة بسيطة وبديهية بين المتجه $\vert\psi_k\rangle$ والمصفوفة $A_k$، وهي أنه بتحويل $A_k$ إلى متجه نحصل على $\vert\psi_k\rangle$. ما يعنيه تحويل $A_k$ إلى متجه هو أننا نكدّس الأعمدة فوق بعضها البعض (بحيث يكون العمود الأقصى يسارًا في الأعلى وصولًا إلى الأقصى يمينًا في الأسفل)، لتكوين متجه. على سبيل المثال، إذا كان $\mathsf{X}$ و $\mathsf{Y}$ كلاهما كيوبت، ولاختيار معين لـ $k$ لدينا

$$\begin{aligned} \vert\psi_k\rangle & = \alpha_{00} \vert 0\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{01} \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle + \alpha_{10} \vert 1\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{11} \vert 1\rangle \otimes \vert 1\rangle\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} \\[1mm] \alpha_{01} \\[1mm] \alpha_{10} \\[1mm] \alpha_{11} \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

then

$$\begin{aligned} A_k & = \alpha_{00} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \alpha_{01} \vert 1\rangle\langle 0\vert + \alpha_{10} \vert 0\rangle\langle 1\vert + \alpha_{11} \vert 1\rangle\langle 1\vert\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{10}\\[1mm] \alpha_{01} & \alpha_{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

(احذر: أحيانًا يُعرَّف تحويل المصفوفة إلى متجه بطريقة مختلفة قليلًا، وهي أن صفوف المصفوفة تُنقل وتُكدّس فوق بعضها البعض لتكوين متجه عمودي.)

سنتحقق أولًا من أن هذا الاختيار لمصفوفات كراوس يصف بشكل صحيح التطبيق $\Phi$، وبعد ذلك سنتحقق من الشرط المطلوب الآخر. حفاظًا على الوضوح، لنُعرِّف تطبيقًا جديدًا $\Psi$ كما يلي.

$$\Psi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

إذن، هدفنا هو التحقق من أن $\Psi = \Phi$.

الطريقة التي يمكننا بها فعل ذلك هي مقارنة تمثيلات شوي (Choi) لهذين التطبيقين. تمثيلات شوي دقيقة، لذا لدينا $\Psi = \Phi$ إذا وفقط إذا كان $J(\Phi) = J(\Psi)$. عند هذه النقطة يمكننا ببساطة حساب $J(\Psi)$ باستخدام التعبيرات

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle \quad\text{and}\quad A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

بالإضافة إلى ثنائية الخطية للجداءات الموترية لتبسيط الأمور.

$$\begin{aligned} J(\Psi) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \vert a\rangle \langle b \vert A_k^{\dagger}\\[2mm] & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a} \rangle\biggr) \biggl(\sum_{b\in\Sigma} \langle b\vert \otimes \langle \phi_{k,b} \vert\biggr)\\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \\[2mm] & = J(\Phi) \end{aligned}$$

إذن، تصف مصفوفات كراوس لدينا $\Phi$ بشكل صحيح.

يبقى التحقق من الشرط المطلوب على $A_0,\ldots,A_{N-1}$، والذي يتبين أنه مكافئ للافتراض $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ (الذي لم نستخدمه بعد). ما سنُظهره هو هذه العلاقة:

$$\Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr)^{T} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) \tag{2}$$

(حيث نشير في الجانب الأيسر إلى منقول المصفوفة).

بدءًا من الجانب الأيسر، يمكننا أولًا ملاحظة أن

$$\begin{aligned} \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T & = \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert b \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle a \vert\Biggr)^T\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

تنتج المساواة الأخيرة من كون عملية النقل خطية وتحوّل $\vert b\rangle\langle a \vert$ إلى $\vert a\rangle\langle b \vert$.

