خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي

تقدير الاستخدام: 22 دقيقة على معالج Heron r3 (ملاحظة: هذا تقدير فحسب. قد يختلف وقت التشغيل الفعلي.)

الخلفية النظرية

يوضح هذا البرنامج التعليمي كيفية تنفيذ خوارزمية التحسين التقريبي الكمومي (QAOA) – وهي طريقة تكرارية هجينة (كمومية-كلاسيكية) – في سياق أنماط Qiskit. ستحل أولاً مسألة القطع الأقصى (أو Max-Cut) لرسم بياني صغير، ثم ستتعلم كيفية تنفيذه على نطاق الاستخدام العملي. ينبغي أن تُنفَّذ جميع عمليات تشغيل الأجهزة في هذا البرنامج التعليمي ضمن الحد الزمني المتاح للخطة المفتوحة المتاحة مجاناً.

مسألة القطع الأقصى هي مسألة تحسين يصعب حلها (وبصورة أدق، هي مسألة NP-hard) ولها تطبيقات عديدة في التجميع وعلم الشبكات والفيزياء الإحصائية. يأخذ هذا البرنامج التعليمي رسماً بيانياً من عقد مرتبطة بحواف، ويهدف إلى تقسيم العقد إلى مجموعتين بحيث يكون عدد الحواف التي يقطعها هذا التقسيم أقصى ما يمكن.

المتطلبات

قبل البدء في هذا البرنامج التعليمي، تأكد من تثبيت ما يلي:

• Qiskit SDK الإصدار v1.0 أو أحدث، مع دعم التصور المرئي
• Qiskit Runtime الإصدار v0.22 أو أحدث (pip install qiskit-ibm-runtime)

بالإضافة إلى ذلك، ستحتاج إلى صلاحية الوصول إلى نسخة على IBM Quantum Platform. لاحظ أن هذا البرنامج التعليمي لا يمكن تنفيذه على الخطة المفتوحة، إذ يشغّل أحمال عمل باستخدام الجلسات، المتاحة فقط ضمن الخطة المميزة.

الإعداد

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import rustworkx as rx
from rustworkx.visualization import mpl_draw as draw_graph
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from collections import defaultdict
from typing import Sequence

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.circuit.library import QAOAAnsatz
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import Session, EstimatorV2 as Estimator
from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

الجزء الأول: QAOA على نطاق صغير

يستخدم الجزء الأول من هذا البرنامج التعليمي مسألة قطع أقصى صغيرة النطاق لتوضيح خطوات حل مسألة تحسين باستخدام حاسوب كمومي.

لإعطاء بعض السياق قبل تحويل هذه المسألة إلى خوارزمية كمومية، يمكن فهم كيفية تحوّل مسألة القطع الأقصى إلى مسألة تحسين تركيبي كلاسيكية بالنظر أولاً في تقليل دالة $f(x)$

$$\min_{x\in \{0, 1\}^n}f(x),$$

حيث المدخل $x$ هو متجه تتوافق مكوناته مع كل عقدة في الرسم البياني. بعد ذلك، يُقيَّد كل مكون من هذه المكونات ليكون إما $0$ أو $1$ (يمثلان الإدراج أو عدم الإدراج في القطع). يستخدم هذا المثال الصغير رسماً بيانياً بـ $n=5$ عقد.

يمكن كتابة دالة لزوج من العقد $i,j$ تشير إلى ما إذا كان الحافة المقابلة $(i,j)$ موجودة في القطع. على سبيل المثال، الدالة $x_i + x_j - 2 x_i x_j$ تساوي 1 فقط إذا كانت إحدى القيمتين $x_i$ أو $x_j$ تساوي 1 (مما يعني أن الحافة موجودة في القطع)، وتساوي صفراً في الحالات الأخرى. يمكن صياغة مسألة تعظيم الحواف في القطع على النحو التالي

$$\max_{x\in \{0, 1\}^n} \sum_{(i,j)} x_i + x_j - 2 x_i x_j,$$

والتي يمكن إعادة كتابتها على شكل تقليل كما يلي

$$\min_{x\in \{0, 1\}^n} \sum_{(i,j)} 2 x_i x_j - x_i - x_j.$$

الحد الأدنى لـ $f(x)$ في هذه الحالة يتحقق حين يكون عدد الحواف التي يقطعها القطع أكبر ما يمكن. كما ترى، لا يوجد حتى الآن أي ارتباط بالحوسبة الكمومية. تحتاج إلى إعادة صياغة هذه المسألة بشكل يستطيع الحاسوب الكمومي فهمه. ابدأ بتهيئة مسألتك بإنشاء رسم بياني بـ $n=5$ عقد.

