التركيبات المحدبة لمصفوفات الكثافة

الاختيارات الاحتمالية لمصفوفات الكثافة

من أبرز خصائص مصفوفات الكثافة أن الاختيارات الاحتمالية للحالات الكمية تُمثَّل بـالتركيبات المحدبة لمصفوفات كثافتها المقابلة.

فمثلًا، إذا كان لدينا مصفوفتا كثافة $\rho$ و$\sigma$ تُمثّلان حالتين كميتين لنظام $\mathsf{X}$، وأعددنا النظام في الحالة $\rho$ باحتمالية $p$ وفي الحالة $\sigma$ باحتمالية $1 - p$، فإن الحالة الكمية الناتجة تُمثَّل بمصفوفة الكثافة:

$$p \rho + (1 - p) \sigma.$$

بصورة أعم، إذا كان لدينا $m$ حالة كمية تُمثَّل بمصفوفات الكثافة $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$، وأُعدّ النظام في الحالة $\rho_k$ باحتمالية $p_k$ لمتجه الاحتمالات $(p_0,\ldots,p_{m-1})$، فإن الحالة الناتجة تُمثَّل بمصفوفة الكثافة:

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k.$$

وهذه هي التركيبة المحدبة لمصفوفات الكثافة $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$.

ويترتب على ذلك أنه إذا كان لدينا $m$ متجه للحالة الكمية $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{m-1}\rangle$، وأُعدّ النظام في الحالة $\vert\psi_k\rangle$ باحتمالية $p_k$ لكل $k\in\{0,\ldots,m-1\}$، فإن الحالة التي نحصل عليها تُمثَّل بمصفوفة الكثافة:

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert.$$

فمثلًا، إذا أُعدّت حالة كيوبت في $\vert 0\rangle$ باحتمالية $1/2$ وفي $\vert + \rangle$ باحتمالية $1/2$، فإن تمثيل مصفوفة الكثافة للحالة الناتجة هو:

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

في الصياغة المبسّطة للمعلومات الكمية، لا يصلح أخذ متوسطات متجهات الحالة الكمية بهذه الطريقة. فمثلًا، المتجه:

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert + \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm]\frac{\sqrt{2}}{4}\end{pmatrix}$$

ليس متجهًا صالحًا للحالة الكمية لأن معيار أويقليدس له لا يساوي $1$. مثال أكثر جذرية يُبيّن أن هذا لا يصلح لمتجهات الحالة الكمية هو: خذ أي متجه للحالة الكمية $\vert\psi\rangle$ تشاء، وافترض أن حالتنا هي $\vert\psi\rangle$ باحتمالية $1/2$ و$-\vert\psi\rangle$ باحتمالية $1/2$. هاتان الحالتان تختلفان بطور كلي، فهما في الواقع نفس الحالة — لكن أخذ المتوسط يُعطينا المتجه الصفري، وهو ليس متجهًا صالحًا للحالة الكمية.

الحالة المختلطة تمامًا

لنفترض أننا نُحدد حالة كيوبت بأن تكون $\vert 0\rangle$ أو $\vert 1\rangle$ عشوائيًا، بكل منهما احتمالية $1/2$. مصفوفة الكثافة التي تُمثّل الحالة الناتجة هي:

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \mathbb{I}$$

(في هذه المعادلة يُشير الرمز $\mathbb{I}$ إلى مصفوفة الهوية $2\times 2$.) هذه حالة خاصة تُعرف بـالحالة المختلطة تمامًا. تُمثّل حالة عدم يقين كاملة بشأن حالة الكيوبت، مشابهةً للبت العشوائي المنتظم في الإطار الاحتمالي.

الآن لنغيّر الإجراء: بدلًا من الحالتين $\vert 0\rangle$ و$\vert 1\rangle$ سنستخدم الحالتين $\vert + \rangle$ و$\vert - \rangle$. يمكننا حساب مصفوفة الكثافة التي تصف الحالة الناتجة بطريقة مشابهة.

$$\frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \mathbb{I}$$

نفس مصفوفة الكثافة كما في السابق، رغم أننا غيّرنا الحالات. بل إننا سنحصل مجددًا على نفس النتيجة — الحالة المختلطة تمامًا — باستبدال أي متجهَين متعامدَين للحالة الكمية محل $\vert 0\rangle$ و$\vert 1\rangle$.

