الانتشار الخلفي للمؤثرات (OBP) لتقدير قيم التوقع

تقدير الاستخدام: 16 دقيقة على معالج Eagle r3 (ملاحظة: هذا تقدير فحسب. قد يختلف وقت التشغيل الفعلي لديك.)

# Added by doQumentation — installs packages not in the Binder environment
%pip install -q qiskit-addon-obp

# This cell is hidden from users;
# it disables linting rules.
# ruff: noqa

الخلفية النظرية

الانتشار الخلفي للمؤثرات هو أسلوب يقوم على استيعاب العمليات من نهاية الدائرة الكمية في المؤثر المقاس، مما يُقلّص عمق الدائرة بشكل عام على حساب زيادة عدد الحدود في المؤثر. والهدف هو إعادة الانتشار الخلفي لأكبر قدر ممكن من الدائرة دون السماح للمؤثر بالنمو بشكل مفرط. يتوفر تطبيق قائم على Qiskit في إضافة OBP الخاصة بـ Qiskit، ويمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في التوثيق المقابل مع مثال مبسّط للبدء.

لنأخذ مثالاً لدائرة يُراد فيها قياس المؤثر $O = \sum_P c_P P$ ، حيث $P$ هي عوامل Pauli و $c_P$ هي المعاملات. لنُرمز للدائرة بالوحدوية الأحادية $U$ التي يمكن تقسيمها منطقياً إلى $U = U_C U_Q$ كما هو موضح في الشكل أدناه.

Circuit diagram showing Uq followed by Uc

يستوعب الانتشار الخلفي للمؤثرات الوحدوية $U_C$ في المؤثر عن طريق تطويرها على النحو $O' = U_C^{\dagger}OU_C = \sum_P c_P U_C^{\dagger}PU_C$ . بمعنى آخر، يُنفَّذ جزء من الحساب كلاسيكياً عبر تطور المؤثر من $O$ إلى $O'$ . يمكن الآن إعادة صياغة المسألة الأصلية على أنها قياس المؤثر $O'$ للدائرة ذات العمق الأصغر التي وحدويتها $U_Q$ .

تُمثَّل الوحدوية $U_C$ كعدد من الشرائح $U_C = U_S U_{S-1}...U_2U_1$ . وتوجد طرق متعددة لتعريف الشريحة؛ فعلى سبيل المثال في الدائرة أعلاه، يمكن اعتبار كل طبقة من بوابات $R_{zz}$ وكل طبقة من بوابات $R_x$ شريحةً مستقلة. يشمل الانتشار الخلفي حساب $O' = \Pi_{s=1}^S \sum_P c_P U_s^{\dagger} P U_s$ كلاسيكياً. يمكن تمثيل كل شريحة $U_s$ على النحو $U_s = exp(\frac{-i\theta_s P_s}{2})$ ، حيث $P_s$ هو عامل Pauli على $n$ كيوبت و $\theta_s$ هو قيمة عددية. ومن السهل التحقق من أن:

U_s^{\dagger} P U_s = P \qquad \text{if} ~[P,P_s] = 0,

U_s^{\dagger} P U_s = \qquad cos(\theta_s)P + i sin(\theta_s)P_sP \qquad \text{if} ~\{P,P_s\} = 0

في المثال أعلاه، إذا كان $\{P,P_s\} = 0$ ، فإننا نحتاج إلى تنفيذ دائرتين كميتين بدلاً من واحدة لحساب قيمة التوقع. لذا، قد يزيد الانتشار الخلفي عدد الحدود في المؤثر، مما يؤدي إلى عدد أكبر من عمليات تنفيذ الدوائر. إحدى الطرق للسماح بانتشار خلفي أعمق في الدائرة مع منع نمو المؤثر بشكل مفرط هي اقتطاع الحدود ذات المعاملات الصغيرة بدلاً من إضافتها إلى المؤثر. فعلى سبيل المثال في المثال أعلاه، قد يُختار اقتطاع الحد المتضمن $P_sP$ شريطة أن يكون $\theta_s$ صغيراً بما يكفي. يؤدي اقتطاع الحدود إلى تقليل عدد الدوائر الكمية الواجب تنفيذها، غير أن ذلك يُحدث خطأً في حساب قيمة التوقع النهائية يتناسب مع حجم معاملات الحدود المقتطعة.

