تمثيلات القنوات

سنتناول الآن التمثيلات الرياضية للقنوات.

يمكن تمثيل التطبيقات الخطية من متجهات إلى متجهات بمصفوفات بالطريقة المألوفة، حيث يُوصف تأثير التطبيق الخطي بضرب المصفوفة في متجه. لكن القنوات هي تطبيقات خطية من مصفوفات إلى مصفوفات، لا من متجهات إلى متجهات. إذن، بشكل عام، كيف يمكننا التعبير عن القنوات بصياغة رياضية؟

لبعض القنوات قد تتوفر صيغة بسيطة تصفها، كما في الأمثلة الثلاثة لقنوات الكيوبت غير الوحدوية المذكورة سابقاً. لكن قناةً عشوائية قد لا تمتلك مثل هذه الصيغة الأنيقة، لذا ليس من العملي بشكل عام التعبير عن القناة بهذه الطريقة.

كنقطة مقارنة، في الصياغة المبسطة لمعلومات الكم نستخدم المصفوفات الوحدوية لتمثيل العمليات على متجهات حالات الكم: فكل مصفوفة وحدوية تمثل عملية صالحة، وكل عملية صالحة يمكن التعبير عنها بمصفوفة وحدوية. في جوهره، السؤال المطروح هو: كيف يمكننا فعل شيء مماثل للقنوات؟

للإجابة على هذا السؤال سنحتاج إلى بعض الأدوات الرياضية الإضافية. سنرى أن القنوات يمكن بالفعل وصفها رياضياً بعدة طرق مختلفة، منها تمثيلات سُميت تكريماً لثلاثة أفراد أدّوا أدواراً محورية في تطويرها: ستاينسبرينغ، كراوس، و تشوي. تتيح هذه الطرق المختلفة لوصف القنوات زوايا متعددة يمكن من خلالها دراستها وتحليلها.

تمثيلات ستاينسبرينغ

تقوم تمثيلات ستاينسبرينغ على فكرة أن كل قناة يمكن تطبيقها بطريقة معيارية، حيث يُدمج النظام المُدخَل أولاً مع نظام فضاء عمل مُهيَّأ ليُشكّلا نظاماً مركّباً؛ ثم تُجرى عملية وحدوية على النظام المركّب؛ وأخيراً يُتجاهل نظام فضاء العمل (أو يُتتبَّع خارجياً)، فيتبقى مخرج القناة.

الشكل التالي يصور هذا التطبيق في صورة مخطط دائرة كمومية لقناة مدخلها ومخرجها نظامٌ واحد $\mathsf{X}.$

في هذا المخطط، الأسلاك تمثل أنظمة عشوائية كما تشير التسميات الموضوعة فوقها، وليست بالضرورة كيوبتات منفردة. كذلك، رمز التأريض المستخدم عادةً في الهندسة الكهربائية يُشير صراحةً إلى أن $\mathsf{W}$ يُتجاهَل.

بعبارات مبسطة، تعمل آلية التطبيق على النحو الآتي. يبدأ النظام المُدخَل $\mathsf{X}$ في حالة ما $\rho،$ بينما يُهيَّأ نظام فضاء العمل $\mathsf{W}$ في الحالة القاعدية القياسية $\vert 0\rangle.$ تُطبَّق عملية وحدوية $U$ على الزوج $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ وأخيراً يُتتبَّع نظام فضاء العمل $\mathsf{W}$ خارجياً، فيبقى $\mathsf{X}$ مخرجاً للقناة.

لاحظ أننا نفترض أن $0$ هي حالة كلاسيكية لـ $\mathsf{W}$، واخترناها لتكون الحالة الابتدائية لهذا النظام مما يساعد على تبسيط الرياضيات. غير أنه يمكن اختيار أي حالة نقية ثابتة تمثل الحالة الابتدائية لـ $\mathsf{W}$ دون تغيير الخصائص الأساسية للتمثيل.

التعبير الرياضي للقناة الناتجة $\Phi$ هو كالتالي.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

كالمعتاد، نستخدم اصطلاح الترتيب في Qiskit: النظام $\mathsf{X}$ في الأعلى في المخطط، وبالتالي يقابل عامل الضرب التنسوري الأيمن في الصيغة.