بالانتقال إلى الجانب الأيمن من معادلتنا، لدينا

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k \vert = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert$$

وبالتالي

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert \bigr)\, \vert a\rangle \langle b \vert\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

لقد حصلنا على نفس النتيجة، وبالتالي تم التحقق من المعادلة $(2)$. يترتب على ذلك، بالافتراض $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$، أن

$$\Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

وبالتالي، ولأن مصفوفة الوحدة هي تحويلها الخاص، فإن الشرط المطلوب صحيح.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

من تمثيلات كراوس إلى تمثيلات ستينسبرينغ

لنفترض الآن أن لدينا تمثيل كراوس لتحويل

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

يحقق

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

هدفنا هو إيجاد تمثيل ستاينسبرينغ لـ $\Phi$.

ما نرغب في فعله أولاً هو اختيار نظام النفايات $\mathsf{G}$ بحيث تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية $\{0,\ldots,N-1\}$. لكن لكي يتساوى $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ و $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ في الحجم، يجب أن يقسم $n$ العدد $m N$، مما يسمح لنا بأن تكون مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{W}$ هي $\{0,\ldots,d-1\}$ حيث $d = mN/n$.

لاختيار اعتباطي لـ$n$ و$m$ و$N$، قد لا يكون $mN/n$ عدداً صحيحاً، لذا لسنا أحراراً فعلاً في اختيار $\mathsf{G}$ بحيث تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية $\{0,\ldots,N-1\}$. لكن يمكننا دائماً زيادة $N$ بالقدر الذي نريده في تمثيل كراوس، وذلك باختيار $A_k = 0$ لأي عدد نشاء من قيم $k$ الإضافية.

إذن، إذا افترضنا ضمنيًا أن $mN/n$ عدد صحيح، وهو ما يكافئ أن يكون $N$ مضاعفًا لـ $n/\operatorname{gcd}(n,m)$، فنحن أحرار في أخذ $\mathsf{G}$ بحيث تكون مجموعة حالاته الكلاسيكية $\{0,\ldots,N-1\}$. على وجه الخصوص، إذا كان $N = nm$، فيمكننا أخذ $\mathsf{W}$ لتحتوي على $m^2$ حالة كلاسيكية.

يبقى اختيار $U$، وسنفعل ذلك بمطابقة النمط التالي.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{N-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

لتوضيح الأمر، يُقصد بهذا النمط الإشارة إلى مصفوفة كتلية، حيث كل كتلة (بما في ذلك $A_{0},\ldots,A_{N-1}$ وكذلك الكتل المميزة بعلامة استفهام) لها $m$ صفوف و $n$ عمودًا. هناك $N$ صفوف من الكتل، مما يعني أن هناك $d = mN/n$ عمودًا من الكتل.

للتعبير بشكل أكثر صيغية، سنُعرّف $U$ كـ

$$\begin{aligned} U & = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{d-1} \vert k \rangle \langle j \vert \otimes M_{k,j} \\[4mm] & = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} & \cdots & M_{0,d-1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} & \cdots & M_{1,d-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] M_{N-1,0} & M_{N-1,1} & \cdots & M_{N-1,d-1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

حيث كل مصفوفة $M_{k,j}$ لها $m$ صفوف و $n$ عمودًا، وعلى وجه الخصوص سنأخذ $M_{k,0} = A_k$ لـ $k = 0,\ldots,N-1$.

يجب أن تكون هذه مصفوفة وحدوية، ويجب اختيار الكتل المميزة بعلامة استفهام، أو بشكل مكافئ $M_{k,j}$ لـ $j>0$، مع مراعاة ذلك — لكن باستثناء جعل $U$ وحدوية، لن يكون للكتل المميزة بعلامة استفهام أي صلة بالبرهان.

لنتجاهل مؤقتًا مسألة كون $U$ وحدوية ولنركز على التعبير

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

الذي يصف حالة الخرج لـ $\mathsf{Y}$ بالنظر إلى حالة الدخل $\rho$ لـ $\mathsf{X}$ لتمثيل ستاينسبرينغ الخاص بنا. يمكننا بدلًا من ذلك كتابة

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho (\langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) U^{\dagger},$$

ونرى من اختيارنا لـ $U$ أن

$$U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k.$$

نجد بالتالي أن

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \vert k\rangle\langle j\vert \otimes A_k \rho A_j^{\dagger},$$

and so

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger}\bigr) & = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert k\rangle\langle j\vert\bigr) \, A_k \rho A_j^{\dagger} \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger} \\ & = \Phi(\rho). \end{aligned}$$

لدينا إذن تمثيل صحيح للتطبيق $\Phi$، ويبقى التحقق من أنه يمكننا اختيار $U$ لتكون وحدوية.

