الأنظمة المتعددة والحالات المختزلة

سنتناول الآن كيفية عمل مصفوفات الكثافة مع الأنظمة المتعددة، مع أمثلة على أنواع مختلفة من الارتباطات التي يمكنها التعبير عنها، وكيف يمكن استخدامها لوصف حالات الأجزاء المعزولة من الأنظمة المركبة.

الأنظمة المتعددة

تستطيع مصفوفات الكثافة تمثيل حالات الأنظمة المتعددة بطريقة مشابهة لمتجهات الحالة في الصياغة المبسطة لمعلومات الكم، إذ تقوم على الفكرة الأساسية نفسها القائلة بأنه يمكن النظر إلى الأنظمة المتعددة كأنها نظام واحد مركب. من الناحية الرياضية، تتوافق صفوف وأعمدة مصفوفات الكثافة التي تمثل حالات أنظمة متعددة مع الضرب الديكارتي لمجموعات الحالات الكلاسيكية للأنظمة المنفردة.

على سبيل المثال، تذكّر تمثيلات متجه الحالة لحالات بيل الأربع:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

وتمثيلات مصفوفة الكثافة لهذه الحالات هي كما يلي:

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

حالات الضرب

كما هو الحال مع متجهات الحالة، تمثّل الضروب التنسورية لمصفوفات الكثافة الاستقلالية بين حالات الأنظمة المتعددة. فمثلاً، إذا أُعِدَّ النظام $\mathsf{X}$ في الحالة التي تمثلها مصفوفة الكثافة $\rho$، وأُعِدَّ النظام $\mathsf{Y}$ باستقلالية في الحالة التي تمثلها $\sigma$، فإن مصفوفة الكثافة التي تصف حالة $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ هي الضرب التنسوري $\rho\otimes\sigma$.

وتُستخدم هنا المصطلحات ذاتها المستخدمة في الصياغة المبسطة لمعلومات الكم: تُسمى الحالات ذات هذا الشكل حالات الضرب.

الحالات المترابطة والمتشابكة

الحالات التي لا يمكن التعبير عنها كحالات ضرب تمثّل ارتباطات بين الأنظمة. وفي الحقيقة، توجد أنواع مختلفة من الارتباطات التي يمكن لمصفوفات الكثافة تمثيلها. وفيما يلي بعض الأمثلة:

1. الحالات الكلاسيكية المترابطة. فمثلاً، يمكننا التعبير عن الموقف الذي تشترك فيه أليس وبوب في بِت عشوائي كالتالي:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. المجموعات (ensemble) من الحالات الكمومية. لنفترض أن لدينا $m$ مصفوفة كثافة $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$، وجميعها تمثل حالات نظام $\mathsf{X}$، ونختار إحدى هذه الحالات عشوائياً وفق متجه احتمالية $(p_0,\ldots,p_{m-1})$. يُمثَّل مثل هذا الإجراء بـمجموعة من الحالات (ensemble)، التي تتضمن تحديد مصفوفات الكثافة $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$، فضلاً عن الاحتمالات $(p_0,\ldots,p_{m-1})$. يمكننا إسناد مجموعة من الحالات إلى مصفوفة كثافة واحدة، تصف الاختيار العشوائي لـ $k$ ومصفوفة الكثافة المقابلة $\rho_k$، كالتالي:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   لتوضيح الأمر، هذه هي حالة الزوج $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ حيث يمثل $\mathsf{Y}$ الاختيار الكلاسيكي لـ $k$ — فنفترض أن مجموعة حالاته الكلاسيكية هي $\{0,\ldots,m-1\}$. تُسمى الحالات ذات هذا الشكل أحياناً الحالات الكلاسيكية-الكمومية.

3. الحالات القابلة للفصل. يمكننا تخيل مواقف يكون فيها ارتباط كلاسيكي بين الحالات الكمومية لنظامين كالتالي:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   بعبارة أخرى، لكل $k$ من $0$ إلى $m-1$، يكون النظام الأيسر في الحالة $\rho_k$ والنظام الأيمن في الحالة $\sigma_k$ باحتمالية $p_k$. تُسمى هذه الحالات الحالات القابلة للفصل. ويمكن توسيع هذا المفهوم لأكثر من نظامين.