n = 5

graph = rx.PyGraph()
graph.add_nodes_from(np.arange(0, n, 1))
edge_list = [
    (0, 1, 1.0),
    (0, 2, 1.0),
    (0, 4, 1.0),
    (1, 2, 1.0),
    (2, 3, 1.0),
    (3, 4, 1.0),
]
graph.add_edges_from(edge_list)
draw_graph(graph, node_size=600, with_labels=True)

الخطوة 1: تحويل المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمومية

الخطوة الأولى في النمط هي تحويل المسألة الكلاسيكية (الرسم البياني) إلى دوائر وعوامل كمومية. لتحقيق ذلك، هناك ثلاث خطوات رئيسية:

1. استخدام سلسلة من إعادات الصياغة الرياضية لتمثيل المسألة باستخدام تدوين مسائل التحسين الثنائي التربيعي غير المقيّد (QUBO).
2. إعادة كتابة مسألة التحسين على شكل هاميلتوني تتوافق حالته الأساسية مع الحل الذي يقلل دالة التكلفة.
3. إنشاء دائرة كمومية لتهيئة الحالة الأساسية لهذا الهاميلتوني عبر عملية مشابهة للتلدين الكمومي.

ملاحظة: في منهجية QAOA، الهدف النهائي هو الحصول على عامل (هاميلتوني) يمثل دالة التكلفة لخوارزميتنا الهجينة، فضلاً عن دائرة ذات معاملات (Ansatz) تمثل الحالات الكمومية التي تُعدّ حلولاً مرشحة للمسألة. يمكن أخذ عينات من هذه الحالات المرشحة ثم تقييمها باستخدام دالة التكلفة.

الرسم البياني → مسألة التحسين

الخطوة الأولى في التحويل هي تغيير التدوين؛ يعبّر ما يلي عن المسألة بتدوين QUBO:

$$\min_{x\in \{0, 1\}^n}x^T Q x,$$

حيث $Q$ هي مصفوفة $n\times n$ من الأعداد الحقيقية، و$n$ يتوافق مع عدد العقد في رسمك البياني، و$x$ هو متجه المتغيرات الثنائية المُعرَّف أعلاه، و$x^T$ يشير إلى منقول المتجه $x$.

Maximize
 -2*x_0*x_1 - 2*x_0*x_2 - 2*x_0*x_4 - 2*x_1*x_2 - 2*x_2*x_3 - 2*x_3*x_4 + 3*x_0
 + 2*x_1 + 3*x_2 + 2*x_3 + 2*x_4

Subject to
  No constraints

  Binary variables (5)
    x_0 x_1 x_2 x_3 x_4

مسألة التحسين → الهاميلتوني

يمكنك بعد ذلك إعادة صياغة مسألة QUBO على شكل هاميلتوني (أي مصفوفة تمثل طاقة نظام ما):

$$H_C=\sum_{ij}Q_{ij}Z_iZ_j + \sum_i b_iZ_i.$$

خطوات إعادة الصياغة من مسألة QAOA إلى الهاميلتوني

لتوضيح كيفية إعادة كتابة مسألة QAOA بهذه الطريقة، استبدل أولاً المتغيرات الثنائية $x_i$ بمجموعة جديدة من المتغيرات $z_i\in\{-1, 1\}$ عبر

$$x_i = \frac{1-z_i}{2}.$$

يمكن هنا ملاحظة أنه إذا كانت $x_i$ تساوي $0$، فإن $z_i$ يجب أن تساوي $1$. حين يُعوَّض $z_i$ عن $x_i$ في مسألة التحسين ($x^TQx$)، يمكن الحصول على صياغة مكافئة.

$$x^TQx=\sum_{ij}Q_{ij}x_ix_j \\ =\frac{1}{4}\sum_{ij}Q_{ij}(1-z_i)(1-z_j) \\=\frac{1}{4}\sum_{ij}Q_{ij}z_iz_j-\frac{1}{4}\sum_{ij}(Q_{ij}+Q_{ji})z_i + \frac{n^2}{4}.$$

الآن إذا عرّفنا $b_i=-\sum_{j}(Q_{ij}+Q_{ji})$، وأسقطنا عامل الضرب المسبق والحد الثابت $n^2$، نصل إلى الصياغتين المتكافئتين لمسألة التحسين ذاتها.

$$\min_{x\in\{0,1\}^n} x^TQx\Longleftrightarrow \min_{z\in\{-1,1\}^n}z^TQz + b^Tz$$

هنا، $b$ يعتمد على $Q$. لاحظ أننا للحصول على $z^TQz + b^Tz$ أسقطنا عامل 1/4 والإزاحة الثابتة $n^2$ اللتين لا تؤثران على عملية التحسين.