بشكل عام، لا يشترط أن يكون مدخل القناة ومخرجها النظام ذاته. إليك شكلاً يصور تطبيق قناة $\Phi$ مدخلها النظام $\mathsf{X}$ ومخرجها النظام $\mathsf{Y}.$

هذه المرة تحوّل العملية الوحدوية الزوج $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ إلى الزوج $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ حيث $\mathsf{G}$ نظام "نفايات" جديد يُتتبَّع خارجياً، فيبقى $\mathsf{Y}$ النظام المُخرَج. لكي تكون $U$ وحدوية يجب أن تكون مصفوفة مربعة. هذا يستلزم أن يمتلك الزوج $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ نفس عدد الحالات الكلاسيكية التي يمتلكها الزوج $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ لذا يجب اختيار النظامين $\mathsf{W}$ و $\mathsf{G}$ بطريقة تتيح ذلك.

نحصل على تعبير رياضي للقناة الناتجة $\Phi$ مماثل لما رأيناه سابقاً.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

حين تُوصَف قناةٌ بهذه الطريقة — كعملية وحدوية مع تحديد كيفية تهيئة نظام فضاء العمل واختيار النظام المُخرَج — نقول إنها معبَّر عنها بالصيغة الاسبرينغية أو أنها تمثيل ستاينسبرينغ للقناة.

ليس واضحاً على الإطلاق، لكن كل قناة تمتلك فعلاً تمثيل ستاينسبرينغ، كما سنرى في نهاية الدرس. كذلك سنرى أن تمثيلات ستاينسبرينغ ليست فريدة؛ إذ ستوجد دائماً طرق مختلفة لتطبيق القناة ذاتها بالأسلوب الموصوف.

ملاحظة

في سياق معلومات الكم، يشير مصطلح تمثيل ستاينسبرينغ عادةً إلى تعبير أكثر عمومية قليلاً للقناة ذي الصيغة

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

لـ تشاكلية $A$، وهي مصفوفة أعمدتها متعامدة ومعيَّارة لكنها قد لا تكون مربعة. لتمثيلات ستاينسبرينغ بالصيغة التي اعتمدناها تعريفاً، يمكننا الحصول على تعبير بهذه الصيغة الأخرى بأخذ

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

قناة إزالة الطور الكاملة

إليك تمثيل ستاينسبرينغ لقناة إزالة طور الكيوبت $\Delta.$ في هذا المخطط، يمثل كلا السلكين كيوبتاً منفرداً — إذن هذا مخطط دائرة كمومية عادية.

للتأكد من أن التأثير الذي تُحدثه هذه الدائرة على الكيوبت المُدخَل موصوفٌ فعلاً بقناة إزالة الطور الكاملة، يمكننا المرور بخطوات الدائرة واحدةً واحدة، مستخدمين التمثيل المصفوفي الصريح للأثر الجزئي الذي نوقش في الدرس السابق. سنشير إلى الكيوبت العلوي بـ $\mathsf{X}$ — وهو مدخل ومخرج القناة — ونفترض أن $\mathsf{X}$ يبدأ في حالة عشوائية $\rho.$

الخطوة الأولى هي إدخال كيوبت فضاء عمل $\mathsf{W}.$ قبل تطبيق بوابة NOT المتحكَّم بها، تتمثل حالة الزوج $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ في مصفوفة الكثافة الآتية.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

وفق اصطلاح ترتيب Qiskit، الكيوبت العلوي $\mathsf{X}$ على اليمين والكيوبت السفلي $\mathsf{W}$ على اليسار. نستخدم هنا مصفوفات الكثافة بدلاً من متجهات الحالات الكمومية، لكنها تُضرَب تنسورياً بطريقة مشابهة لما يُفعَل في الصياغة المبسطة لمعلومات الكم.

الخطوة التالية هي تطبيق عملية NOT المتحكَّم بها، حيث $\mathsf{X}$ هو المتحكِّم و $\mathsf{W}$ هو الهدف. مع الأخذ بعين الاعتبار اصطلاح ترتيب Qiskit، يكون التمثيل المصفوفي لهذه البوابة كالتالي.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

هذه عملية وحدوية، ولتطبيقها على مصفوفة كثافة نُرافِقها بالمصفوفة الوحدوية. الإرافقة المركبة المنقولة لا تغيّر هذه المصفوفة بالذات، لذا تكون النتيجة كالتالي.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

أخيراً، يُطبَّق الأثر الجزئي على $\mathsf{W}.$ بالرجوع إلى تأثير هذه العملية على المصفوفات $4\times 4$، الذي وُصف في الدرس السابق، نحصل على مصفوفة الكثافة الآتية كمخرج.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