4. الحالات المتشابكة. ليست كل حالات أزواج الأنظمة قابلة للفصل. في الصياغة العامة لمعلومات الكم، هكذا يُعرَّف التشابك: الحالات غير القابلة للفصل تُسمى متشابكة.

   لاحظ أن هذا المصطلح يتسق مع المصطلح الذي استخدمناه في دورة "أساسيات المعلومات الكمومية". فقد قلنا هناك إن متجهات الحالة الكمومية التي ليست حالات ضرب تمثل حالات متشابكة — وبالفعل، لأي متجه حالة كمومية $\vert\psi\rangle$ ليس حالة ضرب، نجد أن الحالة التي تمثلها مصفوفة الكثافة $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ ليست قابلة للفصل. والتشابك أكثر تعقيداً من ذلك بكثير للحالات غير النقية.

الحالات المختزلة والأثر الجزئي

ثمة شيء بسيط لكنه مهم يمكننا فعله بمصفوفات الكثافة في سياق الأنظمة المتعددة، وهو وصف الحالات التي نحصل عليها عند تجاهل بعض الأنظمة. حين تكون أنظمة متعددة في حالة كمومية ونتخلص من نظام واحد أو أكثر أو نختار تجاهله، تُسمى حالة الأنظمة المتبقية الحالة المختزلة لتلك الأنظمة. يمكن الحصول بسهولة على أوصاف مصفوفة الكثافة للحالات المختزلة عبر تحويل يُعرف بـالأثر الجزئي، ينطلق من مصفوفة الكثافة التي تصف حالة الكل.

مثال: الحالات المختزلة لـ e-bit

لنفترض أن لدينا زوجاً من الكيوبتات $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ في الحالة معاً:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

يمكننا تخيل أن أليس تحمل الكيوبت $\mathsf{A}$ وبوب يحمل $\mathsf{B}$، أي أنهما يتشاركان e-bit. نريد الحصول على وصف بمصفوفة الكثافة لكيوبت أليس $\mathsf{A}$ بمعزل عن غيره، كأن بوب قرر أخذ كيوبته والسفر إلى النجوم إلى الأبد.

لنفكر أولاً فيما سيحدث لو قرر بوب في مكان ما من رحلته قياس كيوبته بقياس الأساس القياسي. لو فعل ذلك، فسيحصل على النتيجة $0$ باحتمالية:

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة كيوبت أليس $\vert 0\rangle$؛ وسيحصل على النتيجة $1$ باحتمالية:

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

وفي هذه الحالة تصبح حالة كيوبت أليس $\vert 1\rangle$.

إذاً، إذا تجاهلنا نتيجة قياس بوب وركزنا على كيوبت أليس، فإنها تحصل على الحالة $\vert 0\rangle$ باحتمالية $1/2$ والحالة $\vert 1\rangle$ باحتمالية $1/2$. وهذا يقودنا إلى وصف حالة كيوبت أليس بمعزل عن غيره بمصفوفة الكثافة:

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

أي أن كيوبت أليس في الحالة المختلطة التامة. وليكن واضحاً أن وصف حالة كيوبت أليس بمعزل عن غيرها لا يتضمن نتيجة قياس بوب؛ فنحن نتجاهل بوب كلياً.

الآن، قد يبدو أن وصف مصفوفة الكثافة لكيوبت أليس بمعزل عن غيرها الذي حصلنا عليه يعتمد على افتراض أن بوب قد قاس كيوبته، لكن الأمر ليس كذلك فعلاً. ما فعلناه هو استخدام احتمالية أن يقيس بوب كيوبته كحجة على ظهور الحالة المختلطة التامة كحالة كيوبت أليس، بناءً على ما تعلمناه سابقاً. بالطبع، لا شيء يلزم بوب بقياس كيوبته — ولا شيء يمنعه من ذلك. وإذا كان على بُعد سنوات ضوئية، فلا يمكن لأي شيء يفعله أو لا يفعله أن يؤثر على حالة كيوبت أليس إذا نظرنا إليه بمعزل عن غيره. بمعنى آخر، الوصف الذي حصلنا عليه لحالة كيوبت أليس هو الوصف الوحيد المتسق مع استحالة التواصل بأسرع من الضوء.