الآن، للحصول على صياغة كمومية للمسألة، نرفع متغيرات $z_i$ إلى مصفوفة Pauli $Z$، مثل مصفوفة $2\times 2$ من الشكل

$$Z_i = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}.$$

حين تُعوَّض هذه المصفوفات في مسألة التحسين أعلاه، نحصل على الهاميلتوني التالي

$$H_C=\sum_{ij}Q_{ij}Z_iZ_j + \sum_i b_iZ_i.$$

تذكّر أيضاً أن مصفوفات $Z$ مُضمَّنة في فضاء العمليات الحسابية للحاسوب الكمومي، أي فضاء هيلبرت بحجم $2^n\times 2^n$. لذلك، ينبغي فهم المصطلحات مثل $Z_iZ_j$ على أنها حاصل الضرب التنسوري $Z_i\otimes Z_j$ المُضمَّن في فضاء هيلبرت $2^n\times 2^n$. فمثلاً، في مسألة بخمسة متغيرات قرار، يُفهم الحد $Z_1Z_3$ على أنه $I\otimes Z_3\otimes I\otimes Z_1\otimes I$ حيث $I$ هي مصفوفة الهوية $2\times 2$.

يُسمى هذا الهاميلتوني هاميلتوني دالة التكلفة. ويتميز بأن حالته الأساسية تتوافق مع الحل الذي يقلل دالة التكلفة $f(x)$. وبالتالي، لحل مسألة التحسين تحتاج الآن إلى تهيئة الحالة الأساسية لـ $H_C$ (أو حالة ذات تداخل كبير معها) على الحاسوب الكمومي. ثم ستؤدي عملية أخذ العينات من هذه الحالة، باحتمالية عالية، إلى الحصول على حل لـ $\min~f(x)$. الآن لنتأمل الهاميلتوني $H_C$ لمسألة القطع الأقصى. نربط كل قمة من الرسم البياني بكيوبت في الحالة $|0\rangle$ أو $|1\rangle$، حيث تدل القيمة على المجموعة التي تنتمي إليها القمة. الهدف من المسألة هو تعظيم عدد الحواف $(v_1, v_2)$ التي يكون فيها $v_1 = |0\rangle$ و$v_2 = |1\rangle$، أو العكس. إذا ربطنا العامل $Z$ بكل كيوبت، حيث

$$Z|0\rangle = |0\rangle \qquad Z|1\rangle = -|1\rangle$$

فإن الحافة $(v_1, v_2)$ تنتمي إلى القطع إذا كانت القيمة الذاتية لـ $(Z_1|v_1\rangle) \cdot (Z_2|v_2\rangle) = -1$؛ بمعنى آخر، يكون الكيوبتان المرتبطان بـ $v_1$ و$v_2$ مختلفين. وبالمثل، لا تنتمي $(v_1, v_2)$ إلى القطع إذا كانت القيمة الذاتية لـ $(Z_1|v_1\rangle) \cdot (Z_2|v_2\rangle) = 1$. لاحظ أننا لا نهتم بالحالة الكمومية الدقيقة المرتبطة بكل قمة، بل يهمنا فقط ما إذا كانت الحالتان متماثلتين أم مختلفتين عبر كل حافة. تتطلب مسألة القطع الأقصى إيجاد توزيع للكيوبتات على القمم بحيث تُقلَّل القيمة الذاتية للهاميلتوني التالي

$$H_C = \sum_{(i,j) \in e} Q_{ij} \cdot Z_i Z_j.$$

بعبارة أخرى، $b_i = 0$ لجميع $i$ في مسألة القطع الأقصى. تمثل قيمة $Q_{ij}$ وزن الحافة. في هذا البرنامج التعليمي نعتبر رسماً بيانياً غير موزون، أي $Q_{ij} = 1.0$ لجميع $i, j$.

def build_max_cut_paulis(
    graph: rx.PyGraph,
) -> list[tuple[str, list[int], float]]:
    """Convert the graph to Pauli list.

    This function does the inverse of `build_max_cut_graph`
    """
    pauli_list = []
    for edge in list(graph.edge_list()):
        weight = graph.get_edge_data(edge[0], edge[1])
        pauli_list.append(("ZZ", [edge[0], edge[1]], weight))
    return pauli_list

max_cut_paulis = build_max_cut_paulis(graph)
cost_hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(max_cut_paulis, n)
print("Cost Function Hamiltonian:", cost_hamiltonian)

Cost Function Hamiltonian: SparsePauliOp(['IIIZZ', 'IIZIZ', 'ZIIIZ', 'IIZZI', 'IZZII', 'ZZIII'],
              coeffs=[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j])

الهاميلتوني → الدائرة الكمومية

يحتوي الهاميلتوني $H_C$ على التعريف الكمومي للمسألة. يمكنك الآن إنشاء دائرة كمومية تساعد في أخذ عينات جيدة من الحلول عبر الحاسوب الكمومي. تستلهم خوارزمية QAOA من التلدين الكمومي وتطبّق طبقات متناوبة من العوامل في الدائرة الكمومية.

