ترميز الارتباط بولي لتقليل متطلبات max-cut

تقدير وقت الاستخدام: 35 دقيقة على معالج Eagle r3 (ملاحظة: هذا تقدير فحسب. قد يختلف وقت التشغيل الفعلي.)

نتائج التعلم

بعد إتمام هذا الدرس التطبيقي، يُتوقع أن يحقق المستخدمون النتائج التالية:

فهم المبادئ النظرية وراء ترميز الارتباط بولي (PCE)، بما في ذلك كيفية تمكين سلاسل Pauli متعددة الأجسام من الضغط متعدد الحدود لمسائل التحسين الكلاسيكية.
تطبيق PCE عملياً لترميز مهام التحسين الكبيرة الحجم وحلها على أجهزة كمية قريبة المدى.

المتطلبات الأساسية

نوصي بالتعرف على المواضيع التالية قبل الشروع في هذا الدرس التطبيقي:

الخلفية النظرية

يقدم هذا الدرس التطبيقي ترميز الارتباط بولي (PCE) [1]، وهو نهج مصمم لتشفير مسائل التحسين في كيوبتات بكفاءة أعلى للحوسبة الكمية. يقوم PCE بتعيين المتغيرات الكلاسيكية في مسائل التحسين إلى ارتباطات متعددة الأجسام لمصفوفات Pauli، مما يؤدي إلى ضغط متعدد الحدود لمتطلبات الفضاء الخاصة بالمسألة. من خلال توظيف PCE، يُقلَّل عدد الكيوبتات اللازمة للتشفير، مما يجعله مفيداً بشكل خاص للأجهزة الكمية قريبة المدى ذات موارد الكيوبتات المحدودة. علاوة على ذلك، يُثبت تحليلياً أن PCE يخفف بطبيعته من ظاهرة "الهضاب العقيمة" (barren plateaus)، مما يوفر مرونة فائقة-متعددة الحدود في مواجهة هذه الظاهرة. تتيح هذه الميزة المدمجة أداءً غير مسبوق في أدوات حل التحسين الكمي.

نظرة عامة

يتكون نهج PCE من ثلاث خطوات رئيسية، كما هو موضح في الشكل 1 من [1] أدناه:

تشفير مسألة التحسين في فضاء ارتباط Pauli.
حل المسألة باستخدام أداة حل التحسين الكمي-الكلاسيكي.
فك تشفير الحل للعودة إلى فضاء التحسين الأصلي. نهج PCE قابل للتكيف مع أي أداة حل للتحسين الكمي قادرة على معالجة مصفوفات ارتباط Pauli. في الشكل 1 من [1]، تُستخدم مسألة max-cut كمثال توضيحي لنهج PCE. تُشفَّر مسألة max-cut التي تحتوي على $m=9$ عقدة في فضاء ارتباط Pauli، لتُمثَّل مسألة التحسين كمصفوفة ارتباط — وتحديداً ارتباطات ثنائية الجسم لمصفوفات Pauli عبر $n=3$ كيوبتات $(Q_1, Q_2, Q_3)$ . تشير ألوان العقد إلى سلسلة Pauli المستخدمة لكل عقدة مشفرة. على سبيل المثال، العقدة 1 التي تقابل المتغير الثنائي $x_1$ ، تُشفَّر بواسطة القيمة المتوقعة لـ $Z_1 \otimes Z_2 \otimes I_3$ ، في حين يُشفَّر $x_8$ بواسطة $I_1 \otimes Y_2 \otimes Y_3$ . يتوافق هذا مع ضغط $m$ متغيراً للمسألة في $n = O(m^{1/2})$ كيوبتاً. بشكل أعم، تتيح ارتباطات $k$ -الجسم ضغطات متعددة الحدود من الدرجة $k$ ، مع $k>1$ . تتكون مجموعة Pauli المختارة من ثلاث مجموعات فرعية من سلاسل Pauli المتبادلة الإبدال، مما يسمح بتقدير جميع $m$ ارتباطاً تجريبياً بثلاثة إعدادات قياس فحسب.

تُبنى دالة خسارة $\mathcal{L}$ من القيم المتوقعة لـ Pauli التي تحاكي دالة الهدف الأصلية لـ max-cut. ثم تُحسَّن دالة الخسارة باستخدام أداة حل التحسين الكمي-الكلاسيكي، كـ الحاسبة الذاتية الكمية التغايرية (VQE).