يُنفّذ هذا الدليل التعليمي نمط Qiskit لمحاكاة الديناميكا الكمية لسلسلة دوران Heisenberg باستخدام qiskit-addon-obp.

المتطلبات

قبل البدء في هذا الدليل التعليمي، تأكد من تثبيت ما يلي:

Qiskit SDK الإصدار 1.2 أو أحدث (pip install qiskit)
Qiskit Runtime الإصدار 0.28 أو أحدث (pip install qiskit-ibm-runtime)
إضافة OBP الخاصة بـ Qiskit (pip install qiskit-addon-obp)
أدوات إضافية لـ Qiskit (pip install qiskit-addon-utils)

الإعداد

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator as Estimator
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap
from qiskit.synthesis import LieTrotter

from qiskit_addon_utils.problem_generators import generate_xyz_hamiltonian
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    generate_time_evolution_circuit,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import slice_by_gate_types, combine_slices
from qiskit_addon_obp.utils.simplify import OperatorBudget
from qiskit_addon_obp import backpropagate
from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

from rustworkx.visualization import graphviz_draw

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2, EstimatorOptions

الجزء الأول: سلسلة دوران Heisenberg صغيرة الحجم

الخطوة 1: تحويل المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمية

تحويل التطور الزمني لنموذج Heisenberg الكمي إلى تجربة كمية.

توفر حزمة qiskit_addon_utils وظائف قابلة لإعادة الاستخدام لأغراض متعددة.

يوفر وحدتها qiskit_addon_utils.problem_generators دوالَّ لتوليد هاملتونيات شبيهة بـ Heisenberg على رسم بياني لشبكة اتصال محددة. يمكن أن يكون هذا الرسم البياني إما rustworkx.PyGraph أو CouplingMap، مما يجعل استخدامه سلساً في سير عمل Qiskit.

فيما يلي، نُنشئ خريطة اقتران CouplingMap خطية مكوّنة من 10 كيوبتات.

num_qubits = 10
layout = [(i - 1, i) for i in range(1, num_qubits)]

# Instantiate a CouplingMap object
coupling_map = CouplingMap(layout)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

Output of the previous code cell

بعد ذلك، نُولّد مؤثر Pauli يُمثّل هاملتونيان Heisenberg XYZ.

{\hat{\mathcal{H}}_{XYZ} = \sum_{(j,k)\in E} (J_{x} \sigma_j^{x} \sigma_{k}^{x} + J_{y} \sigma_j^{y} \sigma_{k}^{y} + J_{z} \sigma_j^{z} \sigma_{k}^{z}) + \sum_{j\in V} (h_{x} \sigma_j^{x} + h_{y} \sigma_j^{y} + h_{z} \sigma_j^{z})}

حيث $G(V,E)$ هو الرسم البياني لخريطة الاقتران المُعطاة.

# Get a qubit operator describing the Heisenberg XYZ model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(np.pi / 8, np.pi / 4, np.pi / 2),
    ext_magnetic_field=(np.pi / 3, np.pi / 6, np.pi / 9),
)
print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIXXI', 'IIIIIIIYYI', 'IIIIIIIZZI', 'IIIIIXXIII', 'IIIIIYYIII', 'IIIIIZZIII', 'IIIXXIIIII', 'IIIYYIIIII', 'IIIZZIIIII', 'IXXIIIIIII', 'IYYIIIIIII', 'IZZIIIIIII', 'IIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIZZ', 'IIIIIIXXII', 'IIIIIIYYII', 'IIIIIIZZII', 'IIIIXXIIII', 'IIIIYYIIII', 'IIIIZZIIII', 'IIXXIIIIII', 'IIYYIIIIII', 'IIZZIIIIII', 'XXIIIIIIII', 'YYIIIIIIII', 'ZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIY', 'IIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIYI', 'IIIIIIIIZI', 'IIIIIIIXII', 'IIIIIIIYII', 'IIIIIIIZII', 'IIIIIIXIII', 'IIIIIIYIII', 'IIIIIIZIII', 'IIIIIXIIII', 'IIIIIYIIII', 'IIIIIZIIII', 'IIIIXIIIII', 'IIIIYIIIII', 'IIIIZIIIII', 'IIIXIIIIII', 'IIIYIIIIII', 'IIIZIIIIII', 'IIXIIIIIII', 'IIYIIIIIII', 'IIZIIIIIII', 'IXIIIIIIII', 'IYIIIIIIII', 'IZIIIIIIII', 'XIIIIIIIII', 'YIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j])