الفكرة العامة هي البدء من الحالة الأساسية لنظام معروف، $H^{\otimes n}|0\rangle$ المذكور أعلاه، ثم توجيه النظام نحو الحالة الأساسية لعامل التكلفة المطلوب. يتم ذلك بتطبيق العوامل $\exp\{-i\gamma_k H_C\}$ و$\exp\{-i\beta_k H_m\}$ بزوايا $\gamma_1,...,\gamma_p$ و$\beta_1,...,\beta_p~$.

الدائرة الكمومية التي ستنشئها ذات معاملات بـ $\gamma_i$ و$\beta_i$، مما يتيح تجربة قيم مختلفة لـ $\gamma_i$ و$\beta_i$ وأخذ عينات من الحالة الناتجة.

في هذه الحالة، ستجرب مثالاً بطبقة QAOA واحدة تحتوي على معاملين: $\gamma_1$ و$\beta_1$.

circuit = QAOAAnsatz(cost_operator=cost_hamiltonian, reps=2)
circuit.measure_all()

circuit.draw("mpl")

circuit.parameters

 ParameterView([ParameterVectorElement(β[0]), ParameterVectorElement(β[1]), ParameterVectorElement(γ[0]), ParameterVectorElement(γ[1])])

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على الأجهزة الكمومية

تحتوي الدائرة أعلاه على سلسلة من التجريدات المفيدة للتفكير في الخوارزميات الكمومية، غير أنه لا يمكن تشغيلها مباشرةً على الأجهزة. لتتمكن من التشغيل على وحدة معالجة كمومية QPU، يجب أن تخضع الدائرة لسلسلة من العمليات التي تشكّل خطوة التحويل البرمجي أو تحسين الدائرة في النمط.

توفر مكتبة Qiskit سلسلة من ممرات التحويل البرمجي التي تلبي نطاقاً واسعاً من تحويلات الدوائر. تحتاج إلى التأكد من أن دائرتك محسَّنة لغرضك المحدد.

قد ينطوي التحويل البرمجي على عدة خطوات، منها:

• التعيين الأولي للكيوبتات في الدائرة (كمتغيرات القرار) على الكيوبتات المادية في الجهاز.
• فك التسلسل للتعليمات في الدائرة الكمومية إلى تعليمات أصيلة للأجهزة يستطيع المعالج تنفيذها.
• التوجيه لأي كيوبتات في الدائرة تتفاعل مع كيوبتات مادية متجاورة.
• قمع الأخطاء بإضافة بوابات أحادية الكيوبت لقمع الضوضاء باستخدام فك الإقران الديناميكي.

مزيد من المعلومات حول التحويل البرمجي متاح في التوثيق.

يحوّل الكود التالي الدائرة المجردة ويحسّنها إلى صيغة جاهزة للتنفيذ على أحد الأجهزة المتاحة عبر السحابة باستخدام خدمة Qiskit IBM Runtime.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
print(backend)

# Create pass manager for transpilation
pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)

candidate_circuit = pm.run(circuit)
candidate_circuit.draw("mpl", fold=False, idle_wires=False)

<IBMBackend('test_heron_pok_1')>

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام عوامل Qiskit الأولية

في سير عمل QAOA، تُحدَّد معاملات QAOA المثلى في حلقة تحسين تكرارية، تُشغّل سلسلة من تقييمات الدائرة وتستخدم محسّناً كلاسيكياً للعثور على المعاملات المثلى $\beta_k$ و$\gamma_k$. تُنفَّذ هذه الحلقة التنفيذية عبر الخطوات التالية:

1. تحديد المعاملات الأولية
2. إنشاء Session جديدة تحتوي على حلقة التحسين والعامل الأولي المستخدم لأخذ عينات من الدائرة
3. بعد العثور على المجموعة المثلى من المعاملات، تنفيذ الدائرة مرة نهائية للحصول على التوزيع الأخير الذي سيُستخدم في خطوة ما بعد المعالجة.