هذه ميزة لا عيب! نحصل فعلًا على نفس الحالة بكلا الطريقتين. أي أنه لا توجد طريقة للتمييز بين الإجراءَين بقياس الكيوبت الذي ينتجانه، حتى بمعنى إحصائي. إجراءانا المختلفان هما ببساطة طريقتان مختلفتان لإعداد هذه الحالة.

يمكننا التحقق من منطقية ذلك بالتفكير فيما يمكننا أمل معرفته باختيار عشوائي لحالة من إحدى مجموعتي الحالات الممكنة $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$ و$\{\vert +\rangle,\vert -\rangle\}$. للتبسيط، لنفترض أننا نُطبّق عملية أحادية $U$ على الكيوبت ثم نقيس بالأساس القياسي.

في السيناريو الأول، تُختار حالة الكيوبت بشكل منتظم من المجموعة $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$. إذا كانت الحالة $\vert 0\rangle$، نحصل على النتيجتين $0$ و$1$ باحتماليتَي:

$$\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 \quad\text{و}\quad \vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2$$

على التوالي. إذا كانت الحالة $\vert 1\rangle$، نحصل على النتيجتين $0$ و$1$ باحتماليتَي:

$$\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \quad\text{و}\quad \vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2.$$

بما أن كلتا الحالتين تحدث باحتمالية $1/2$، نحصل على النتيجة $0$ باحتمالية:

$$\frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2$$

وعلى النتيجة $1$ باحتمالية:

$$\frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2.$$

كلا هذين التعبيرَين يساويان $1/2$. إحدى طرق إثبات ذلك هي استخدام حقيقة من الجبر الخطي يمكن النظر إليها كتعميم لنظرية فيثاغورس.

مبرهنة

لنفترض أن $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ أساس متعامد وحيد القياس لفضاء متجهات (حقيقي أو مركب) $\mathcal{V}$. لكل متجه $\vert \phi\rangle \in \mathcal{V}$ يكون: $\vert \langle \psi_1\vert\phi\rangle\vert^2 + \cdots + \vert \langle \psi_n \vert \phi \rangle\vert^2 = \| \vert\phi\rangle \|^2.$

يمكننا تطبيق هذه المبرهنة لتحديد الاحتماليات كما يلي. احتمالية الحصول على $0$ هي:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr) \\[2mm] & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U^{\dagger} \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U^{\dagger} \vert 0 \rangle \vert^2 \Bigr)\\[2mm] & = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 0 \rangle \bigr\|^2 \end{aligned}$$

واحتمالية الحصول على $1$ هي:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr) \\[2mm] & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U^{\dagger} \vert 1 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U^{\dagger} \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr)\\[2mm] & = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 1 \rangle \bigr\|^2. \end{aligned}$$

بما أن $U$ أحادي، فإن $U^{\dagger}$ أحادي أيضًا، مما يعني أن كلًّا من $U^{\dagger} \vert 0 \rangle$ و$U^{\dagger} \vert 1 \rangle$ متجها وحدة. وبالتالي كلتا الاحتماليتين مساويتان لـ$1/2$. هذا يعني أنه مهما اخترنا $U$، سنحصل على بت عشوائي منتظم من القياس.

يمكننا إجراء تحقق مشابه لأي زوج آخر من الحالات المتعامدة الوحيدة القياس بدلًا من $\vert 0\rangle$ و$\vert 1\rangle$. فمثلًا، بما أن $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$ أساس متعامد وحيد القياس، تكون احتمالية الحصول على نتيجة القياس $0$ في الإجراء الثاني:

$$\frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert + \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert - \rangle \vert^2 = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 0 \rangle \bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

واحتمالية الحصول على $1$:

$$\frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert + \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert - \rangle \vert^2 = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 1 \rangle \bigr\|^2 = \frac{1}{2}.$$

تحديدًا، نحصل على نفس إحصاءات الخروج تمامًا كما حصلنا عليها للحالتين $\vert 0\rangle$ و$\vert 1\rangle$.

الحالات الاحتمالية

يمكن تمثيل الحالات الكلاسيكية بمصفوفات الكثافة. تحديدًا، لكل حالة كلاسيكية $a$ لنظام $\mathsf{X}$، تُمثّل مصفوفة الكثافة:

$$\rho = \vert a\rangle \langle a \vert$$

النظام $\mathsf{X}$ في الحالة الكلاسيكية $a$ بشكل قاطع. للكيوبتات لدينا:

$$\vert 0\rangle \langle 0 \vert = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{و}\quad \vert 1\rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$$

وبوجه عام لدينا $1$ واحد على القطر في الموضع المقابل للحالة الكلاسيكية المعنية، وباقي المدخلات صفر.