انطلاقاً من مؤثر الكيوبت، يمكننا توليد دائرة كمية تُنمذج تطوره الزمني. وتُتيح وحدة qiskit_addon_utils.problem_generators دالةً مناسبة تؤدي هذا الغرض تحديداً:

circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    time=0.2,
    synthesis=LieTrotter(reps=2),
)
circuit.draw("mpl", style="iqp", scale=0.6)

Output of the previous code cell

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على العتاد الكمي

إنشاء شرائح الدائرة لإجراء الانتشار الخلفي

تذكّر أن دالة backpropagate ستُعيد الانتشار الخلفي لشرائح كاملة في كل مرة، لذا فإن طريقة تقسيم الدائرة إلى شرائح قد تؤثر في كفاءة الانتشار الخلفي لمسألة بعينها. هنا سنُجمّع البوابات من النوع نفسه في شرائح باستخدام دالة slice_by_gate_types.

للاطلاع على نقاش أكثر تفصيلاً حول تقسيم الدوائر إلى شرائح، راجع دليل كيفية الخاص بحزمة qiskit-addon-utils.

slices = slice_by_gate_types(circuit)
print(f"Separated the circuit into {len(slices)} slices.")

Separated the circuit into 18 slices.

تقييد الحد الأقصى لنمو المؤثر خلال الانتشار الخلفي

خلال الانتشار الخلفي، سيتجه عدد الحدود في المؤثر عموماً نحو $4^N$ بسرعة، حيث $N$ هو عدد الكيوبتات. عندما لا يتبادل حدّان في المؤثر التبديل على مستوى الكيوبتات، نحتاج إلى دوائر منفصلة للحصول على قيم التوقع المقابلة لكل منهما. فعلى سبيل المثال، إذا كان لدينا مؤثر يعمل على كيوبتين $O = 0.1 XX + 0.3 IZ - 0.5 IX$ ، فبما أن $[XX,IX] = 0$ ، يكفي قياس واحد في أساس واحد لحساب قيم التوقع لهذين الحدّين. غير أن $IZ$ يُضاد التبادل مع الحدّين الآخرين، لذا نحتاج إلى قياس في أساس منفصل لحساب قيمة التوقع لـ $IZ$ . بمعنى آخر، نحتاج إلى دائرتين بدلاً من واحدة لحساب $\langle O \rangle$ . مع تزايد عدد الحدود في المؤثر، يرتفع احتمال زيادة العدد المطلوب من تنفيذات الدائرة أيضاً.

يمكن تحديد حد أقصى لحجم المؤثر عبر تمرير الوسيط operator_budget إلى دالة backpropagate، الذي يقبل نسخة من OperatorBudget.

للتحكم في الموارد الإضافية (الوقت) المُخصَّصة، نحدّد الحد الأقصى لعدد مجموعات Pauli المتبادلة كيوبتياً التي يُسمح للمؤثر المُعاد انتشاره الخلفي بامتلاكها. هنا نُحدّد أن الانتشار الخلفي يجب أن يتوقف حين يتجاوز عدد مجموعات Pauli المتبادلة كيوبتياً في المؤثر الحد 8.

op_budget = OperatorBudget(max_qwc_groups=8)

إعادة الانتشار الخلفي للشرائح من الدائرة

أولاً نُحدّد المؤثر المقاس على أنه $M_Z = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle Z_i \rangle$ ، حيث $N$ هو عدد الكيوبتات. سنُعيد الانتشار الخلفي للشرائح من دائرة التطور الزمني حتى لا تتمكن حدود المؤثر من الاندماج ضمن ثماني مجموعات أو أقل من مجموعات Pauli المتبادلة كيوبتياً.

observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1 / num_qubits) for i in range(num_qubits)],
    num_qubits=num_qubits,
)
observable

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIZI', 'IIIIIIIZII', 'IIIIIIZIII', 'IIIIIZIIII', 'IIIIZIIIII', 'IIIZIIIIII', 'IIZIIIIIII', 'IZIIIIIIII', 'ZIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j,
 0.1+0.j, 0.1+0.j])