تحديد الدائرة بالمعاملات الأولية

نبدأ بمعاملات مختارة بشكل اعتباطي.

initial_gamma = np.pi
initial_beta = np.pi / 2
init_params = [initial_beta, initial_beta, initial_gamma, initial_gamma]

تحديد المعالج الخلفي وعامل التنفيذ الأولي

استخدم عوامل Qiskit Runtime الأولية للتفاعل مع معالجات IBM®. العاملان الأوليان هما Sampler وEstimator، ويعتمد الاختيار بينهما على نوع القياس الذي تريد إجراءه على الحاسوب الكمومي. لتقليل $H_C$، استخدم Estimator إذ إن قياس دالة التكلفة يعادل ببساطة القيمة المتوقعة لـ $\langle H_C \rangle$.

التشغيل

يوفر العاملان الأوليان مجموعة متنوعة من أوضاع التنفيذ لجدولة أحمال العمل على الأجهزة الكمومية، ويعمل سير عمل QAOA بشكل تكراري ضمن جلسة.

يمكنك توصيل دالة التكلفة المبنية على Sampler بروتين التقليل الخاص بـ SciPy للعثور على المعاملات المثلى.

def cost_func_estimator(params, ansatz, hamiltonian, estimator):
    # transform the observable defined on virtual qubits to
    # an observable defined on all physical qubits
    isa_hamiltonian = hamiltonian.apply_layout(ansatz.layout)

    pub = (ansatz, isa_hamiltonian, params)
    job = estimator.run([pub])

    results = job.result()[0]
    cost = results.data.evs

    objective_func_vals.append(cost)

    return cost

objective_func_vals = []  # Global variable
with Session(backend=backend) as session:
    # If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `session=`
    estimator = Estimator(mode=session)
    estimator.options.default_shots = 1000

    # Set simple error suppression/mitigation options
    estimator.options.dynamical_decoupling.enable = True
    estimator.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
    estimator.options.twirling.enable_gates = True
    estimator.options.twirling.num_randomizations = "auto"

    result = minimize(
        cost_func_estimator,
        init_params,
        args=(candidate_circuit, cost_hamiltonian, estimator),
        method="COBYLA",
        tol=1e-2,
    )
    print(result)

message: Return from COBYLA because the trust region radius reaches its lower bound.
 success: True
  status: 0
     fun: -1.6295230263157894
       x: [ 1.530e+00  1.439e+00  4.071e+00  4.434e+00]
    nfev: 26
   maxcv: 0.0

تمكّن المحسّن من تقليل التكلفة والعثور على معاملات أفضل للدائرة.

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(objective_func_vals)
plt.xlabel("Iteration")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()

بعد العثور على المعاملات المثلى للدائرة، يمكنك تعيين هذه المعاملات وأخذ عينات من التوزيع النهائي المحصَّل بالمعاملات المُحسَّنة. هنا يجب استخدام العامل الأولي Sampler إذ إن توزيع الاحتمالات لقياسات السلاسل البتية هو الذي يتوافق مع القطع الأمثل للرسم البياني.

ملاحظة: هذا يعني تهيئة حالة كمومية $\psi$ في الحاسوب ثم قياسها. سيؤدي القياس إلى انهيار الحالة إلى حالة أساسية حسابية واحدة – مثلاً 010101110000... – تتوافق مع حل مرشح $x$ لمسألتنا التحسينية الأصلية ($\max f(x)$ أو $\min f(x)$ بحسب المهمة).

optimized_circuit = candidate_circuit.assign_parameters(result.x)
optimized_circuit.draw("mpl", fold=False, idle_wires=False)

# If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `backend=`
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = 10000

# Set simple error suppression/mitigation options
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = True
sampler.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
sampler.options.twirling.enable_gates = True
sampler.options.twirling.num_randomizations = "auto"

pub = (optimized_circuit,)
job = sampler.run([pub], shots=int(1e4))
counts_int = job.result()[0].data.meas.get_int_counts()
counts_bin = job.result()[0].data.meas.get_counts()
shots = sum(counts_int.values())
final_distribution_int = {key: val / shots for key, val in counts_int.items()}
final_distribution_bin = {key: val / shots for key, val in counts_bin.items()}
print(final_distribution_int)

{28: 0.0328, 11: 0.0343, 2: 0.0296, 25: 0.0308, 16: 0.0303, 27: 0.0302, 13: 0.0323, 7: 0.0312, 4: 0.0296, 9: 0.0295, 26: 0.0321, 30: 0.031, 23: 0.0324, 31: 0.0303, 21: 0.0335, 15: 0.0317, 12: 0.0309, 29: 0.0297, 3: 0.0313, 5: 0.0312, 6: 0.0274, 10: 0.0329, 22: 0.0353, 0: 0.0315, 20: 0.0326, 8: 0.0322, 14: 0.0306, 17: 0.0295, 18: 0.0279, 1: 0.0325, 24: 0.0334, 19: 0.0295}