يمكننا بديلاً حساب الأثر الجزئي بالتحويل أولاً إلى ترميز ديراك.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

تتبُّع الكيوبت في الجانب الأيسر خارجياً يعطي نفس الإجابة السابقة.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

الطريقة الحدسية للتفكير في هذه الدائرة هي أن عملية NOT المتحكَّم بها تنسخ فعلياً الحالة الكلاسيكية للكيوبت المُدخَل، وحين تُرمى النسخة في القمامة "ينهار" الكيوبت المُدخَل احتمالياً إلى إحدى الحالتين الكلاسيكيتين الممكنتين، وهو ما يعادل إزالة الطور الكاملة.

قناة إزالة الطور الكاملة (البديلة)

الدائرة الموصوفة أعلاه ليست الطريقة الوحيدة لتطبيق قناة إزالة الطور الكاملة. إليك طريقة مختلفة.

إليك تحليلاً سريعاً يُثبت أن هذا التطبيق يعمل بشكل صحيح. بعد تطبيق بوابة هادامارد نحصل على هذه الحالة ثنائية الكيوبت كمصفوفة كثافة:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

تعمل بوابة $\sigma_z$ المتحكَّم بها بالإرافقة على النحو الآتي.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

أخيراً يُتتبَّع نظام فضاء العمل $\mathsf{W}$ خارجياً.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

يستند هذا التطبيق إلى فكرة بسيطة: إزالة الطور تعادل إما عدم فعل أي شيء (أي تطبيق عملية الهوية) أو تطبيق بوابة $\sigma_z$، كل منهما باحتمال $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

أي أن قناة إزالة الطور الكاملة هي مثال على قناة وحدوية مختلطة، وتحديداً قناة باولي.

قناة إعادة ضبط الكيوبت

يمكن تطبيق قناة إعادة ضبط الكيوبت على النحو الآتي.

بوابة المبادلة تنقل ببساطة حالة $\vert 0\rangle$ المُهيَّأة لكيوبت فضاء العمل كي تُخرَج، بينما تنتقل الحالة المُدخَلة $\rho$ إلى الكيوبت السفلي فتُتتبَّع خارجياً.

بديلاً عن ذلك، إذا لم نشترط أن يكون مخرج القناة في الأعلى، يمكننا اتخاذ هذه الدائرة البسيطة جداً تمثيلاً لنا.

بعبارات مبسطة، إعادة ضبط كيوبت إلى حالة $\vert 0\rangle$ تعادل رمي الكيوبت في القمامة والحصول على كيوبت جديد.

تمثيلات كراوس

سنناقش الآن تمثيلات كراوس، التي توفر طريقة صيغية مريحة للتعبير عن تأثير القناة من خلال ضرب المصفوفات وجمعها. تحديداً، تمثيل كراوس هو تحديد لقناة $\Phi$ بالصيغة الآتية.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

هنا $A_0,\ldots,A_{N-1}$ مصفوفات لها جميعاً نفس الأبعاد: أعمدتها تقابل الحالات الكلاسيكية للنظام المُدخَل $\mathsf{X}$، وصفوفها تقابل الحالات الكلاسيكية للنظام المُخرَج، سواء كان $\mathsf{X}$ أو نظاماً آخر $\mathsf{Y}.$ لكي تكون $\Phi$ قناةً صالحة يجب أن تستوفي هذه المصفوفات الشرط الآتي.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

هذا الشرط مكافئ للشرط الذي يقتضي أن تحفظ $\Phi$ الأثر. أما الخاصية الأخرى المطلوبة للقناة — وهي الإيجابية الكاملة — فتتبع من الصيغة العامة للمعادلة الخاصة بـ $\Phi$ كمجموع إرافقات.

أحياناً يكون من المناسب تسمية المصفوفات $A_0,\ldots,A_{N-1}$ بطريقة مختلفة. مثلاً، يمكن ترقيمها بدءاً من $1$، أو استخدام حالات في مجموعة حالات كلاسيكية عشوائية $\Gamma$ بدلاً من الأرقام كمؤشرات:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{حيث} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

هذه الطرق المختلفة لتسمية هذه المصفوفات، التي تُسمى مصفوفات كراوس، كلها شائعة ويمكن أن تكون مناسبة في سياقات مختلفة — لكننا سنلتزم بالأسماء $A_0,\ldots,A_{N-1}$ في هذا الدرس لأجل البساطة.