ستلاحظ فيما يلي أننا أعدنا الانتشار الخلفي لست شرائح، وأن الحدود اندمجت في ست مجموعات لا ثماني. وهذا يعني أن إعادة الانتشار الخلفي لشريحة واحدة إضافية ستتجاوز حد الثماني مجموعات من Pauli. يمكننا التحقق من ذلك بفحص البيانات الوصفية المُعادة. لاحظ أيضاً أن تحويل الدائرة في هذا الجزء دقيق تماماً، أي أنه لم يُقتطع أي حد من المؤثر الجديد $O'$ . الدائرة والمؤثر اللذان خضعا للانتشار الخلفي يُعطيان النتيجة ذاتها التي تُعطيها الدائرة والمؤثر الأصليان.

# Backpropagate slices onto the observable
bp_obs, remaining_slices, metadata = backpropagate(
    observable, slices, operator_budget=op_budget
)
# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit = combine_slices(remaining_slices)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} groups."
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)

Backpropagated 6 slices.
New observable has 60 terms, which can be combined into 6 groups.
Note that backpropagating one more slice would result in 114 terms across 12 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

بعد ذلك، سنُحدّد المسألة ذاتها بالقيود نفسها على حجم المؤثر الناتج. غير أننا هذه المرة سنُخصّص ميزانية خطأ لكل شريحة باستخدام دالة setup_budget. ستُقتطع حدود Pauli ذات المعاملات الصغيرة من كل شريحة حتى تمتلئ ميزانية الخطأ، وستُنقل الميزانية المتبقية إلى الشريحة التالية. لاحظ أن التحويل الناتج عن الانتشار الخلفي في هذه الحالة تقريبي، نظراً لاقتطاع بعض الحدود من المؤثر.

لتفعيل هذا الاقتطاع، نحتاج إلى إعداد ميزانية الخطأ على النحو التالي:

truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.005)

لاحظ أنه بتخصيص خطأ قدره 5e-3 لكل شريحة للاقتطاع، أصبح بإمكاننا إزالة شريحة إضافية من الدائرة مع البقاء ضمن الميزانية الأصلية البالغة ثماني مجموعات Pauli المتبادلة في المؤثر. بشكل افتراضي، تستخدم backpropagate معيار L1 لمعاملات الحدود المقتطعة لتحديد الحد الأقصى للخطأ الكلي الناتج عن الاقتطاع. للاطلاع على خيارات أخرى راجع دليل كيفية تحديد p_norm.

في هذا المثال بالذات حيث أعدنا الانتشار الخلفي لسبع شرائح، يجب ألا يتجاوز إجمالي خطأ الاقتطاع (5e-3 error/slice) * (7 slices) = 3.5e-2. للمزيد من النقاش حول توزيع ميزانية الخطأ على الشرائح، راجع هذا الدليل.

# Run the same experiment but truncate observable terms with small coefficients
bp_obs_trunc, remaining_slices_trunc, metadata = backpropagate(
    observable,
    slices,
    operator_budget=op_budget,
    truncation_error_budget=truncation_error_budget,
)

# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit_trunc = combine_slices(
    remaining_slices_trunc, include_barriers=False
)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs_trunc.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs_trunc.group_commuting(qubit_wise=True))} groups.\n"
    f"After truncation, the error in our observable is bounded by {metadata.accumulated_error(0):.3e}"
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit_trunc.draw("mpl", scale=0.6)

Backpropagated 7 slices.
New observable has 82 terms, which can be combined into 8 groups.
After truncation, the error in our observable is bounded by 3.266e-02
Note that backpropagating one more slice would result in 114 terms across 12 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

نلاحظ أن الاقتطاع يُتيح لنا إعادة الانتشار الخلفي إلى عمق أكبر دون زيادة عدد المجموعات المتبادلة في المؤثر.

بعد الحصول على الـ ansatz المُخفَّض والمؤثرات الموسَّعة، يمكننا تحويل تجاربنا لتناسب الـ backend.