يمكننا بعدها أخذ التركيبات المحدبة لمصفوفات الكثافة هذه لتمثيل الحالات الاحتمالية. بافتراض للتبسيط أن مجموعة الحالات الكلاسيكية هي $\{0,\ldots,n-1\}$، إذا كان $\mathsf{X}$ في الحالة $a$ باحتمالية $p_a$ لكل $a\in\{0,\ldots,n-1\}$، فإن مصفوفة الكثافة التي نحصل عليها هي:

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert a\rangle \langle a \vert = \begin{pmatrix} p_0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & p_1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & p_{n-1} \end{pmatrix}.$$

في الاتجاه العكسي، أي مصفوفة كثافة قطرية يمكن تعريفها طبيعيًا بالحالة الاحتمالية التي نحصل عليها بقراءة متجه الاحتمالات مباشرةً من قطر المصفوفة.

لكن ينبغي التوضيح أنه حين تكون مصفوفة الكثافة قطرية، لا يعني بالضرورة أننا نتحدث عن نظام كلاسيكي، أو أن النظام قد أُعدّ باختيار عشوائي لحالة كلاسيكية، بل إن الحالة يمكن الحصول عليها من خلال الاختيار العشوائي لحالة كلاسيكية.

حقيقة أن الحالات الاحتمالية تُمثَّل بمصفوفات كثافة قطرية تتسق مع الحدس المُشار إليه في بداية الدرس بأن المدخلات خارج القطر تصف مدى وجود التراكب الكمي بين الحالتين الكلاسيكيتين المقابلتين للصف والعمود لتلك المدخلات. هنا جميع المدخلات خارج القطر تساوي صفرًا، لذا لدينا عشوائية كلاسيكية فحسب ولا شيء في تراكب كمي.

مصفوفات الكثافة ومبرهنة الطيف

رأينا أنه إذا أخذنا تركيبة محدبة من الحالات النقية:

$$\rho = \sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert,$$

نحصل على مصفوفة كثافة. في الواقع كل مصفوفة كثافة $\rho$ يمكن التعبير عنها كتركيبة محدبة من الحالات النقية بهذا الشكل. أي أنه ستوجد دائمًا مجموعة من المتجهات الوحيدة القياس $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{m-1}\rangle\}$ ومتجه احتمالات $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ تُحقق المعادلة أعلاه.

علاوة على ذلك، يمكننا دائمًا اختيار العدد $m$ ليتطابق مع عدد الحالات الكلاسيكية للنظام المعني، ويمكننا اختيار متجهات الحالة الكمية لتكون متعامدة. تُتيح لنا مبرهنة الطيف، التي صادفناها في دورة "أسس الخوارزميات الكمية"، استنتاج ذلك. إليك إعادة صياغة مبرهنة الطيف للمرجعية.

مبرهنة

مبرهنة الطيف: لتكن $M$ مصفوفة مركبة عادية من الرتبة $n\times n$. يوجد أساس متعامد وحيد القياس من المتجهات المركبة ذات البعد $n$ هو $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{n-1}\rangle \}$ وأعداد مركبة $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}$ بحيث:

$$M = \lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert.$$

(نذكّر بأن المصفوفة $M$ تكون عادية إذا حققت $M^{\dagger} M = M M^{\dagger}$. بعبارة أخرى، المصفوفات العادية هي المصفوفات التي تتبادل التبديل مع منقولها المرافق.)

يمكننا تطبيق مبرهنة الطيف على أي مصفوفة كثافة $\rho$ معطاة، لأن مصفوفات الكثافة هي دائمًا هيرميتية وبالتالي عادية. هذا يُتيح لنا كتابة:

$$\rho = \lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert$$

لأساس متعامد وحيد القياس $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{n-1}\rangle\}$ ما. يبقى التحقق من أن $(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1})$ متجه احتمالات، والذي يمكننا إعادة تسميته $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ إن شئنا.

الأعداد $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}$ هي القيم الذاتية لـ$\rho$، وبما أن $\rho$ شبه محددة موجبًا، فإن هذه الأعداد يجب أن تكون أعدادًا حقيقية غير سالبة. يمكننا الاستنتاج أن $\lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} = 1$ من حقيقة أن أثر $\rho$ يساوي $1$. المرور عبر التفاصيل سيُتيح لنا الإشارة إلى الخاصية المهمة والمفيدة جدًا التالية للأثر.