بمجرد اكتمال التحسين، يُفك تشفير الحل للعودة إلى فضاء التحسين الأصلي، مما يُنتج الحل الأمثل لـ max-cut.

المتطلبات

قبل البدء بهذا الدرس التطبيقي، تأكد من تثبيت ما يلي:

Qiskit SDK الإصدار v1.0 أو أحدث، مع دعم التصور المرئي
Qiskit Runtime الإصدار v0.22 أو أحدث (pip install qiskit-ibm-runtime)

الإعداد

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q networkx numpy qiskit qiskit-aer qiskit-ibm-runtime rustworkx scipy

from itertools import combinations

import numpy as np
import rustworkx as rx
import networkx as nx

from scipy.optimize import minimize, OptimizeResult

from qiskit.circuit.library import efficient_su2
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import Session
from rustworkx.visualization import mpl_draw
from qiskit_aer import AerSimulator

def calc_cut_size(graph, partition0, partition1):
    """Calculate the cut size of the given partitions of the graph."""

    cut_size = 0
    for edge0, edge1 in graph.edge_list():
        if edge0 in partition0 and edge1 in partition1:
            cut_size += 1
        elif edge0 in partition1 and edge1 in partition0:
            cut_size += 1
    return cut_size

مثال على محاكي صغير النطاق

service = QiskitRuntimeService()
real_backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=156
)
backend = AerSimulator.from_backend(real_backend)
print(f"We are using the {backend.name}")

We are using the aer_simulator_from(ibm_pittsburgh)

الخطوة 1: تعيين المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمية

مسألة max-cut

مسألة max-cut هي مسألة تحسين تركيبية تُعرَّف على رسم بياني $G = (V, E)$ ، حيث $V$ هي مجموعة الرؤوس و $E$ هي مجموعة الحواف. الهدف هو تقسيم الرؤوس إلى مجموعتين، $S$ و $V \setminus S$ ، بحيث يكون عدد الحواف بين المجموعتين أقصى ما يمكن. للاطلاع على وصف مفصّل لمسألة max-cut، يُرجى الرجوع إلى درس خوارزمية التحسين الكمي التقريبي التطبيقي. كذلك، تُستخدم مسألة max-cut كمثال في درس تقنيات متقدمة لـ QAOA التطبيقي. في تلك الدروس التطبيقية، تُستخدم خوارزمية QAOA لحل مسألة max-cut.

الرسم البياني -> هاميلتوني

لنبدأ بالنظر في رسم بياني عشوائي بـ 100 عقدة.

num_nodes = 100  # Number of nodes in graph
seed = 42
graph = rx.undirected_gnp_random_graph(num_nodes, 0.1, seed=seed)
mpl_draw(graph)

Output of the previous code cell

nx_graph = nx.Graph()
nx_graph.add_nodes_from(range(num_nodes))

for edge in graph.edge_list():
    nx_graph.add_edge(edge[0], edge[1])

curr_cut_size, partition = nx.approximation.one_exchange(nx_graph, seed=1)
print(f"Initial cut size: {curr_cut_size}")

Initial cut size: 345

نُشفِّر الرسم البياني بـ 100 عقدة في ارتباطات ثنائية الجسم لمصفوفات Pauli عبر تسعة كيوبتات (انظر الشرح أدناه). يُمثَّل الرسم البياني كمصفوفة ارتباط، حيث تُشفَّر كل عقدة بسلسلة Pauli. إشارة القيمة المتوقعة لسلسلة Pauli تشير إلى التقسيم الذي تنتمي إليه العقدة. على سبيل المثال، العقدة 0 مشفرة بسلسلة Pauli، $\prod_0 = I_{8} \otimes ... I_2 \otimes X_1 \otimes X_0$ . إشارة القيمة المتوقعة لسلسلة Pauli هذه تشير إلى التقسيم الذي تنتمي إليه العقدة 0. نعرّف ترميز ارتباط Pauli (PCE) بالنسبة لـ $\prod$ على النحو التالي:

$x_i \coloneqq \textit{sgn}(\langle\prod_i \rangle),$

حيث $x_i$ هو التقسيم الذي تنتمي إليه العقدة $i$ ، و $\langle \prod_i \rangle \coloneqq \langle \psi |\prod_i| \psi \rangle$ هي القيمة المتوقعة لسلسلة Pauli التي تُشفِّر العقدة $i$ على الحالة الكمية $|\psi \rangle$ . الآن، لنشفّر الرسم البياني في هاميلتوني باستخدام PCE. نقسّم العقد إلى ثلاث مجموعات: $S_1$ و $S_2$ و $S_3$ . ثم نشفّر العقد في كل مجموعة باستخدام سلاسل Pauli مع $X$ و $Y$ و $Z$ على التوالي. نحتاج إلى استخلاص العلاقة بين عدد العقد والكيوبتات اللازمة لتشفير جميع العقد. يؤدي استخدام جميع التباديل الممكنة للترميز إلى:

m=3\binom{n}{k}.

في هذا المثال نعتبر $k=2$ ، وبالتالي:

m = \frac{3}{2} n(n-1).

لذلك، يُعبَّر عن عدد الكيوبتات $n$ اللازمة للتعبير عن عدد معين من العقد $m$ على النحو التالي:

n = \left\lceil \frac{1 + \sqrt{1 + \tfrac{8}{3}m}}{2} \right\rceil.

لاحظ أن رمز $\lceil \cdot \rceil$ يمثل دالة السقف، التي تُقرّب أي عدد حقيقي إلى أقرب عدد صحيح أعلى. هذا يضمن أن يكون عدد الكيوبتات عدداً صحيحاً.

num_qubits = int(np.ceil((1 + np.sqrt(1 + (8 / 3) * num_nodes)) / 2))

list_size = num_nodes // 3
node_x = [i for i in range(list_size)]
node_y = [i for i in range(list_size, 2 * list_size)]
node_z = [i for i in range(2 * list_size, num_nodes)]

print(f"Number of qubits: {num_qubits}")
print("List 1:", node_x)
print("List 2:", node_y)
print("List 3:", node_z)

Number of qubits: 9
List 1: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32]
List 2: [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65]
List 3: [66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99]

def build_pauli_correlation_encoding(pauli, node_list, n, k=2):
    pauli_correlation_encoding = []
    for idx, c in enumerate(combinations(range(n), k)):
        if idx >= len(node_list):
            break
        paulis = ["I"] * n
        paulis[c[0]], paulis[c[1]] = pauli, pauli
        pauli_correlation_encoding.append(("".join(paulis)[::-1], 1))

    hamiltonian = []
    for pauli, weight in pauli_correlation_encoding:
        hamiltonian.append(SparsePauliOp.from_list([(pauli, weight)]))

    return hamiltonian

pauli_correlation_encoding_x = build_pauli_correlation_encoding(
    "X", node_x, num_qubits
)
pauli_correlation_encoding_y = build_pauli_correlation_encoding(
    "Y", node_y, num_qubits
)
pauli_correlation_encoding_z = build_pauli_correlation_encoding(
    "Z", node_z, num_qubits
)

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على الأجهزة الكمية

الدائرة الكمية

هنا، تُحدَّد الحالة $|\psi \rangle$ بالمعاملات $\mathbf{\theta}$ ، ونحسّن هذه المعاملات $\mathbf{\theta}$ باستخدام نهج تغاير. يستخدم هذا الدرس التطبيقي ansatz من نوع efficient_su2 لخوارزميتنا التغايرية نظراً لقدراتها التعبيرية وسهولة تطبيقها. كذلك نستخدم دالة الخسارة المخففة التي ستُقدَّم لاحقاً في هذا الدرس التطبيقي. ونتيجةً لذلك، يمكننا معالجة المسائل الكبيرة الحجم بعدد أقل من الكيوبتات وأعماق دوائر أقل.