هنا سنستخدم حاسوباً كمياً من IBM® يضم 127 كيوبت لتوضيح كيفية التحويل إلى backend خاص بـ QPU.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)

pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=1)

# Transpile original experiment
circuit_isa = pm.run(circuit)
observable_isa = observable.apply_layout(circuit_isa.layout)

# Transpile backpropagated experiment
bp_circuit_isa = pm.run(bp_circuit)
bp_obs_isa = bp_obs.apply_layout(bp_circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment with truncated observable terms
bp_circuit_trunc_isa = pm.run(bp_circuit_trunc)
bp_obs_trunc_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_trunc_isa.layout)

ننشئ Primitive Unified Bloc (PUB) لكل حالة من الحالات الثلاث.

pub = (circuit_isa, observable_isa)
bp_pub = (bp_circuit_isa, bp_obs_isa)
bp_trunc_pub = (bp_circuit_trunc_isa, bp_obs_trunc_isa)

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

حساب قيمة التوقع

أخيراً، يمكننا تشغيل التجارب التي خضعت للانتشار الخلفي ومقارنتها بالتجربة الكاملة باستخدام StatevectorEstimator الخالي من الضوضاء.

ideal_estimator = Estimator()

# Run the experiments using Estimator primitive to obtain the exact outcome
result_exact = (
    ideal_estimator.run([(circuit, observable)]).result()[0].data.evs.item()
)
print(f"Exact expectation value: {result_exact}")

Exact expectation value: 0.8871244838989416

سنستخدم resilience_level = 2 في هذا المثال.

options = EstimatorOptions()
options.default_precision = 0.011
options.resilience_level = 2

estimator = EstimatorV2(mode=backend, options=options)

job = estimator.run([pub, bp_pub, bp_trunc_pub])

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة إلى الصيغة الكلاسيكية المطلوبة

result_no_bp = job.result()[0].data.evs.item()
result_bp = job.result()[1].data.evs.item()
result_bp_trunc = job.result()[2].data.evs.item()

std_no_bp = job.result()[0].data.stds.item()
std_bp = job.result()[1].data.stds.item()
std_bp_trunc = job.result()[2].data.stds.item()

print(
    f"Expectation value without backpropagation: {result_no_bp} ± {std_no_bp}"
)
print(f"Backpropagated expectation value: {result_bp} ± {std_bp}")
print(
    f"Backpropagated expectation value with truncation: {result_bp_trunc} ± {std_bp_trunc}"
)

Expectation value without backpropagation: 0.8033194665993642
Backpropagated expectation value: 0.8599808781259016
Backpropagated expectation value with truncation: 0.8868736004169483

methods = [
    "No backpropagation",
    "Backpropagation",
    "Backpropagation w/ truncation",
]
values = [result_no_bp, result_bp, result_bp_trunc]
stds = [std_no_bp, std_bp, std_bp_trunc]

ax = plt.gca()
plt.bar(methods, values, color="#a56eff", width=0.4, edgecolor="#8a3ffc")
plt.axhline(result_exact)
ax.set_ylim([0.6, 0.92])
plt.text(0.2, 0.895, "Exact result")
ax.set_ylabel(r"$M_Z$", fontsize=12)

Text(0, 0.5, '$M_Z$')

Output of the previous code cell

الجزء ب: توسيع النطاق!

لنستخدم الآن الانتشار العكسي للمؤثر (Operator Backpropagation) لدراسة ديناميكيات هاميلتوني سلسلة هايزنبرغ الكمومية (Heisenberg Spin Chain) المكوّنة من 50 كيوبت.

الخطوة 1: تعيين المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمومية

نأخذ في الاعتبار هاميلتوني مؤلف من 50 كيوبت، $\hat{\mathcal{H}}_{XYZ}$ ، للمسألة الموسّعة النطاق، مع الإبقاء على نفس قيم معاملات $J$ و $h$ المستخدمة في المثال الصغير النطاق. كما يبقى المرصود $M_Z = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle Z_i \rangle$ كما هو. هذه المسألة تتجاوز قدرة المحاكاة الكلاسيكية العنيفة (brute-force simulation).

num_qubits = 50
layout = [(i - 1, i) for i in range(1, num_qubits)]

# Instantiate a CouplingMap object
coupling_map = CouplingMap(layout)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

Output of the previous code cell

hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(np.pi / 8, np.pi / 4, np.pi / 2),
    ext_magnetic_field=(np.pi / 3, np.pi / 6, np.pi / 9),
)
print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
34906585+0.j])

observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1 / num_qubits) for i in range(num_qubits)],
    num_qubits,
)
observable