الخطوة 4: ما بعد المعالجة وإعادة النتيجة بالصيغة الكلاسيكية المطلوبة

تُفسِّر خطوة ما بعد المعالجة ناتج أخذ العينات لاستخلاص حل للمسألة الأصلية. في هذه الحالة، نهتم بالسلسلة البتية ذات أعلى احتمالية لأنها تحدد القطع الأمثل. تتيح التماثلات في المسألة أربعة حلول محتملة، وستعيد عملية أخذ العينات أحدها باحتمالية أعلى بقليل، غير أنك ستلاحظ في التوزيع المُرسَم أدناه أن أربع سلاسل بتية تبرز بوضوح بوصفها أكثر احتمالاً من بقية السلاسل.

# auxiliary functions to sample most likely bitstring
def to_bitstring(integer, num_bits):
    result = np.binary_repr(integer, width=num_bits)
    return [int(digit) for digit in result]

keys = list(final_distribution_int.keys())
values = list(final_distribution_int.values())
most_likely = keys[np.argmax(np.abs(values))]
most_likely_bitstring = to_bitstring(most_likely, len(graph))
most_likely_bitstring.reverse()

print("Result bitstring:", most_likely_bitstring)

Result bitstring: [0, 1, 1, 0, 1]

matplotlib.rcParams.update({"font.size": 10})
final_bits = final_distribution_bin
values = np.abs(list(final_bits.values()))
top_4_values = sorted(values, reverse=True)[:4]
positions = []
for value in top_4_values:
    positions.append(np.where(values == value)[0])
fig = plt.figure(figsize=(11, 6))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
plt.xticks(rotation=45)
plt.title("Result Distribution")
plt.xlabel("Bitstrings (reversed)")
plt.ylabel("Probability")
ax.bar(list(final_bits.keys()), list(final_bits.values()), color="tab:grey")
for p in positions:
    ax.get_children()[int(p[0])].set_color("tab:purple")
plt.show()

تصوير أفضل قطع

من خلال سلسلة البتات المثلى، يمكنك تصوير هذا القطع على الرسم البياني الأصلي.

# auxiliary function to plot graphs
def plot_result(G, x):
    colors = ["tab:grey" if i == 0 else "tab:purple" for i in x]
    pos, _default_axes = rx.spring_layout(G), plt.axes(frameon=True)
    rx.visualization.mpl_draw(
        G, node_color=colors, node_size=100, alpha=0.8, pos=pos
    )

plot_result(graph, most_likely_bitstring)

وحساب قيمة القطع:

def evaluate_sample(x: Sequence[int], graph: rx.PyGraph) -> float:
    assert len(x) == len(
        list(graph.nodes())
    ), "The length of x must coincide with the number of nodes in the graph."
    return sum(
        x[u] * (1 - x[v]) + x[v] * (1 - x[u])
        for u, v in list(graph.edge_list())
    )

cut_value = evaluate_sample(most_likely_bitstring, graph)
print("The value of the cut is:", cut_value)

The value of the cut is: 5

الجزء الثاني: توسيع النطاق!

لديك إمكانية الوصول إلى العديد من الأجهزة التي تحتوي على أكثر من 100 qubit على منصة IBM Quantum®. اختر جهازاً لحل مسألة Max-Cut على رسم بياني موزون يضم 100 عقدة. هذه مسألة ذات "نطاق نفعي". خطوات بناء سير العمل هي نفسها المتبعة أعلاه، لكن مع رسم بياني أكبر بكثير.

n = 100  # Number of nodes in graph
graph_100 = rx.PyGraph()
graph_100.add_nodes_from(np.arange(0, n, 1))
elist = []
for edge in backend.coupling_map:
    if edge[0] < n and edge[1] < n:
        elist.append((edge[0], edge[1], 1.0))
graph_100.add_edges_from(elist)
draw_graph(graph_100, node_size=200, with_labels=True, width=1)

الخطوة 1: تحويل المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمومية

الرسم البياني → Hamiltonian

أولاً، حوّل الرسم البياني الذي تريد حله مباشرةً إلى Hamiltonian مناسب لـ QAOA.

max_cut_paulis_100 = build_max_cut_paulis(graph_100)

cost_hamiltonian_100 = SparsePauliOp.from_sparse_list(max_cut_paulis_100, 100)
print("Cost Function Hamiltonian:", cost_hamiltonian_100)

Cost Function Hamiltonian: SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j])