يمكن أن يكون العدد $N$ عدداً صحيحاً موجباً عشوائياً، لكنه لا يحتاج أن يكون كبيراً جداً: إذا كان للنظام المُدخَل $\mathsf{X}$ عدد $n$ من الحالات الكلاسيكية وللنظام المُخرَج $\mathsf{Y}$ عدد $m$ من الحالات الكلاسيكية، فستمتلك أي قناة من $\mathsf{X}$ إلى $\mathsf{Y}$ دائماً تمثيل كراوس يكون فيه $N$ أقل من أو يساوي حاصل الضرب $nm.$

قناة إزالة الطور الكاملة

نحصل على تمثيل كراوس لقناة إزالة الطور الكاملة بأخذ $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ و $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

تستوفي هذه المصفوفات الشرط المطلوب.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

بديلاً يمكن أخذ $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ و $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z,$ بحيث يكون

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

كما حُسب سابقاً. هذه المرة يمكن التحقق من الشرط المطلوب على النحو الآتي.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

قناة إعادة ضبط الكيوبت

نحصل على تمثيل كراوس لقناة إعادة ضبط الكيوبت بأخذ $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ و $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

تستوفي هذه المصفوفات الشرط المطلوب.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

قناة إزالة القطبية الكاملة

إحدى الطرق للحصول على تمثيل كراوس لقناة إزالة القطبية الكاملة هي اختيار مصفوفات كراوس $A_0,\ldots,A_3$ على النحو الآتي.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

لأي مصفوفة كثافة كيوبت $\rho$ يصبح لدينا عندئذٍ

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

يُحصَل على تمثيل كراوس بديل باختيار مصفوفات كراوس كما يلي.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

للتحقق من أن مصفوفات كراوس هذه تمثل فعلاً قناة إزالة القطبية الكاملة، لنلاحظ أولاً أن إرافقة مصفوفة $2\times 2$ عشوائية بمصفوفة باولي تعمل على النحو الآتي.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

هذا يتيح لنا التحقق من صحة تمثيل كراوس.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

يُعبّر تمثيل كراوس هذا عن فكرة مهمة، وهي أن حالة كيوبت يمكن عشوائتها كلياً بتطبيق إحدى مصفوفات باولي الأربع (بما فيها مصفوفة الهوية) المختارة عشوائياً بتوزيع منتظم. وبذلك فإن قناة إزالة القطبية الكاملة هي مثال آخر على قناة باولي.

لا يمكن إيجاد تمثيل كراوس لقناة إزالة القطبية الكاملة $\Omega$ يحوي ثلاث مصفوفات كراوس أو أقل؛ هذه القناة تتطلب على الأقل أربع مصفوفات.

القنوات الوحدوية

إذا كانت لدينا مصفوفة وحدوية $U$ تمثل عملية على النظام $\mathsf{X}$، يمكننا التعبير عن تأثير هذه العملية الوحدوية كقناة:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

هذا التعبير هو بالفعل تمثيل كراوس صالح للقناة $\Phi$ حيث يكون لدينا مصفوفة كراوس واحدة فقط هي $A_0 = U.$ في هذه الحالة، يأخذ الشرط المطلوب

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

الصيغة الأبسط بكثير $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ وهو ما نعلم أنه صحيح لأن $U$ وحدوية.

تمثيلات تشوي

سنناقش الآن طريقة ثالثة لوصف القنوات، من خلال تمثيل تشوي. تعمل هذه الطريقة بأن تُمثَّل كل قناة بمصفوفة واحدة تُعرَف بـ مصفوفة تشوي. إذا كان للنظام المُدخَل $n$ حالة كلاسيكية وللنظام المُخرَج $m$ حالة كلاسيكية، فإن مصفوفة تشوي للقناة ستحتوي $nm$ صفاً و $nm$ عموداً.

توفر مصفوفات تشوي تمثيلاً أميناً للقنوات، بمعنى أن قناتين تكونان متطابقتين إذا وفقط إذا كانت مصفوفتا تشوي الخاصتان بهما متطابقتين. أحد أسباب أهمية ذلك هو أنه يمنحنا طريقة لتحديد ما إذا كان وصفان مختلفان يقابلان القناة ذاتها أم قناتين مختلفتين: نحسب مصفوفتي تشوي ونقارنهما لنرى إن كانتا متساويتين. في المقابل، تمثيلات ستاينسبرينغ وكراوس ليست فريدة بهذه الطريقة، كما رأينا.

