أساسيات مصفوفة الكثافة

سنبدأ بوصف مصفوفات الكثافة رياضياً، ثم نتناول بعض الأمثلة. بعد ذلك، سنناقش بعض الجوانب الأساسية لآلية عمل مصفوفات الكثافة وعلاقتها بمتجهات الحالة الكمومية في الصياغة المبسطة للمعلومات الكمومية.

التعريف

لنفترض أن لدينا نظاماً كمومياً نسميه $\mathsf{X}$، وليكن $\Sigma$ مجموعة الحالات الكلاسيكية (المنتهية وغير الفارغة) لهذا النظام. هنا نعكس اصطلاحات التسمية المستخدمة في دورة "أساسيات المعلومات الكمومية"، وسنواصل ذلك كلما سنحت الفرصة.

في الصياغة العامة للمعلومات الكمومية، يُوصف الحالة الكمومية للنظام $\mathsf{X}$ بـمصفوفة كثافة $\rho$ تتكون عناصرها من أعداد مركبة وتتوافق مؤشراتها (لكل من صفوفها وأعمدتها) مع مجموعة الحالات الكلاسيكية $\Sigma$. الحرف اليوناني الصغير $\rho$ هو الاختيار الاصطلاحي الأول لاسم مصفوفة الكثافة، وإن كانت $\sigma$ و$\xi$ اختيارات شائعة أيضاً.

إليك بعض الأمثلة على مصفوفات الكثافة التي تصف حالات الكيوبتات:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{و}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

القول بأن $\rho$ مصفوفة كثافة يعني استيفاء هذين الشرطين اللذين سيُشرحان بعد لحظة:

1. أثر الوحدة: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1$.
2. شبه الإيجابية: $\rho \geq 0$.

أثر المصفوفة

يُشير الشرط الأول على مصفوفات الكثافة إلى أثر المصفوفة. هذه دالة مُعرَّفة، لجميع المصفوفات المربعة، على أنها مجموع العناصر القطرية:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

الأثر دالة خطية: لأي مصفوفتين مربعتين $A$ و$B$ بالحجم ذاته، ولأي عددين مركبين $\alpha$ و$\beta$، المعادلة التالية صحيحة دائماً.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

الأثر دالة بالغة الأهمية وثمة الكثير مما يمكن قوله عنها، لكننا سننتظر حتى تنشأ الحاجة لقول المزيد.

المصفوفات شبه الإيجابية

يُشير الشرط الثاني إلى خاصية المصفوفة شبه الإيجابية، وهي مفهوم جوهري في نظرية المعلومات الكمومية وفي موضوعات عديدة أخرى. المصفوفة $P$ شبه إيجابية إذا وُجدت مصفوفة $M$ بحيث

$$P = M^{\dagger} M.$$

يمكننا هنا إما اشتراط أن تكون $M$ مصفوفة مربعة بالحجم ذاته لـ$P$، أو السماح لها بأن تكون غير مربعة — وفي كلتا الحالتين نحصل على الفئة ذاتها من المصفوفات.

ثمة طرق بديلة (لكنها متكافئة) عديدة لتعريف هذا الشرط، منها:

• المصفوفة $P$ شبه إيجابية إذا وفقط إذا كانت $P$ هيرميتية (أي مساوية لمرافقها المنقول المساري) وجميع قيمها الذاتية أعداد حقيقية غير سالبة. التحقق من هيرمتية مصفوفة وأن جميع قيمها الذاتية غير سالبة هو طريقة حسابية بسيطة للتحقق من كونها شبه إيجابية.

• المصفوفة $P$ شبه إيجابية إذا وفقط إذا كان $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ لكل متجه مركب $\vert\psi\rangle$ ذي المؤشرات ذاتها لصفوف وأعمدة $P$.

طريقة حدسية للتفكير في المصفوفات شبه الإيجابية هي اعتبارها مماثلات مصفوفية للأعداد الحقيقية غير السالبة. أي أن المصفوفات شبه الإيجابية تنسب إلى المصفوفات المربعة المركبة كما تنسب الأعداد الحقيقية غير السالبة إلى الأعداد المركبة. فمثلاً، العدد المركب $\alpha$ عدد حقيقي غير سالب إذا وفقط إذا كان

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

لعدد مركب ما $\beta$، وهو ما يتوافق مع تعريف شبه الإيجابية حين نستبدل المصفوفات بالمقاييس. وإن كانت المصفوفات أكثر تعقيداً من المقاييس بوجه عام، فهذه مع ذلك طريقة مفيدة للتفكير في المصفوفات شبه الإيجابية.

هذا أيضاً يفسر الترميز الشائع $P\geq 0$ الذي يُشير إلى أن $P$ شبه إيجابية. لاحظ بصفة خاصة أن $P\geq 0$ لا يعني أن كل عنصر في $P$ غير سالب في هذا السياق؛ إذ توجد مصفوفات شبه إيجابية تحتوي على عناصر سالبة، كما توجد مصفوفات جميع عناصرها موجبة لكنها ليست شبه إيجابية.

تفسير مصفوفات الكثافة

في هذه المرحلة، قد يبدو تعريف مصفوفات الكثافة عشوائياً ومجرداً، إذ لم نُقرن بعد أي معنى بهذه المصفوفات أو عناصرها. ستتوضح آلية عمل مصفوفات الكثافة وطريقة تفسيرها مع تقدم الدرس، لكن في الوقت الحالي قد يكون مفيداً التفكير في عناصر مصفوفات الكثافة بالطريقة التالية (غير الرسمية إلى حد ما).