# Build the quantum circuit
qc = efficient_su2(num_qubits, su2_gates=["ry", "rz"], reps=2)
qc.draw("mpl")

Output of the previous code cell

# Optimize the circuit

pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)
qc = pm.run(qc)

دالة الخسارة

بالنسبة لدالة الخسارة $\mathcal{L}$ ، نستخدم تخفيفاً لدالة الهدف الخاصة بـ max-cut كما هو موضح في [1]، والمعرّفة على النحو $\mathcal{V}(\mathbf{x}) \coloneqq \sum_{(i, j) \in E} W_{i, j}(1-x_i x_j)$ . حيث تدل $W_{i, j}$ على وزن الحافة $(i, j)$ ، وتمثل $x_i$ التقسيم الذي تنتمي إليه العقدة $i$ . دالة الخسارة $\mathcal{L}$ معرّفة على النحو:

$\mathcal{L}\coloneqq \sum_{(i, j) \in E} W_{i, j} \text{tanh} (\alpha \langle\prod_i \rangle) \text{tanh} (\alpha \langle\prod_j \rangle) + \mathcal{L}^{(\text{reg})},$

حيث استُبدلت دالة الهدف لـ max-cut بالمماسات الزائدية المرنة للقيم المتوقعة لسلاسل Pauli التي تُشفِّر العقد. يُقدَّم حد التنظيم $\mathcal{L}^{(\text{reg})}$ وعامل إعادة القياس $\alpha$ ، المتناسب مع عدد الكيوبتات، لتحسين أداء أداة الحل.

حد التنظيم معرّف على النحو:

$\mathcal{L}^{(\text{reg})}$ معرّف على النحو $\mathcal{L}^{(\text{reg})} \coloneqq \beta \nu \lbrack \frac{1}{m} \sum_{i \in V} \text{tanh} (\alpha \langle\prod_i \rangle)^2 \rbrack ^2$

حيث $\beta=1/2$ ، و $\nu = |E|/2 + (m -1) /4$ ، و $|E|$ هو عدد الحواف، و $m$ هو عدد العقد في الرسم البياني.

def loss_func_estimator(x, ansatz, hamiltonian, estimator, graph):
    """
    Calculates the specified loss function for the given ansatz, Hamiltonian,
    and graph.

    The expectation values of each Pauli string in the Hamiltonian are first
    obtained by running the ansatz on the quantum backend. These
    expectation values are then passed through the nonlinear function
    tanh(alpha * prod_i). The loss function is
    subsequently computed from these transformed values.
    """
    job = estimator.run(
        [
            (ansatz, hamiltonian[0], x),
            (ansatz, hamiltonian[1], x),
            (ansatz, hamiltonian[2], x),
        ]
    )
    result = job.result()

    # calculate the loss function
    node_exp_map = {}
    idx = 0
    for r in result:
        for ev in r.data.evs:
            node_exp_map[idx] = ev
            idx += 1

    loss = 0
    alpha = num_qubits
    for edge0, edge1 in graph.edge_list():
        loss += np.tanh(alpha * node_exp_map[edge0]) * np.tanh(
            alpha * node_exp_map[edge1]
        )

    regulation_term = 0
    for i in range(len(graph.nodes())):
        regulation_term += np.tanh(alpha * node_exp_map[i]) ** 2
    regulation_term = regulation_term / len(graph.nodes())
    regulation_term = regulation_term**2
    beta = 1 / 2
    v = len(graph.edges()) / 2 + (len(graph.nodes()) - 1) / 4
    regulation_term = beta * v * regulation_term

    loss = loss + regulation_term

    global experiment_result
    print(f"Iter {len(experiment_result)}: {loss}")
    experiment_result.append({"loss": loss, "exp_map": node_exp_map})
    return loss

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives

في هذا الدرس التطبيقي، نضع max_iter=50 في حلقة التحسين لأغراض العرض التوضيحي. إذا زدنا عدد التكرارات، يمكننا توقع نتائج أفضل.

pce = []
pce.append(
    [op.apply_layout(qc.layout) for op in pauli_correlation_encoding_x]
)
pce.append(
    [op.apply_layout(qc.layout) for op in pauli_correlation_encoding_y]
)
pce.append(
    [op.apply_layout(qc.layout) for op in pauli_correlation_encoding_z]
)

max_iter = 50
counter = {"i": 0}
last_x = {"value": None}
last_fun = {"value": None}

with Session(backend=backend) as session:
    estimator = Estimator(mode=session)

    experiment_result = []

    def loss_func(x):
        last_x["value"] = x.copy()
        if counter["i"] + 1 > max_iter:
            return last_fun["value"]
        counter["i"] += 1
        val = loss_func_estimator(
            x, qc, [pce[0], pce[1], pce[2]], estimator, graph
        )
        last_fun["value"] = val
        return val

    np.random.seed(seed)
    initial_params = np.random.rand(qc.num_parameters)

    result = minimize(
        loss_func, initial_params, method="COBYLA", options={"rhobeg": 1.0}
    )

    if counter["i"] >= max_iter:
        result = OptimizeResult(
            message=f"Return from COBYLA because the objective function "
            f"has been evaluated {max_iter} times.",
            success=False,
            status=3,
            fun=last_fun["value"],
            x=last_x["value"],
            nfev=counter["i"],
        )

print(result)