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
02+0.j])

بالنسبة لهذه المسألة الموسّعة النطاق، اعتمدنا زمن تطور قدره $0.2$ مع $4$ خطوات trotterيّة. اختيرت هذه المسألة بحيث تتجاوز حدود المحاكاة الكلاسيكية العنيفة، غير أنها قابلة للمحاكاة بأسلوب شبكة الموترات (tensor network). يتيح لنا ذلك التحقق من النتيجة المحصّلة عبر الانتشار العكسي على حاسوب كمومي مقارنةً بالنتيجة المثالية.

القيمة المتوقعة المثالية لهذه المسألة، كما أُحصيت عبر محاكاة شبكة الموترات، هي $\simeq 0.89$ .

circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    time=0.2,
    synthesis=LieTrotter(reps=4),
)
circuit.draw("mpl", style="iqp", fold=-1, scale=0.6)

Output of the previous code cell

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على العتاد الكمومي

slices = slice_by_gate_types(circuit)
print(f"Separated the circuit into {len(slices)} slices.")

Separated the circuit into 36 slices.

نحدد max_error_per_slice بقيمة 0.005 كما في السابق. غير أن عدد الشرائح في هذه المسألة الكبيرة النطاق أعلى بكثير مما كان في المسألة الصغيرة، مما يعني أن السماح بخطأ 0.005 لكل شريحة قد يُفضي إلى خطأ إجمالي كبير في الانتشار العكسي. يمكن تقييد ذلك بتحديد max_error_total الذي يحدّ من إجمالي خطأ الانتشار العكسي، وقد حددنا قيمته بـ 0.03 (وهو تقريبا ما كان عليه في المثال الصغير النطاق).

في هذا المثال الكبير النطاق، نسمح بقيمة أعلى لعدد المجموعات المتبادلة التبديل (commuting groups)، إذ نضبطه على 15.

op_budget = OperatorBudget(max_qwc_groups=15)
truncation_error_budget = setup_budget(
    max_error_total=0.03, max_error_per_slice=0.005
)

لنحصل أولا على الدائرة والمرصود اللذين خضعا للانتشار العكسي دون أي اقتطاع.

bp_obs, remaining_slices, metadata = backpropagate(
    observable, slices, operator_budget=op_budget
)
bp_circuit = combine_slices(remaining_slices)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} groups."
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)

Backpropagated 7 slices.
New observable has 634 terms, which can be combined into 12 groups.
Note that backpropagating one more slice would result in 1246 terms across 27 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

والآن بالسماح بالاقتطاع، نحصل على:

bp_obs_trunc, remaining_slices_trunc, metadata = backpropagate(
    observable,
    slices,
    operator_budget=op_budget,
    truncation_error_budget=truncation_error_budget,
)

# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit_trunc = combine_slices(
    remaining_slices_trunc, include_barriers=False
)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs_trunc.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs_trunc.group_commuting(qubit_wise=True))} groups.\n"
    f"After truncation, the error in our observable is bounded by {metadata.accumulated_error(0):.3e}"
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit_trunc.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)

Backpropagated 10 slices.
New observable has 646 terms, which can be combined into 14 groups.
After truncation, the error in our observable is bounded by 2.998e-02
Note that backpropagating one more slice would result in 1226 terms across 29 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

نلاحظ أن السماح بالاقتطاع يؤدي إلى انتشار عكسي لثلاث شرائح إضافية. يمكننا التحقق من العمق الثنائي الكيوبت للدائرة الأصلية، والدائرة التي خضعت للانتشار العكسي، والدائرة التي خضعت للانتشار العكسي مع الاقتطاع بعد عملية الضبط (transpilation).