• العناصر القطرية لمصفوفة الكثافة تمنحنا احتمالات ظهور كل حالة كلاسيكية إذا أجرينا قياساً بالأساس القياسي — وهكذا يمكننا التفكير في هذه العناصر على أنها تصف "الوزن" أو "الاحتمالية" المرتبطة بكل حالة كلاسيكية.

• العناصر خارج القطر لمصفوفة الكثافة تصف درجة تراكب الحالتين الكلاسيكيتين المقابلتين لذلك العنصر (أي المقابلة للصف والمقابلة للعمود) في تراكب كمومي، وكذلك الطور النسبي بينهما.

من المؤكد أنه ليس من الواضح مسبقاً لماذا ينبغي تمثيل الحالات الكمومية بمصفوفات الكثافة. وثمة بمعنى ما شعور بأن اختيار تمثيل الحالات الكمومية بمصفوفات الكثافة يُفضي بشكل طبيعي إلى الوصف الرياضي الكامل للمعلومات الكمومية. كل شيء آخر في المعلومات الكمومية ينبثق منطقياً من هذا الاختيار الواحد!

الصلة بمتجهات الحالة الكمومية

تذكر أن متجه الحالة الكمومية $\vert\psi\rangle$ الذي يصف حالة كمومية لـ$\mathsf{X}$ هو متجه عمود ذو معيار إقليدي يساوي $1$ تتوافق عناصره مع مجموعة الحالات الكلاسيكية $\Sigma$. يُعرَّف تمثيل مصفوفة الكثافة $\rho$ للحالة ذاتها على النحو التالي.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

وللتوضيح، نضرب متجه عمود في متجه صف، فينتج مصفوفة مربعة تتوافق صفوفها وأعمدتها مع $\Sigma$. المصفوفات بهذا الشكل، إضافةً إلى كونها مصفوفات كثافة، هي دائماً إسقاطات ذات رتبة تساوي $1$.

فمثلاً، لنعرّف متجهَي حالة كيوبت.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

مصفوفات الكثافة المقابلة لهذين المتجهين هي كالتالي.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

إليك جدولاً يُدرج هذه الحالات مع بعض الأمثلة الأساسية الأخرى: $\vert 0\rangle$ و$\vert 1\rangle$ و$\vert {+}\rangle$ و$\vert {-}\rangle$. سنرى هذه الحالات الست مجدداً لاحقاً في الدرس.

متجه الحالة	مصفوفة الكثافة
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

لمثال إضافي، إليك حالة من درس الأنظمة الفردية من دورة "أساسيات المعلومات الكمومية"، بما يشمل تمثيلَي متجه الحالة ومصفوفة الكثافة.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

مصفوفات الكثافة التي تأخذ الشكل $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ لمتجه حالة كمومية $\vert \psi \rangle$ تُعرف بـالحالات النقية. ليست كل مصفوفة كثافة قابلة للكتابة بهذا الشكل؛ بعض الحالات ليست نقية.

بوصفها مصفوفات كثافة، تمتلك الحالات النقية دائماً قيمة ذاتية واحدة تساوي $1$ وجميع القيم الذاتية الأخرى تساوي $0$. هذا يتوافق مع التفسير الذي يقول إن القيم الذاتية لمصفوفة الكثافة تصف العشوائية أو عدم اليقين المتأصل في تلك الحالة. في جوهره، لا يوجد عدم يقين للحالة النقية $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — الحالة هي $\vert \psi \rangle$ بشكل قاطع.

بشكل عام، لمتجه حالة كمومية

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

لنظام بـ$n$ حالة كلاسيكية، تمثيل مصفوفة الكثافة للحالة ذاتها هو كالتالي.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

وهكذا، في الحالة الخاصة للحالات النقية، يمكننا التحقق من أن العناصر القطرية لمصفوفة الكثافة تصف احتمالات أن يُخرج قياس الأساس القياسي كل حالة كلاسيكية ممكنة.

ملاحظة أخيرة حول الحالات النقية هي أن مصفوفات الكثافة تُزيل الازدواجية المتعلقة بـالأطوار الكونية الموجودة في متجهات الحالة الكمومية. لنفترض أن لدينا متجهَي حالة كمومية يختلفان بطور كوني: $\vert \psi \rangle$ و$\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$، لعدد حقيقي $\theta$ ما. لأنهما يختلفان بطور كوني، يمثل هذان المتجهان الحالة الكمومية ذاتها تماماً، على الرغم من احتمال اختلاف المتجهين. مصفوفات الكثافة التي نحصل عليها من هذين المتجهين، من ناحية أخرى، متطابقة.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

بشكل عام، تُوفر مصفوفات الكثافة تمثيلاً فريداً للحالات الكمومية: حالتان كموميتان متطابقتان، تُولّدان إحصاءات نتائج متطابقة تماماً لكل قياس ممكن يمكن إجراؤه عليهما، إذا وفقط إذا كانت تمثيلاهما بمصفوفة الكثافة متساويين. باستخدام لغة الرياضيات، يمكن التعبير عن ذلك بقول إن مصفوفات الكثافة توفر تمثيلاً أميناً للحالات الكمومية.