مبرهنة

الخاصية الدورية للأثر: لأي مصفوفتين $A$ و$B$ تُعطياننا مصفوفة مربعة $AB$ بحاصل ضربهما، تكون المساواة $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$ صحيحة.

لاحظ أن هذه المبرهنة تنطبق حتى لو لم تكن $A$ و$B$ مصفوفتين مربعتين بأنفسهما. أي يمكن أن تكون $A$ مصفوفة $n\times m$ و$B$ مصفوفة $m\times n$ لأي اختيار لأعداد صحيحة موجبة $n$ و$m$، بحيث تكون $AB$ مصفوفة مربعة $n\times n$ و$BA$ مصفوفة مربعة $m\times m$.

تحديدًا، إذا جعلنا $A$ متجهًا عموديًا $\vert\phi\rangle$ و$B$ المتجه الصفي $\langle \phi\vert$، نرى أن:

$$\operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(\langle\phi\vert\phi\rangle\bigr) = \langle\phi\vert\phi\rangle.$$

المساواة الثانية مستمدة من أن $\langle\phi\vert\phi\rangle$ عدد قياسي، يمكن أيضًا تصوّره كمصفوفة $1\times 1$ أثرها هو مدخلها الوحيد. باستخدام هذه الحقيقة، يمكننا الاستنتاج أن $\lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} = 1$ بخطية دالة الأثر.

$$\begin{gathered} 1 = \operatorname{Tr}(\rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert\bigr)\\[2mm] = \lambda_0 \operatorname{Tr}\bigl(\vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert\bigr) + \cdots + \lambda_{n-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert\bigr) = \lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} \end{gathered}$$

بديلًا يمكن الوصول إلى الاستنتاج ذاته بالاستفادة من حقيقة أن أثر المصفوفة المربعة (حتى تلك التي ليست عادية) يساوي مجموع قيمها الذاتية.

وهكذا توصلنا إلى أن أي مصفوفة كثافة $\rho$ معطاة يمكن التعبير عنها كتركيبة محدبة من الحالات النقية. كما نرى أنه يمكننا علاوة على ذلك اختيار الحالات النقية لتكون متعامدة. وهذا يعني تحديدًا أننا لا نحتاج أبدًا لأن يكون العدد $n$ أكبر من حجم مجموعة الحالات الكلاسيكية لـ$\mathsf{X}$.

بوجه عام، يجب أن يُفهم أن هناك طرقًا مختلفة للتعبير عن مصفوفة كثافة كتركيبة محدبة من الحالات النقية، ليس فقط الطرق التي تُوفرها مبرهنة الطيف. مثال سابق يُوضح ذلك.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

هذا ليس تحليلًا طيفيًا لهذه المصفوفة لأن $\vert 0\rangle$ و$\vert + \rangle$ غير متعامدَين. إليك تحليلًا طيفيًا:

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert,$$

حيث $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$. القيم الذاتية هي أعداد ستبدو مألوفة على الأرجح:

$$\cos^2(\pi/8) = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0.85 \quad\text{و}\quad \sin^2(\pi/8) = \frac{2-\sqrt{2}}{4} \approx 0.15.$$

يمكن كتابة المتجهات الذاتية صراحةً على النحو التالي.

$$\begin{aligned} \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[3mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \end{aligned}$$

كمثال آخر أكثر عمومية، لنفترض أن $\vert \phi_0\rangle,\ldots,\vert \phi_{99} \rangle$ متجهات للحالة الكمية تُمثّل حالات كيوبت واحدة، مختارة بشكل عشوائي — لذا لا نفترض أي علاقة خاصة بين هذه المتجهات. يمكننا حينئذٍ النظر في الحالة التي نحصل عليها باختيار إحدى هذه المئة حالة بشكل منتظم:

$$\rho = \frac{1}{100} \sum_{k = 0}^{99} \vert \phi_k\rangle\langle \phi_k \vert.$$

بما أننا نتحدث عن كيوبت، فإن مصفوفة الكثافة $\rho$ هي $2\times 2$، وبالتالي بحكم مبرهنة الطيف يمكننا كتابة بديلًا:

$$\rho = p \vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert + (1 - p) \vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert$$

لعدد حقيقي $p\in[0,1]$ وأساس متعامد وحيد القياس $\{\vert\psi_0\rangle,\vert\psi_1\rangle\}$ — لكن وجود هذا التعبير طبيعيًا لا يمنعنا من كتابة $\rho$ كمتوسط لمئة حالة نقية إن أردنا ذلك.