كرة بلوخ

ثمة طريقة هندسية مفيدة لتمثيل حالات الكيوبت تُعرف بـكرة بلوخ. إنها مريحة جداً، لكنها للأسف تعمل فقط مع الكيوبتات — إذ لا يعود التمثيل المماثل مرتبطاً بجسم كروي حالما نمتلك ثلاث حالات كلاسيكية أو أكثر لنظامنا.

حالات الكيوبت كنقاط على كرة

لنبدأ بالتفكير في متجه حالة كمومية لكيوبت: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ يمكننا قصر اهتمامنا على المتجهات التي يكون فيها $\alpha$ عدداً حقيقياً غير سالب، لأن كل متجه حالة كيوبت يكافئ، حتى طور كوني، متجهاً يحقق $\alpha \geq 0.$ هذا يتيح لنا كتابة

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

لعددين حقيقيين $\theta \in [0,\pi]$ و$\phi\in[0,2\pi).$ هنا، نسمح لـ$\theta$ بالتراوح بين $0$ و$\pi$ ونقسم على $2$ في وسيط الجيب وجيب التمام لأن هذه طريقة تقليدية لمعلمنة متجهات من هذا النوع، وستُبسّط الأمور قريباً.

لا يتحدد العددان $\theta$ و$\phi$ بصورة فريدة من متجه حالة كمومية معطى $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$، لكن الأمر يكاد يكون كذلك. تحديداً، إذا كان $\beta = 0$، فحينئذٍ $\theta = 0$ وقيمة $\phi$ لا تُحدث فرقاً، لذا يمكن اختيارها بشكل اعتباطي. وبالمثل، إذا كان $\alpha = 0$، فحينئذٍ $\theta = \pi$، وأيضاً $\phi$ لا يهم (إذ حالتنا تكافئ $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ لأي $\phi$ حتى طور كوني). أما إذا لم يكن $\alpha$ ولا $\beta$ صفراً، فثمة اختيار فريد للزوج $(\theta,\phi)$ يجعل $\vert\psi\rangle$ مكافئاً لـ$\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ حتى طور كوني.

بعد ذلك، لنأخذ بعين الاعتبار تمثيل مصفوفة الكثافة لهذه الحالة.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

يمكننا استخدام بعض المتطابقات المثلثية،

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

وكذلك الصيغة $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ لتبسيط مصفوفة الكثافة على النحو الآتي.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

هذا يُيسّر التعبير عن مصفوفة الكثافة كتركيب خطي من مصفوفات باولي:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

تحديداً، نستنتج أن

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

معاملات $\sigma_x$ و$\sigma_y$ و$\sigma_z$ في بسط هذه العبارة كلها أعداد حقيقية، لذا يمكننا تجميعها لتشكيل متجه في الفضاء الإقليدي الثلاثي الأبعاد الاعتيادي.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

في الواقع، هذا متجه وحدة. باستخدام الإحداثيات الكروية يمكن كتابته كـ$(1,\theta,\phi).$ الإحداثي الأول $1$ يمثل نصف القطر أو المسافة الشعاعية (والتي تساوي دائماً $1$ في هذه الحالة)، $\theta$ يمثل الزاوية القطبية، و$\phi$ يمثل الزاوية السمتية.

بعبارة أبسط، إذا تخيلنا الكرة كوكب الأرض، فالزاوية القطبية $\theta$ هي مقدار دورانك جنوباً من القطب الشمالي للوصول إلى النقطة المحددة، من $0$ إلى $\pi = 180^{\circ}$، بينما الزاوية السمتية $\phi$ هي مقدار دورانك شرقاً من خط الزوال الأول، من $0$ إلى $2\pi = 360^{\circ}.$ هذا يفترض تعريف خط الزوال الأول بأنه المنحنى على سطح الكرة من قطب لآخر الذي يمر عبر المحور $x$ الموجب.

كل نقطة على الكرة يمكن وصفها بهذه الطريقة — أي أن النقاط التي نحصل عليها حين نتجول عبر جميع الحالات النقية الممكنة لكيوبت تتوافق بالضبط مع كرة في $3$ أبعاد حقيقية. (تُسمى هذه الكرة عادةً الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد لأن سطح الكرة ثنائي الأبعاد.)

حين نربط النقاط على الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد بالحالات النقية للكيوبتات، نحصل على تمثيل كرة بلوخ لهذه الحالات.