لنأخذ الأعمدة الـ $n$ الأولى من $U$ عندما تُختار وفقًا للنمط أعلاه. بأخذ هذه الأعمدة وحدها، لدينا مصفوفة كتلية

$$\begin{pmatrix} A_0\\[1mm] A_1\\[1mm] \vdots\\[1mm] A_{N-1} \end{pmatrix}.$$

هناك $n$ عمودًا، واحد لكل حالة كلاسيكية لـ $\mathsf{X}$، ولنسمِّ الأعمدة كمتجهات باسم $\vert \gamma_a \rangle$ لكل $a\in\Sigma$. هذه صيغة لهذه المتجهات يمكن مطابقتها مع تمثيل المصفوفة الكتلية أعلاه.

$$\vert \gamma_a\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k \vert a \rangle$$

لنحسب الآن حاصل الضرب الداخلي بين أي متجهين من هؤلاء، أي المقابلين لأي اختيار لـ $a,b\in\Sigma$.

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \langle k \vert j \rangle \, \langle a \vert A_k^{\dagger} A_j \vert b\rangle = \langle a \vert \Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr) \vert b\rangle$$

بالافتراض

$$\sum_{k = 0}^{m-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

نستنتج أن متجهات الأعمدة الـ $n$ $\{\vert\gamma_a\rangle\,:\,a\in\Sigma\}$ تشكل مجموعة متعامدة ومتعامدة قياسية:

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

لجميع $a,b\in\Sigma$.

هذا يعني أنه من الممكن ملء بقية أعمدة $U$ بحيث تصبح مصفوفة وحدوية. على وجه الخصوص، يمكن استخدام عملية تعامد غرام-شميدت لاختيار بقية الأعمدة. قد تم فعل شيء مشابه في درس دوائر الكم من "أساسيات المعلومات الكمومية" في سياق مسألة تمييز الحالات.

من تمثيلات ستينسبرينغ إلى التعريف

الاستلزام الأخير هو 4 $\Rightarrow$ 1. أي نفترض أن لدينا عملية أحادية تحوّل زوجاً من الأنظمة $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ إلى الزوج $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$، وهدفنا هو الاستنتاج بأن التحويل

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

قناة صالحة. من شكله، يتضح أن $\Phi$ خطية، ويبقى التحقق من أنها تحوّل دائماً مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة. هذا واضح نسبياً وقد ناقشنا النقاط الرئيسية له سابقاً.

تحديداً، إذا بدأنا بمصفوفة كثافة $\sigma$ لنظام مركّب $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$، ثم أضفنا نظام فضاء عمل إضافياً $\mathsf{W}$، سنحصل بالتأكيد على مصفوفة كثافة. بإعادة ترتيب الأنظمة $(\mathsf{W},\mathsf{Z},\mathsf{X})$ لأغراض الملاءمة، يمكننا كتابة هذه الحالة كـ

$$\vert 0\rangle\langle 0\vert_{\mathsf{W}} \otimes \sigma.$$

ثم نطبّق العملية الأحادية $U$، وكما ناقشنا سابقاً هي قناة صالحة، وبالتالي تحوّل مصفوفات الكثافة إلى مصفوفات كثافة. أخيراً، الأثر الجزئي لمصفوفة كثافة هو مصفوفة كثافة أخرى.

طريقة أخرى للنظر في الأمر هي ملاحظة أن كلاً من هذه الأشياء قناة صالحة:

1. إدخال نظام فضاء عمل مُهيَّأ.

2. تنفيذ عملية أحادية.

3. أخذ أثر نظام جزئياً.

وأخيراً، أي تركيب من القنوات هو قناة أخرى — وهذا مباشر من التعريف، لكنه أيضاً حقيقة تستحق الملاحظة في حد ذاتها.

هذا يُتمّ برهان الاستلزام الأخير، وبالتالي أثبتنا تكافؤ العبارات الأربع المذكورة في بداية القسم.