Iter 0: 159.88755362682548
Iter 1: 113.46202580636677
Iter 2: 56.76494226400048
Iter 3: 32.63357946896002
Iter 4: 21.517837239610117
Iter 5: 30.96034960483569
Iter 6: 20.780475923938027
Iter 7: 24.54251816279811
Iter 8: 27.834486461763042
Iter 9: 16.705460776812693
Iter 10: 18.020587887236864
Iter 11: 12.252379762741352
Iter 12: 5.253885750886939
Iter 13: 6.985984759592262
Iter 14: 6.908717244584757
Iter 15: 12.915466016863858
Iter 16: 4.105776920457279
Iter 17: 11.707504530740305
Iter 18: 7.154360511076546
Iter 19: 10.3890865704735
Iter 20: 10.376147647857252
Iter 21: 2.533430195296697
Iter 22: 3.8612421907795462
Iter 23: 6.103735057461906
Iter 24: -1.1190368234312347
Iter 25: 6.125915279494738
Iter 26: 11.086280445482455
Iter 27: 10.102569882302827
Iter 28: -0.02664415648133822
Iter 29: 7.621887727398785
Iter 30: 5.967346615554497
Iter 31: 3.85345716014828
Iter 32: 4.5494846149011
Iter 33: 10.006668112637232
Iter 34: -3.1927138938527877
Iter 35: 2.8829882366285116
Iter 36: 3.3130087521654144
Iter 37: -4.907566569808272
Iter 38: -4.980134722109894
Iter 39: -2.990457463896541
Iter 40: -5.938401817344579
Iter 41: -2.1807712386469724
Iter 42: -1.0945774380342126
Iter 43: -4.7548102593556685
Iter 44: -3.8762362299208144
Iter 45: -4.9348321021624
Iter 46: -6.487722842864011
Iter 47: 0.7064210113389331
Iter 48: -2.3428323031772216
Iter 49: -2.626032270380895
 message: Return from COBYLA because the objective function has been evaluated 50 times.
 success: False
  status: 3
     fun: -2.626032270380895
       x: [ 1.375e+00  1.951e+00 ...  9.395e-01  8.948e-01]
    nfev: 50

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة بالتنسيق الكلاسيكي المطلوب

تُحدَّد تقسيمات العقد بتقييم إشارة القيم المتوقعة لسلاسل Pauli التي تُشفِّر العقد.

# Calculate the partitions based on the final expectation values
# If the expectation value is positive, the node belongs to partition 0 (par0)
# Otherwise, the node belongs to partition 1 (par1)
def get_partitions(experiment_result):
    par0, par1 = set(), set()
    best_index = min(
        range(len(experiment_result)),
        key=lambda i: experiment_result[i]["loss"],
    )
    for i in experiment_result[best_index]["exp_map"]:
        if experiment_result[best_index]["exp_map"][i] >= 0:
            par0.add(i)
        else:
            par1.add(i)
    return par0, par1, best_index

par0, par1, best_index = get_partitions(experiment_result)
print(par0, par1)

{0, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 13, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 35, 37, 38, 40, 43, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 57, 61, 62, 63, 66, 67, 68, 70, 71, 74, 77, 81, 82, 83, 84, 87, 88, 94, 96, 99} {1, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 16, 19, 21, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 36, 39, 41, 42, 44, 45, 47, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 64, 65, 69, 72, 73, 75, 76, 78, 79, 80, 85, 86, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 97, 98}

يمكننا حساب حجم القطع لمسألة max-cut باستخدام تقسيمات العقدة.

cut_size = calc_cut_size(graph, par0, par1)
print(f"Cut size: {cut_size}")