ستة أمثلة مهمة

1. الأساس القياسي $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ لنبدأ بالحالة $\vert 0\rangle.$ كمصفوفة كثافة يمكن كتابتها كالآتي.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   بجمع معاملات مصفوفات باولي في البسط، نجد أن النقطة المقابلة على الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد بالإحداثيات الديكارتية هي $(0,0,1).$ بالإحداثيات الكروية هذه النقطة هي $(1,0,\phi),$ حيث يمكن لـ$\phi$ أن تكون أي زاوية. هذا يتوافق مع التعبير

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   الذي ينجح أيضاً لأي $\phi.$ بشكل حدسي، الزاوية القطبية $\theta$ تساوي صفراً، لذا نحن عند القطب الشمالي لكرة بلوخ، حيث الزاوية السمتية غير ذات أثر.

   على نفس المنوال، يمكن كتابة مصفوفة الكثافة للحالة $\vert 1\rangle$ كالآتي.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   هذه المرة الإحداثيات الديكارتية هي $(0,0,-1).$ بالإحداثيات الكروية هذه النقطة هي $(1,\pi,\phi)$ حيث $\phi$ يمكن أن تكون أي زاوية. في هذه الحالة الزاوية القطبية وصلت إلى $\pi$، لذا نحن عند القطب الجنوبي حيث الزاوية السمتية أيضاً غير ذات أثر.

2. الأساس $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ لدينا هذه التعابير لمصفوفات الكثافة المقابلة لهذه الحالات.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   النقاط المقابلة على الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد لها الإحداثيات الديكارتية $(1,0,0)$ و$(-1,0,0)$، والإحداثيات الكروية $(1,\pi/2,0)$ و$(1,\pi/2,\pi)$ على التوالي.

   بعبارة أبسط، $\vert +\rangle$ تقابل النقطة التي يتقاطع فيها محور $x$ الموجب مع الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد، و$\vert -\rangle$ تقابل النقطة التي يتقاطع فيها محور $x$ السالب معها. بصورة أكثر حدسية، $\vert +\rangle$ تقع على خط الاستواء لكرة بلوخ عند تقاطعه مع خط الزوال الأول، و$\vert - \rangle$ تقع على خط الاستواء في الجانب المقابل من الكرة.

3. الأساس $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ كما رأينا سابقاً في الدرس، هاتان الحالتان معرّفتان كالآتي:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   هذه المرة لدينا هذه التعابير.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   النقاط المقابلة على الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد لها الإحداثيات الديكارتية $(0,1,0)$ و$(0,-1,0)$، والإحداثيات الكروية $(1,\pi/2,\pi/2)$ و$(1,\pi/2,3\pi/2)$ على التوالي.

   بعبارة أبسط، $\vert {+i} \rangle$ تقابل النقطة التي يتقاطع فيها محور $y$ الموجب مع الكرة الوحدة ثنائية الأبعاد، و$\vert {-i} \rangle$ تقابل النقطة التي يتقاطع فيها محور $y$ السالب معها.

إليك فئة أخرى من متجهات الحالة الكمومية ظهرت في أوقات متعددة على امتداد هذه السلسلة، بما في ذلك سابقاً في هذا الدرس.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

تمثيل مصفوفة الكثافة لكل من هذه الحالات كالآتي.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

الشكل الآتي يوضح النقاط المقابلة على كرة بلوخ لعدد من قيم $\alpha$.

التركيبات المحدّبة للنقاط

مشابهاً لما ناقشناه بالفعل لمصفوفات الكثافة، يمكننا أخذ التركيبات المحدّبة للنقاط على كرة بلوخ للحصول على تمثيلات لمصفوفات كثافة الكيوبت. بوجه عام، ينتج عن ذلك نقاط داخل كرة بلوخ، التي تمثل مصفوفات كثافة لحالات غير نقية. أحياناً نشير إلى كرة بلوخ الكاملة حين نريد التصريح باحتواء النقاط الداخلية أيضاً كتمثيلات لمصفوفات كثافة الكيوبت.

على سبيل المثال، رأينا أن مصفوفة الكثافة $\frac{1}{2}\mathbb{I}$، التي تمثل الحالة الممزوجة تماماً للكيوبت، يمكن كتابتها بهذين الشكلين البديلين:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

لدينا أيضاً

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

وبصورة أعم يمكننا استخدام أي متجهَي حالة كيوبت متعامدَين (اللذان سيتوافقان دائماً مع نقطتين متقابلتين على كرة بلوخ). إذا حسبنا متوسط النقاط المقابلة على كرة بلوخ بطريقة مشابهة، نحصل على نفس النقطة، وهي في هذه الحالة مركز الكرة. هذا يتوافق مع الملاحظة أن

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

مما يعطينا الإحداثيات الديكارتية $(0,0,0).$

مثال مختلف على التركيبات المحدّبة لنقاط كرة بلوخ هو المثال الذي نوقش في القسم السابق.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

الشكل الآتي يوضح هاتين الطريقتين المختلفتين للحصول على مصفوفة الكثافة هذه كتركيب محدّب من حالات نقية.