يمكننا أيضاً النظر في حالة كيوبت بوب $\mathsf{B}$، والتي تكون أيضاً الحالة المختلطة التامة. وبالفعل، لجميع حالات بيل الأربع نجد أن الحالة المختزلة لكيوبت أليس وكيوبت بوب معاً هي الحالة المختلطة التامة.

الحالات المختزلة لمتجه حالة كمومي عام

لنعمم الآن المثال السابق على نظامين اعتباطيين $\mathsf{A}$ و $\mathsf{B}$، ليسا بالضرورة كيوبتين في الحالة $\vert \phi^+\rangle$. نفترض أن مجموعات الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{A}$ و $\mathsf{B}$ هي $\Sigma$ و $\Gamma$ على التوالي. لذا تمتلك مصفوفة الكثافة $\rho$ التي تمثل حالة النظام المركب $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ مؤشرات صفوف وأعمدة تتوافق مع الضرب الديكارتي $\Sigma\times\Gamma$.

لنفترض أن حالة $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ تصفها متجه الحالة الكمومية $\vert\psi\rangle$، فتكون مصفوفة الكثافة التي تصف هذه الحالة هي $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$. سنحصل على وصف بمصفوفة الكثافة لحالة $\mathsf{A}$ بمعزل عن غيره، والذي يُرمز إليه اتفاقياً بـ $\rho_{\mathsf{A}}$. (تُستخدم أحياناً حرف علوي بدلاً من الحرف السفلي.)

يمكن التعبير عن متجه الحالة $\vert\psi\rangle$ بالصيغة:

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

لمجموعة محددة بشكل وحيد من المتجهات $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$. ويمكن تحديد هذه المتجهات بصيغة بسيطة:

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

بالاستدلال بطريقة مشابهة للمثال السابق لـ e-bit، إذا قسنا النظام $\mathsf{B}$ بقياس الأساس القياسي، فسنحصل على كل نتيجة $b\in\Gamma$ باحتمالية $\|\vert\phi_b\rangle\|^2$، وعندها تصبح حالة $\mathsf{A}$:

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

كمصفوفة كثافة، يمكن كتابة هذه الحالة كالتالي:

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

بأخذ متوسط الحالات المختلفة وفق احتمالات النتائج المقابلة، نصل إلى مصفوفة الكثافة:

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

الأثر الجزئي

الصيغة:

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

تقودنا إلى وصف الحالة المختزلة لـ $\mathsf{A}$ لأي مصفوفة كثافة $\rho$ للزوج $(\mathsf{A},\mathsf{B})$، وليس فقط للحالة النقية.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

هذه الصيغة صحيحة بالضرورة، ببساطة بفضل الخطية إلى جانب حقيقة أن كل مصفوفة كثافة يمكن كتابتها كتركيب محدب من الحالات النقية.

العملية المُجراة على $\rho$ للحصول على $\rho_{\mathsf{A}}$ في هذه المعادلة تُعرف بـالأثر الجزئي، وبدقة أكبر نقول إن الأثر الجزئي يُطبَّق على $\mathsf{B}$، أو أن $\mathsf{B}$ يُحذف بالأثر. يُرمز لهذه العملية بـ $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$، فيمكننا كتابة:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

يمكننا أيضاً تعريف الأثر الجزئي على $\mathsf{A}$، بحيث يكون $\mathsf{A}$ هو الذي يُحذف بدلاً من $\mathsf{B}$، كالتالي:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

وهذا يعطينا وصف مصفوفة الكثافة $\rho_{\mathsf{B}}$ لحالة $\mathsf{B}$ بمعزل عن غيره بدلاً من $\mathsf{A}$.