كذلك تُفيد مصفوفات تشوي في الكشف عن مختلف الخصائص الرياضية للقنوات.

التعريف

لتكن $\Phi$ قناة من النظام $\mathsf{X}$ إلى النظام $\mathsf{Y}$، ولنفترض أن مجموعة الحالات الكلاسيكية للنظام المُدخَل $\mathsf{X}$ هي $\Sigma.$ تمثيل تشوي لـ $\Phi$، الذي يُرمَز له بـ $J(\Phi)$، يُعرَّف بالمعادلة الآتية.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

إذا افترضنا أن $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ لعدد صحيح موجب ما $n$، يمكننا التعبير عن $J(\Phi)$ بديلاً كمصفوفة كتلية:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

أي أن مصفوفة تشوي للقناة، بصيغة المصفوفة الكتلية، تحتوي كتلة $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ واحدة لكل زوج $(a,b)$ من الحالات الكلاسيكية للنظام المُدخَل، مرتبةً بصورة طبيعية.

لاحظ أن المجموعة $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ تُشكّل أساساً لفضاء جميع المصفوفات $n\times n$. لأن $\Phi$ خطية، يترتب على ذلك إمكانية استرداد تأثيرها من مصفوفة تشوي الخاصة بها بأخذ التركيبات الخطية للكتل.

حالة تشوي لقناة

طريقة أخرى للتفكير في مصفوفة تشوي للقناة هي أنها مصفوفة كثافة إذا قسمنا على $n = \vert\Sigma\vert.$ لنركز على الحالة التي $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ للبساطة، ولنتخيل أن لدينا نسختين متطابقتين من $\mathsf{X}$ في حالة متشابكة معاً هي

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

كمصفوفة كثافة تكون هذه الحالة كالتالي.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

إذا طبقنا $\Phi$ على النسخة من $\mathsf{X}$ في الجانب الأيمن، نحصل على مصفوفة تشوي مقسومةً على $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

بعبارات مبسطة، باستثناء عامل التطبيع $1/n$، مصفوفة تشوي لـ $\Phi$ هي مصفوفة الكثافة التي نحصل عليها بتقييم $\Phi$ على نصف زوج من أنظمة الإدخال المتشابكة كلياً، كما يصور الشكل الآتي.

لاحظ خصوصاً أن هذا يعني أن مصفوفة تشوي لأي قناة يجب أن تكون دائماً شبه موجبة.

كذلك نرى أنه بما أن القناة $\Phi$ تُطبَّق على النظام الأيمن/العلوي وحده، فلا يمكنها التأثير على الحالة المختزلة للنظام الأيسر/السفلي. في الحالة المعنية، تلك الحالة هي الحالة المختلطة كلياً $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$، وبالتالي

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

إلغاء المقام $n$ من الطرفين يعطي $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

يمكننا الوصول إلى الاستنتاج ذاته باستخدام حقيقة أن القنوات يجب أن تحفظ الأثر دائماً، وبالتالي

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

خلاصة القول، يجب أن يكون تمثيل تشوي $J(\Phi)$ لأي قناة $\Phi$ شبه موجب ويستوفي

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

كما سنرى في نهاية الدرس، هذان الشرطان ليسا ضروريين فحسب بل كافيان أيضاً، بمعنى أن أي تطبيق خطي $\Phi$ من مصفوفات إلى مصفوفات يستوفي هذه المتطلبات يجب أن يكون في حقيقته قناة.

قناة إزالة الطور الكاملة

تمثيل تشوي لقناة إزالة الطور الكاملة $\Delta$ هو

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

قناة إزالة القطبية الكاملة

تمثيل تشوي لقناة إزالة القطبية الكاملة هو

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

قناة إعادة ضبط الكيوبت

تمثيل تشوي لقناة إعادة ضبط الكيوبت $\Phi$ هو

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

قناة الهوية

تمثيل تشوي لقناة هوية الكيوبت $\operatorname{Id}$ هو

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

لاحظ خصوصاً أن $J(\operatorname{Id})$ ليست مصفوفة الهوية. تمثيل تشوي لا يصف تأثير القناة مباشرةً بالطريقة المعتادة التي تمثل فيها المصفوفة تطبيقاً خطياً.