Cut size: 268

بمجرد اكتمال التدريب، نُجري جولة واحدة من بحث تبديل البت الأحادي لتحسين الحل كخطوة معالجة لاحقة كلاسيكية. في هذه العملية، نبدّل تقسيمات عقدتين ونقيّم حجم القطع. إذا تحسّن حجم القطع، نحتفظ بالتبديل. نكرر هذه العملية لجميع أزواج العقد الممكنة المتصلة بحافة.

cur_bits = []

for i in experiment_result[best_index]["exp_map"]:
    if experiment_result[best_index]["exp_map"][i] >= 0:
        cur_bits.append(1)
    else:
        cur_bits.append(0)
print(cur_bits)

[1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1]

# Swap the partitions and calculate the cut size

def swap_partitions(graph, cur_bits):
    best_cut = 0
    best_bits = []
    for edge0, edge1 in graph.edge_list():
        swapped_bits = cur_bits.copy()
        swapped_bits[edge0], swapped_bits[edge1] = (
            swapped_bits[edge1],
            swapped_bits[edge0],
        )

        cur_partition = [set(), set()]
        for i, bit in enumerate(swapped_bits):
            if bit > 0:
                cur_partition[0].add(i)
            else:
                cur_partition[1].add(i)
        cut_size = calc_cut_size(graph, cur_partition[0], cur_partition[1])
        if best_cut < cut_size:
            best_cut = cut_size
            best_bits = swapped_bits
    return best_cut, best_bits

best_cut, best_bits = swap_partitions(graph, cur_bits)
print(best_cut, best_bits)

279 [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1]

مثال كبير النطاق على الأجهزة الحقيقية

# -------------------------Step 1-------------------------

num_nodes = 1500  # Number of nodes in graph
graph = rx.undirected_gnp_random_graph(num_nodes, 0.1, seed=seed)
nx_graph = nx.Graph()
nx_graph.add_nodes_from(range(num_nodes))
for edge in graph.edge_list():
    nx_graph.add_edge(edge[0], edge[1])

num_qubits = int(np.ceil((1 + np.sqrt(1 + (8 / 3) * num_nodes)) / 2))

list_size = num_nodes // 3
node_x = [i for i in range(list_size)]
node_y = [i for i in range(list_size, 2 * list_size)]
node_z = [i for i in range(2 * list_size, num_nodes)]

pauli_correlation_encoding_x = build_pauli_correlation_encoding(
    "X", node_x, num_qubits
)
pauli_correlation_encoding_y = build_pauli_correlation_encoding(
    "Y", node_y, num_qubits
)
pauli_correlation_encoding_z = build_pauli_correlation_encoding(
    "Z", node_z, num_qubits
)
print(f"We are using {num_qubits} qubits")

# -------------------------Step 2-------------------------
backend = real_backend
print(f"We are using the {backend.name}")
qc = efficient_su2(num_qubits, ["ry", "rz"], reps=2)
pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)
qc = pm.run(qc)
# -------------------------Step 3-------------------------
pce = []
pce.append(
    [op.apply_layout(qc.layout) for op in pauli_correlation_encoding_x]
)
pce.append(
    [op.apply_layout(qc.layout) for op in pauli_correlation_encoding_y]
)
pce.append(
    [op.apply_layout(qc.layout) for op in pauli_correlation_encoding_z]
)

# Run the optimization using a session.
max_iter = 50
counter = {"i": 0}
with Session(backend=backend) as session:
    estimator = Estimator(mode=session)
    estimator.options.environment.job_tags = ["TUT_PCEFQ"]
    experiment_result = []

    def loss_func(x):
        last_x["value"] = x.copy()
        if counter["i"] + 1 > max_iter:
            return last_fun["value"]
        counter["i"] += 1
        val = loss_func_estimator(
            x, qc, [pce[0], pce[1], pce[2]], estimator, graph
        )
        last_fun["value"] = val
        return val

    np.random.seed(seed)
    initial_params = np.random.rand(qc.num_parameters)
    result = minimize(
        loss_func, initial_params, method="COBYLA", options={"rhobeg": 1.0}
    )
    if counter["i"] >= max_iter:
        result = OptimizeResult(
            message="Return from COBYLA because the objective function "
            "has been evaluated {max_iter} times.",
            success=False,
            status=3,
            fun=last_fun["value"],
            x=last_x["value"],
            nfev=counter["i"],
        )
print(result)