لتلخيص ما سبق، إذا كان $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ أي زوج من الأنظمة وكانت مصفوفة الكثافة $\rho$ تصف حالة $(\mathsf{A},\mathsf{B})$، فإن الحالات المختزلة للنظامين $\mathsf{A}$ و $\mathsf{B}$ هي كالتالي:

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

إذا كانت $\rho$ مصفوفة كثافة، فإن $\rho_{\mathsf{A}}$ و $\rho_{\mathsf{B}}$ ستكونان بالضرورة مصفوفتَي كثافة أيضاً.

تتعمم هذه المفاهيم على أي عدد من الأنظمة بدلاً من اثنين بطريقة طبيعية. بشكل عام، يمكننا وضع أسماء أي أنظمة نختارها في الحرف السفلي لمصفوفة الكثافة $\rho$ لوصف الحالة المختزلة لتلك الأنظمة فقط. على سبيل المثال، إذا كانت $\mathsf{A}$ و $\mathsf{B}$ و $\mathsf{C}$ أنظمة وكانت $\rho$ مصفوفة كثافة تصف حالة $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$، فيمكننا تعريف:

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

وبالمثل لاختيارات أخرى من الأنظمة.

وصف بديل للأثر الجزئي

طريقة بديلة لوصف تحويلات الأثر الجزئي $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ و $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ هي أنهما التحويلات الخطية الوحيدة التي تُحقق الصيغتين:

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

في هذه الصيغ، $N$ و $M$ مصفوفات مربعة بالأحجام المناسبة: تتوافق صفوف وأعمدة $M$ مع الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{A}$، وتتوافق صفوف وأعمدة $N$ مع الحالات الكلاسيكية لـ $\mathsf{B}$.

هذا التوصيف للأثر الجزئي لا يكتفي بكونه أساسياً من الناحية الرياضية، بل يتيح أيضاً إجراء حسابات سريعة في بعض المواقف. على سبيل المثال، خذ هذه الحالة لزوج من الكيوبتات $(\mathsf{A},\mathsf{B})$:

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

لحساب الحالة المختزلة $\rho_{\mathsf{A}}$ مثلاً، يمكننا استخدام الخطية إلى جانب حقيقة أن $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ و $\vert +\rangle\langle +\vert$ لهما أثر يساوي واحداً:

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

يمكن حساب الحالة المختزلة $\rho_{\mathsf{B}}$ بطريقة مشابهة:

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

الأثر الجزئي لكيوبتين

يمكن وصف الأثر الجزئي بشكل صريح من حيث المصفوفات. سنفعل ذلك هنا لكيوبتين فقط، وإن كان هذا يمكن تعميمه على أنظمة أكبر. نفترض أن لدينا كيوبتين $(\mathsf{A},\mathsf{B})$، بحيث يمكن كتابة أي مصفوفة كثافة تصف حالة هذين الكيوبتين كالتالي:

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

لاختيار ما من الأعداد المركبة $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}$.

الأثر الجزئي على النظام الأول له الصيغة التالية:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

إحدى طرق فهم هذه الصيغة تبدأ بالنظر إلى مصفوفات $4\times 4$ كمصفوفات كتلية $2\times 2$، حيث كل كتلة هي $2\times 2$. أي:

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

حيث:

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

فنحصل على:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

وفيما يلي الصيغة عند حذف النظام الثاني بالأثر بدلاً من الأول:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

ومن حيث المصفوفات الكتلية بصيغة مشابهة لما سبق، لدينا هذه الصيغة:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

يمكن توسيع وصف المصفوفات الكتلية لهذه الدوال على أنظمة أكبر من الكيوبتات بطريقة طبيعية ومباشرة.

لختام الدرس، لنطبق هذه الصيغ على الحالة ذاتها التي نظرنا إليها أعلاه:

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

الحالة المختزلة للنظام الأول $\mathsf{A}$ هي:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

والحالة المختزلة للنظام الثاني $\mathsf{B}$ هي:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$