# Transpile original experiment
circuit_isa = pm.run(circuit)
observable_isa = observable.apply_layout(circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment
bp_circuit_isa = pm.run(bp_circuit)
bp_obs_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment with truncated observable terms
bp_circuit_trunc_isa = pm.run(bp_circuit_trunc)
bp_obs_trunc_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_trunc_isa.layout)

print(
    f"2-qubit depth of original circuit: {circuit_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
print(
    f"2-qubit depth of backpropagated circuit: {bp_circuit_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
print(
    f"2-qubit depth of backpropagated circuit with truncation: {bp_circuit_trunc_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)

2-qubit depth of original circuit: 48
2-qubit depth of backpropagated circuit: 40
2-qubit depth of backpropagated circuit with truncation: 36

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

pubs = [
    (circuit_isa, observable_isa),
    (bp_circuit_isa, bp_obs_isa),
    (bp_circuit_trunc_isa, bp_obs_trunc_isa),
]

options = EstimatorOptions()
options.default_precision = 0.01
options.resilience_level = 2
options.resilience.zne.noise_factors = [1, 1.2, 1.4]
options.resilience.zne.extrapolator = ["linear"]

estimator = EstimatorV2(mode=backend, options=options)

job = estimator.run(pubs)

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة إلى الصيغة الكلاسيكية المطلوبة

result_no_bp = job.result()[0].data.evs.item()
result_bp = job.result()[1].data.evs.item()
result_bp_trunc = job.result()[2].data.evs.item()

print(f"Expectation value without backpropagation: {result_no_bp}")
print(f"Backpropagated expectation value: {result_bp}")
print(f"Backpropagated expectation value with truncation: {result_bp_trunc}")

Expectation value without backpropagation: 0.7887194658035515
Backpropagated expectation value: 0.9532818300978584
Backpropagated expectation value with truncation: 0.8913400398926913

methods = [
    "No backpropagation",
    "Backpropagation",
    "Backpropagation w/ truncation",
]
values = [result_no_bp, result_bp, result_bp_trunc]

ax = plt.gca()
plt.bar(methods, values, color="#a56eff", width=0.4, edgecolor="#8a3ffc")
plt.axhline(0.89)
ax.set_ylim([0.6, 0.98])
plt.text(0.2, 0.895, "Exact result")
ax.set_ylabel(r"$M_Z$", fontsize=12)

Text(0, 0.5, '$M_Z$')

Output of the previous code cell

استطلاع الدرس التعليمي

يُرجى المشاركة في هذا الاستطلاع القصير لتقديم ملاحظاتك حول هذا الدرس التعليمي. ستساعدنا آراؤك في تحسين محتوانا وتجربة المستخدم.

الخلفية النظرية​

المتطلبات​

الإعداد​

الجزء الأول: سلسلة دوران Heisenberg صغيرة الحجم​

الخطوة 1: تحويل المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمية​

تحويل التطور الزمني لنموذج Heisenberg الكمي إلى تجربة كمية.​

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على العتاد الكمي​

إنشاء شرائح الدائرة لإجراء الانتشار الخلفي​

تقييد الحد الأقصى لنمو المؤثر خلال الانتشار الخلفي​

إعادة الانتشار الخلفي للشرائح من الدائرة​

بعد الحصول على الـ ansatz المُخفَّض والمؤثرات الموسَّعة، يمكننا تحويل تجاربنا لتناسب الـ backend.​

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives​

حساب قيمة التوقع​

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة إلى الصيغة الكلاسيكية المطلوبة​

الجزء ب: توسيع النطاق!​

الخطوة 1: تعيين المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمومية​

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على العتاد الكمومي​

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives​

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة إلى الصيغة الكلاسيكية المطلوبة​

استطلاع الدرس التعليمي​

الخلفية النظرية

المتطلبات

الإعداد

الجزء الأول: سلسلة دوران Heisenberg صغيرة الحجم

الخطوة 1: تحويل المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمية

تحويل التطور الزمني لنموذج Heisenberg الكمي إلى تجربة كمية.

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على العتاد الكمي

إنشاء شرائح الدائرة لإجراء الانتشار الخلفي

تقييد الحد الأقصى لنمو المؤثر خلال الانتشار الخلفي

إعادة الانتشار الخلفي للشرائح من الدائرة

بعد الحصول على الـ ansatz المُخفَّض والمؤثرات الموسَّعة، يمكننا تحويل تجاربنا لتناسب الـ backend.

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

حساب قيمة التوقع

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة إلى الصيغة الكلاسيكية المطلوبة

الجزء ب: توسيع النطاق!

الخطوة 1: تعيين المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمومية

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على العتاد الكمومي

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة إلى الصيغة الكلاسيكية المطلوبة

استطلاع الدرس التعليمي