Hamiltonian → دائرة كمومية

circuit_100 = QAOAAnsatz(cost_operator=cost_hamiltonian_100, reps=1)
circuit_100.measure_all()

circuit_100.draw("mpl", fold=False, scale=0.2, idle_wires=False)

الخطوة 2: تهيئة المسألة للتنفيذ الكمومي

للتوسع في خطوة تهيئة الدائرة لتشمل مسائل ذات نطاق نفعي، يمكنك الاستفادة من استراتيجيات التحويل عالية الأداء التي أُدخلت في Qiskit SDK الإصدار 1.0. تشمل الأدوات الأخرى خدمة المحوّل الجديدة مع تمريرات المحوّل المُحسَّنة بالذكاء الاصطناعي.

pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)

candidate_circuit_100 = pm.run(circuit_100)
candidate_circuit_100.draw("mpl", fold=False, scale=0.1, idle_wires=False)

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

لتشغيل QAOA، يجب معرفة المعاملات المثلى $\gamma_k$ و $\beta_k$ التي ستُدخل في الدائرة المتغيرة. قُم بتحسين هذه المعاملات عن طريق تشغيل حلقة تحسين على الجهاز. تُقدّم الخلية طلبات المهام حتى تتقارب قيمة دالة التكلفة وتُحدَّد المعاملات المثلى لـ $\gamma_k$ و $\beta_k$.

إيجاد الحل المرشح عن طريق تشغيل التحسين على الجهاز

أولاً، قم بتشغيل حلقة التحسين لمعاملات الدائرة على الجهاز.

initial_gamma = np.pi
initial_beta = np.pi / 2
init_params = [initial_beta, initial_gamma]

objective_func_vals = []  # Global variable
with Session(backend=backend) as session:
    # If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `session=`
    estimator = Estimator(mode=session)

    estimator.options.default_shots = 1000

    # Set simple error suppression/mitigation options
    estimator.options.dynamical_decoupling.enable = True
    estimator.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
    estimator.options.twirling.enable_gates = True
    estimator.options.twirling.num_randomizations = "auto"

    result = minimize(
        cost_func_estimator,
        init_params,
        args=(candidate_circuit_100, cost_hamiltonian_100, estimator),
        method="COBYLA",
    )
    print(result)

message: Return from COBYLA because the trust region radius reaches its lower bound.
 success: True
  status: 0
     fun: -3.9939191365979383
       x: [ 1.571e+00  3.142e+00]
    nfev: 29
   maxcv: 0.0

بمجرد العثور على المعاملات المثلى من تشغيل QAOA على الجهاز، قم بتعيين هذه المعاملات للدائرة.

optimized_circuit_100 = candidate_circuit_100.assign_parameters(result.x)
optimized_circuit_100.draw("mpl", fold=False, idle_wires=False)

أخيراً، نفّذ الدائرة بالمعاملات المثلى لأخذ عينات من التوزيع المقابل.

# If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `backend=`
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = 10000

# Set simple error suppression/mitigation options
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = True
sampler.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
sampler.options.twirling.enable_gates = True
sampler.options.twirling.num_randomizations = "auto"

pub = (optimized_circuit_100,)
job = sampler.run([pub], shots=int(1e4))

counts_int = job.result()[0].data.meas.get_int_counts()
counts_bin = job.result()[0].data.meas.get_counts()
shots = sum(counts_int.values())
final_distribution_100_int = {
    key: val / shots for key, val in counts_int.items()
}

تحقق من أن التكلفة التي تم تصغيرها في حلقة التحسين قد تقاربت إلى قيمة معينة.

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(objective_func_vals)
plt.xlabel("Iteration")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة بالصيغة الكلاسيكية المطلوبة

نظراً لانخفاض احتمالية كل حل، استخرج الحل الذي يقابل أدنى تكلفة.

_PARITY = np.array(
    [-1 if bin(i).count("1") % 2 else 1 for i in range(256)],
    dtype=np.complex128,
)

def evaluate_sparse_pauli(state: int, observable: SparsePauliOp) -> complex:
    """Utility for the evaluation of the expectation value of a measured state."""
    packed_uint8 = np.packbits(observable.paulis.z, axis=1, bitorder="little")
    state_bytes = np.frombuffer(
        state.to_bytes(packed_uint8.shape[1], "little"), dtype=np.uint8
    )
    reduced = np.bitwise_xor.reduce(packed_uint8 & state_bytes, axis=1)
    return np.sum(observable.coeffs * _PARITY[reduced])

def best_solution(samples, hamiltonian):
    """Find solution with lowest cost"""
    min_cost = 1000
    min_sol = None
    for bit_str in samples.keys():
        # Qiskit use little endian hence the [::-1]
        candidate_sol = int(bit_str)
        # fval = qp.objective.evaluate(candidate_sol)
        fval = evaluate_sparse_pauli(candidate_sol, hamiltonian).real
        if fval <= min_cost:
            min_sol = candidate_sol

    return min_sol

best_sol_100 = best_solution(final_distribution_100_int, cost_hamiltonian_100)
best_sol_bitstring_100 = to_bitstring(int(best_sol_100), len(graph_100))
best_sol_bitstring_100.reverse()

print("Result bitstring:", best_sol_bitstring_100)