# -------------------------Step 4-------------------------

par0, par1, best_index = get_partitions(experiment_result)
cut_size = calc_cut_size(graph, par0, par1)
print(f"Cut size: {cut_size}")

best_bits = []
cur_bits = []
for i in experiment_result[best_index]["exp_map"]:
    if experiment_result[best_index]["exp_map"][i] >= 0:
        cur_bits.append(1)
    else:
        cur_bits.append(0)
best_cut, best_bits = swap_partitions(graph, cur_bits)
# Print final solution

print(
    f"The best max-cut value achieved for a graph with {num_nodes} nodes "
    f"on {num_qubits} qubits is {best_cut}"
)
print(f"and the specific partition we obtained is {best_bits}")

We are using 33 qubits
We are using the ibm_pittsburgh
Iter 0: 57399.57543902076
Iter 1: 56458.787143794
Iter 2: 40778.45608998947
Iter 3: 35571.58511146131
Iter 4: 33861.6835761173
Iter 5: 39697.22637736274
Iter 6: 34984.77893767163
Iter 7: 32051.882157096858
Iter 8: 26134.153216063707
Iter 9: 24914.322627065787
Iter 10: 24030.21227315425
Iter 11: 23047.463945514
Iter 12: 22629.42866110748
Iter 13: 17374.859132614685
Iter 14: 18020.11637762458
Iter 15: 17924.7066364044
Iter 16: 15825.1992250984
Iter 17: 16553.346711978447
Iter 18: 12393.565736512377
Iter 19: 11994.021456089155
Iter 20: 11199.994322735669
Iter 21: 9624.895532927634
Iter 22: 9073.811130188606
Iter 23: 9836.721241931278
Iter 24: 10555.925186133794
Iter 25: 9179.1179493286
Iter 26: 8495.394826965305
Iter 27: 8913.688189840399
Iter 28: 7830.448471810181
Iter 29: 7757.430542422075
Iter 30: 6796.187594518731
Iter 31: 7307.985913766867
Iter 32: 7340.225833330675
Iter 33: 7064.731899380469
Iter 34: 7632.270657372515
Iter 35: 7049.154710767935
Iter 36: 7486.118442084411
Iter 37: 6302.12602219333
Iter 38: 6244.934230209166
Iter 39: 7154.9748739261395
Iter 40: 6482.109600054041
Iter 41: 5718.475169152395
Iter 42: 5693.008457857462
Iter 43: 4869.782667921923
Iter 44: 4957.625304450959
Iter 45: 5582.240637063214
Iter 46: 4983.90082772116
Iter 47: 5416.268575648202
Iter 48: 4809.98398457807
Iter 49: 5092.527306646118
 message: Return from COBYLA because the objective function has been evaluated 50 times.
 success: False
  status: 3
     fun: 5092.527306646118
       x: [ 1.375e+00  1.951e+00 ...  7.259e-01  8.971e-01]
    nfev: 50
Cut size: 56152
The best max-cut value achieved for a graph with 1500 nodes on 33 qubits is 56219
and the specific partition we obtained is [1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

الخطوات التالية

توصيات

إذا وجدت هذا العمل مثيراً للاهتمام، فقد تهمك المواد التالية:

المراجع

[1] Sciorilli, M., Borges, L., Patti, T. L., García-Martín, D., Camilo, G., Anandkumar, A., & Aolita, L. (2024). Towards large-scale quantum optimization solvers with few qubits. arXiv preprint arXiv:2401.09421.

استطلاع الدرس التطبيقي

يُرجى إجراء هذا الاستطلاع القصير لتقديم ملاحظاتك حول هذا الدرس التطبيقي. ستساعدنا آراؤك في تحسين محتوانا وتجربة المستخدم.

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.

نتائج التعلم​

المتطلبات الأساسية​

الخلفية النظرية​

نظرة عامة​

المتطلبات​

الإعداد​

مثال على محاكي صغير النطاق​

الخطوة 1: تعيين المدخلات الكلاسيكية إلى مسألة كمية​

مسألة max-cut​

الرسم البياني -> هاميلتوني​

الخطوة 2: تحسين المسألة لتنفيذها على الأجهزة الكمية​

الدائرة الكمية​

دالة الخسارة​

الخطوة 3: التنفيذ باستخدام Qiskit primitives​

الخطوة 4: المعالجة اللاحقة وإعادة النتيجة بالتنسيق الكلاسيكي المطلوب​