Result bitstring: [1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]

بعد ذلك، قم بتصوير القطع. العقد ذات اللون نفسه تنتمي إلى المجموعة ذاتها.

plot_result(graph_100, best_sol_bitstring_100)

احسب قيمة القطع.

cut_value_100 = evaluate_sample(best_sol_bitstring_100, graph_100)
print("The value of the cut is:", cut_value_100)

The value of the cut is: 124

الآن تحتاج إلى حساب قيمة الهدف لكل عينة قسّتها على الحاسوب الكمومي. العينة ذات أدنى قيمة للهدف هي الحل الذي يعيده الحاسوب الكمومي.

# auxiliary function to help plot cumulative distribution functions
def _plot_cdf(objective_values: dict, ax, color):
    x_vals = sorted(objective_values.keys(), reverse=True)
    y_vals = np.cumsum([objective_values[x] for x in x_vals])
    ax.plot(x_vals, y_vals, color=color)

def plot_cdf(dist, ax, title):
    _plot_cdf(
        dist,
        ax,
        "C1",
    )
    ax.vlines(min(list(dist.keys())), 0, 1, "C1", linestyle="--")

    ax.set_title(title)
    ax.set_xlabel("Objective function value")
    ax.set_ylabel("Cumulative distribution function")
    ax.grid(alpha=0.3)

# auxiliary function to convert bit-strings to objective values
def samples_to_objective_values(samples, hamiltonian):
    """Convert the samples to values of the objective function."""

    objective_values = defaultdict(float)
    for bit_str, prob in samples.items():
        candidate_sol = int(bit_str)
        fval = evaluate_sparse_pauli(candidate_sol, hamiltonian).real
        objective_values[fval] += prob

    return objective_values

result_dist = samples_to_objective_values(
    final_distribution_100_int, cost_hamiltonian_100
)

أخيراً، يمكنك رسم دالة التوزيع التراكمي لتصوير كيفية مساهمة كل عينة في التوزيع الاحتمالي الكلي والقيمة المقابلة للهدف. يُظهر الامتداد الأفقي نطاق قيم الهدف للعينات في التوزيع النهائي. من الناحية المثالية، ستلاحظ أن دالة التوزيع التراكمي تحتوي على "قفزات" عند الطرف الأدنى من محور قيمة دالة الهدف. سيعني ذلك أن عدداً قليلاً من الحلول ذات التكلفة المنخفضة لديها احتمالية عالية للأخذ منها عينات. أما المنحنى الأملس والعريض فيشير إلى أن كل عينة متساوية في الاحتمالية تقريباً، وقد تكون لها قيم هدف متباينة جداً، سواء منخفضة أو مرتفعة.

fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(8, 6))
plot_cdf(result_dist, ax, "Eagle device")

الخلاصة

أوضح هذا الدرس التعليمي كيفية حل مسألة تحسين باستخدام حاسوب كمومي عبر إطار عمل Qiskit patterns. تضمّن العرض مثالاً على نطاق نفعي، بأحجام دوائر لا يمكن محاكاتها بدقة كلاسيكياً. في الوقت الراهن، لا تتفوق الحواسيب الكمومية على الحواسيب الكلاسيكية في مجال التحسين التوافقي بسبب الضوضاء. غير أن الأجهزة تتحسن باستمرار، وتُطوَّر خوارزميات جديدة للحواسيب الكمومية على الدوام. والواقع أن كثيراً من البحوث التي تعمل على الاستدلال الكمومي لتحسين التوافقات تُختبر باستخدام محاكاة كلاسيكية تسمح فقط بعدد صغير من qubits، يتراوح عادةً حول 20 qubit. أما الآن، فمع أعداد أكبر من qubits وأجهزة ذات ضوضاء أقل، سيتمكن الباحثون من البدء في قياس أداء هذه الأساليب الكمومية الاستدلالية على أحجام مسائل كبيرة على الأجهزة الكمومية.

استطلاع الدرس التعليمي

يُرجى إجراء هذا الاستطلاع القصير لتقديم ملاحظاتك حول هذا الدرس التعليمي. ستُساعدنا آراؤك في تحسين محتوانا وتجربة المستخدم.

Link to survey